14:27:1218/12/2018 Để có thể giải được các phương trình và bất phương trình logarit các em cần nắm vững kiến thức về hàm số logarit đã được chúng ta ôn ở bài viết trước, nếu chưa nhớ các tính chất của hàm logarit các em có thể xem lại Tại Đây. I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương trình Logarit cơ bản + Phương trình logax = b (0<a≠1) luôn có nghiệm duy nhất x = ab với mọi b 2. Bất phương trình Logarit cơ bản + Xét bất phương trình logax > b: - Nếu a>1 thì logax > b ⇔ x > ab - Nếu 0<a<1 thì logax > b ⇔ 0 < x < ab II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Giải phương trình logarit, bất PT logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab + Lưu ý: Đối với các PT, BPT logarit ta cần đặt điều kiện để các biểu thức logaf(x) có nghĩa, tức là f(x) ≥ 0. 2. Giải phương trình, bất PT Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ + Với các phương trình, bất PT logarit mà có thể biểu diễn theo biểu thức logaf(x) thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = logaf(x). + Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT, BPT logarit đang xét (có chứa căn, có ẩn ở mẫu hay không) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT, BPT này có nghĩa. 3. Giải phương trình, bất PT logarit bằng phương pháp mũ hoá + Đôi khi ta không thể giải một phương trình, bất PT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = at PT, BPT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa) + Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau II. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PT LOGARIT * Giải PT, BPT Logarit áp dụng phương pháp cùng cơ số Bài tập 1: Giải các phương trình sau a) log3(2x+1) = log35 b) log2(x+3) = log2(2x2-x-1) c) log5(x-1) = 2 d) log2(x-5) + log2(x+2) = 3 * Lời giải: a) ĐK: 2x+1 > 0 ⇔ x>(-1/2) PT ⇔ 2x+1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thoả ĐK) b) ĐK: x+3>0, 2x2 - x - 1 > 0 ta được: x>1 hoặc (-3)<x<(-1/2) Ta có: log2(x+3) = log2(2x2-x-1) ⇔ x+3 = 2x2 - x - 1 ⇔ 2x2 - 2x - 4 = 0 ⇔ x2 - x - 2 = 0 ⇔ x = -1 (thoả) hoặc x = 2 (thoả) c) ĐK: x - 1 > 0 ⇔ x > 1 Ta có: log5(x-1) = 2 ⇔ x-1 = 52 ⇔ x = 26 (thoả) d) ĐK: x-5 > 0 và x + 2 > 0 ta được: x > 5 Ta có: log2(x-5) + log2(x+2) = 3 ⇔ log2(x-5)(x+2) = 3 ⇔ (x-5)(x+2) = 23 ⇔ x2 - 3x -18 = 0 ⇔ x = -3 (loại) hoặc x = 6 (thoả) * Giải phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ Bài tập 2: Giải các phương trình sau a)  b) c) d) e) 1 + log2(x-1) = log(x-1)4 * Lời giải: a) ĐK: x>0 Ta đặt t=log3x khi đó PT ⇔ t2 + 2t - 3 = 0 ⇔ t =1 hoặc t = -3 Với t = 1 ⇔ log3x = 1 ⇔ x = 3 Với t = -3 ⇔ log3x = -3 ⇔ x = 3-3 = 1/27 b) 4log9x + logx3 - 3 = 0 ĐK: 0<x≠1 PT ⇔ 2log3x + 1/log3x -3 = 0 Ta đặt t = log3x khi đó PT ⇔ 2t + 1/t - 3 = 0 ⇔ 2t2 - 3t + 1 = 0 ⇔ t=1 hoặc t = 1/2 Với t = 1 ⇔ log3x = 1 ⇔ x = 3 (thoả) Với t = 1/2 ⇔ log3x = 1/2 ⇔ x = √3 (thoả) c) ĐK: log3x có nghĩa ⇔ x > 0 Các mẫu của phân thức phải khác 0: (5+log3x)≠0 và (1 +log3x)≠0 ⇔ log3x ≠ -5 và log3x ≠ -1 Ta đặt t = log3x (t ≠ -1, t ≠ -5) khi đó:
⇔ (1+t) +2(5+t)=(1+t)(5+t) ⇔ 3t + 11 = t2 + 6t + 5 ⇔ t2 + 3t - 6 = 0 ⇔ thay t=log3x ta được kết quả: x =3t1 và x =3t2 d) PT⇔ Đặt t=log2x Ta được PT: t2 + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2 Với t = 1 ⇔ x = 2 Với t = -2 ⇔ x = 1/4 e) 1 + log2(x-1) = log(x-1)4 ĐK: 0<(x-1)≠1 ⇔ 1<x≠2 Đặt t = log2(x-1) ta có PT: 1+t = 2/t ⇔ t2 + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2 Với t = 1 ⇔ x-1 = 2 ⇔ x = 3 Với t = -2 ⇔ x-1 = 1/4 ⇔ x= 5/4. * Giải phương trình Logarit áp dụng phương pháp mũ hoá Bài tập 3: Giải các phương trình sau: a) ln(x+3) = -1 + √3 b) log2(5 – 2x) = 2 – x * Lời giải: a) ĐK: x-3>0 ⇔ x>3 với điều kiện này ta mũ hóa 2 vế của PT đã cho ta được PT: b) log2(5 – 2x) = 2 – x ĐK: 5 - 2x > 0 ⇔ 2x < 5 PT ⇔ Đặt t=2x (t>0,t<5 do 2x<5) ta được: 5 - t = (4/t) ⇔ t2 - 5t + 4 = 0 ⇔ t = 1 (thoả) hoặc t =4 (thoả) Với t = 1 ⇔ x = 0 Với t = 4 ⇔ x = 2 Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau a) log0,5(x+1) ≤ log2(2-x) b) log2x - 13logx + 36 > 0 Lời giải: a) ĐK: x+1>0 và 2-x>0 ⇔ -1<x<2 log0,5(x+1) ≤ log2(2-x) ⇔ -log2(x+1)≤ log2(2-x) ⇔ log2(2-x) + log2(x+1) ≥ 0 ⇔ log2(2-x)(x+1) ≥ 0 ⇔ (2-x)(x+1) ≥ 1 ⇔ -x2 - x +1 ≥ 0 ⇔ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là: b) ĐK: x>0 Đặt t =logx khi đó: t2 - 13t + 36 = 0 ⇔ t < 4 hoặc t > 9 Với t < 4 ta có: logx < 4 ⇔ x < 104 Với t > 9 ta có: logx > 9 ⇔ x > 109 Kết hợp với điều kiện bất phương trình có tập nghiệm là: Bài tập 5: Giải các bất phương trình (các em tự giải) a) b) c) d)
Hy vọng với phần ôn tập chi tiết về phương trình và bất phương trình logarit ở trên giúp ích cho các em, mọi thắc mắc các em hãy để lại bình luận dưới bài viết để được hỗ trợ, chúc các em học tập tốt. Giá trị của $x$ thỏa mãn \({\log _{\frac{1}{2}}}(3 - x) = 2\) là Giải phương trình $\log_{3}\left( {2x-1} \right) = 2$ , ta có nghiệm là: Giải phương trình $\log_{4}\left( {x-1} \right) = 3$ Giải phương trình \({\log _4}(x + 1) + {\log _4}(x - 3) = 3\) Biết \(a,\,\,b\) là các số thực sao cho \({x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\), đồng thời \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(\log \left( {x + y} \right) = z\) và \(\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1\). Giá trị của \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\) thuộc khoảng: Hàm số nào trong hàm số sau đây có đồ thị phù hợp với hình vẽ bên? Cho \(a,b > 0\). Khẳng định nào sau đây đúng? Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)? Cho hàm số $y = {e^x} + {e^{ - x}}$. Tính $y''\left( 1 \right)$. Đạo hàm của hàm số $y = {\log _3}\left( {4x + 1} \right)$ là Đặt \({\log _2}6 = m\). Hãy biểu diễn \({\log _9}6\) theo \(m\) . Giả sử \(x,y\) là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây sai? Giải phương trình ${4^x} - {6.2^x} + 8 = 0$. Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({7^x} \ge 10 - 3{x}\). |
