Quan hệ tương đương quan hệ thứ tự trong môn Toán ở tiểu học

ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA NGUYỄN GIA ĐỊNH NGUYỄN TRỌNG CHIẾN – NGUYỄN THỊ KIM THOA HƯỚNG DẪN ÔN THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU HỌC TOÁN CAO CẤP VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC HUẾ Huế, 2013 1 2 LỜI NÓI ĐẦU Để đáp ứng yêu cầu nâng cao chất lượng đào tạo, Trung tâm Đào tạo từ xa – Đại học Huế đã tổ chức biên soạn các tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp cho tất cả các ngành đào tạo của trung tâm. Cuốn sách Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp đại học ngành Giáo dục Tiểu học (phần Toán cao cấp và Phương pháp dạy học môn Toán ở tiểu học) là một trong số các tài liệu đó. Cuốn tài liệu được biên soạn trên cơ sở đề cương ôn thi tốt nghiệp dành cho sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học đã được Trung tâm Đào tạo từ xa – Đại học Huế ban hành. Tài liệu bao gồm hai phần: Phần I: Toán cao cấp Phần II: Phương pháp dạy học môn Toán ở tiểu học Mỗi phần đều được trình bày theo hai mục: Tóm tắt lí thuyết (theo yêu cầu của đề cương ôn tập) và câu hỏi, bài tập kèm theo hướng dẫn cách giải nhằm giúp sinh viên có thể chủ động tự ôn tập theo tài liệu hướng dẫn này. Mục Tóm tắt lí thuyết trình bày những kiến thức và kĩ năng cơ bản mà sinh viên cần ghi nhớ để vận dụng vào giải các bài tập. Sinh viên được phép sử dụng các kiến thức và kĩ năng cơ bản này để làm bài tập và bài thi tốt nghiệp mà không cần phải chứng minh lại. Mục Bài tập trình bày các dạng toán cơ bản mà sinh viên cần biết cách giải. Đây là các bài tập để sinh viên luyện tập và làm cơ sở để giảng viên tham khảo khi xây dựng đề thi. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng tài liệu này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Ban Giám đốc Trung tâm Đào tạo từ xa – Đại học Huế và các tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc, đặc biệt là đội ngũ giảng viên, sinh viên của Trung tâm để tiếp tục hoàn thiện tài liệu này. Trân trọng cảm ơn. Các tác giả 3 4 Phần I TOÁN CAO CẤP 5 6 Chương 1 QUAN HỆ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.1 QUAN HỆ HAI NGÔI 1.1.1. Định nghĩa Cho hai tập hợp X và Y. Một quan hệ hai ngôi từ X đến Y là một tập con R của tích Descartes X × Y. Ta nói phần tử x ∈ X có quan hệ R với phần tử y ∈ Y nếu ( x, y ) ∈ R và viết là xRy . Đặc biệt, nếu R ⊂ X 2 thì ta nói R là một quan hệ hai ngôi trên X . 1.1.2. Định nghĩa Cho R là một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X . Khi đó ta nói: - R có tính phản xạ nếu ∀x ∈ X , xRx ; - R có tính đối xứng nếu ∀x, y ∈ X , xRy ⇒ yRx ; - R có tính phản đối xứng nếu ∀x, y ∈ X , xRy và yRx ⇒ x = y ; - R có tính bắc cầu, nếu ∀x, y, z ∈ X , xRy và yRz ⇒ xRz . 1.1.3. Thí dụ 1) Quan hệ “bằng nhau” ( = ) trên một tập hợp X tùy ý có các tính chất: phản xạ, đối xứng, phản đối xứng và bắc cầu. 2) Quan hệ ≤ trên tập hợp N các số tự nhiên có các tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. 3) Quan hệ “bao hàm” ( ⊂ ) trên tập hợp P ( X ) gồm tất cả các tập hợp con của X là một quan hệ hai ngôi có các tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. 4) Quan hệ đồng dạng trên tập hợp các tam giác có các tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu. 5) Quan hệ “nguyên tố cùng nhau” trên tập hợp N* các số nguyên dương chỉ có tính chất đối xứng. 7 1.2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 1.2.1. Định nghĩa Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là một quan hệ tương đương trên X nếu R thỏa mãn ba tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Chẳng hạn, quan hệ bằng nhau và quan hệ đồng dạng như trong Thí dụ 1.1.3 là những quan hệ tương đương. 1.2.2. Định nghĩa Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp X và a ∈ X. Tập hợp { x ∈ X | xRa} được gọi là lớp tương đương của a (theo quan hệ R ), kí hiệu là a hay [ a] hay C(a). Mỗi phần tử của một lớp tương đương gọi là một đại biểu của lớp tương đương đó. 1.2.3. Mệnh đề Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp X. Khi đó mọi lớp tương đương đều khác rỗng và hai lớp tương đương bất kì hoặc rời nhau hoặc trùng nhau. 1.2.4. Định nghĩa Một phân hoạch của tập hợp X là một họ ( X i )i∈I gồm các tập con khác rỗng của X sao cho X = ∪ X i , X i ∩ X j = ∅ ( ∀i , j ∈ I , i ≠ j ) i∈I 1.2.5. Mệnh đề Mỗi quan hệ tương đương trên tập hợp X xác định một phân hoạch của X bởi các lớp tương đương. Điều ngược lại cũng đúng. Cụ thể là mỗi phân hoạch ( X i )i∈I của tập hợp X xác định một quan hệ tương đương R trên X , sao cho mỗi X i là một lớp tương đương. Quan hệ R được xác định bởi: xRy nếu có i ∈ I sao cho x, y ∈ X i . 1.2.6. Định nghĩa Cho X là một tập hợp và R là một quan hệ tương đương trên X . Tập hợp các lớp tương đương phân biệt của X đối với quan hệ R được gọi là 8 tập hợp thương của X theo quan hệ tương đương R , kí hiệu là X / R . 1.2.7. Thí dụ 1) Cho tập hợp X = {1, 2,3, 4} và xét quan hệ hai ngôi R trên P ( X ) như sau: ∀A, B ∈ P ( X ) , A R B ⇔ A = B . (Kí hiệu A để chỉ số phần tử của A ). Dễ dàng chứng minh được R là một quan hệ tương đương trên P ( X ) . Các lớp tương đương theo quan hệ R là: C0 = {∅} (tập hợp con của C1 = {{1} , {2} , {3} , {4}} X (các tập con của không có phần tử nào), X có một phần tử), C2 = {{1, 2} , {1,3} , {1, 4} , {2,3} , {2, 4} , {3, 4}} (các tập con của X có hai phần tử), C3 = {{1, 2,3} , {1, 2, 4} , {1,3, 4} , {2,3, 4}} (các tập con của X có ba phần tử), C4 = {{1, 2,3, 4}} (tập con của X có bốn phần tử). Tập hợp thương của P ( X ) theo quan hệ R là P ( X ) / R = {C0 , C1 , C2 , C3 , C4 } . 2) Cho n là một số nguyên lớn hơn 1 và xét quan hệ hai ngôi sau trên tập Z các số nguyên và gọi là quan hệ đồng dư môđulô n : ∀x, y ∈ Z, x ≡ y ( mod n ) ⇔ x − y là bội số của n . Dễ dàng chứng minh được ≡ ( mod n ) là một quan hệ tương đương trên Z. Với mỗi x∈Z, tồn tại duy nhất hai số nguyên q và r sao cho x = qn + r với 0 ≤ r < n và khi đó x ≡ r (mod n) . Do đó các lớp tương đương theo quan hệ này là 0 = {qn | q ∈ Z} , 1 = {qn + 1| q ∈ Z} , ..., n − 1 = {qn + n − 1| q ∈ Z} . Tập hợp thương của Z theo quan hệ đồng dư { } môđulô n là 0, 1,… , n − 1 và thường kí hiệu là Zn, mỗi phần tử Zn gọi là một số nguyên môđulô n . 1.3. QUAN HỆ THỨ TỰ 1.3.1. Định nghĩa Quan hệ hai ngôi ≤ trên tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự 9 nếu nó thỏa mãn các tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Khi đó ta nói X là tập được sắp thứ tự bởi ≤ . Nếu x ≤ y , ta nói x đứng trước y. Nếu x ≤ y và x ≠ y thì ta viết x < y . Tập con Y ⊂ X được gọi là được sắp thứ tự toàn phần (hay được sắp thự tự tuyến tính) nếu với mọi x, y ∈ Y , ta có x ≤ y hoặc y ≤ x . Trong trường hợp ngược lại ta nói Y được sắp thứ tự bộ phận. 1.3.2. Thí dụ 1) Quan hệ ≤ thông thường trên các tập hợp N, Z, Q, R là quan hệ thứ tự toàn phần. 2) Trên tập hợp N các số tự nhiên, xét quan hệ hai ngôi chia hết (" | ") như sau: ∀x, y ∈ N, x ≠ 0, x | y ⇔ ∃k ∈ N, y = kx. Quan hệ này có hai tính chất: phản đối xứng và bắc cầu, nhưng không có tính chất phản xạ (ta không có 0 | 0 ). Vì vậy, quan hệ chia hết không phải là một quan hệ thứ tự trên N. Tuy nhiên, quan hệ chia hết lại là một quan hệ thứ tự trên tập N* các số tự nhiên khác không. Ở đây, quan hệ chia hết sắp thứ tự bộ phận tập N* . 3) Quan hệ bao hàm (" ⊂ ") sắp thứ tự bộ phận tập P ( X ) gồm các tập con của X . 4) Cho X là tập hợp được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ ≤ . Trên n X ta định nghĩa quan hệ hai ngôi D như sau: ∀x = ( x1 , x2 ,… , xn ) , y = ( y1 , y2 ,… , yn ) ∈ X n , x D y ⇔ x = y hoặc ∃i, x1 = y1 ,… , xi −1 = yi −1 , xi < yi . Khi đó, X n được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ D. Quan hệ này được gọi là quan hệ thứ tự từ điển. 1.3.3. Định nghĩa Cho X là tập hợp được sắp thứ tự bởi quan hệ thứ tự ≤ và A là một tập con khác rỗng của X. Ta nói: Phần tử a ∈ A là phần tử tối đại của A nếu ∀x ∈ A, a ≤ x ⇒ x = a; 10 Phần tử b ∈ A là phần tử tối tiểu của A nếu ∀x ∈ A, x ≤ b ⇒ x = b; Phần tử m ∈ A là phần tử lớn nhất của A nếu ∀x ∈ A, x ≤ m; Phần tử n ∈ A là phần tử nhỏ nhất của A nếu ∀x ∈ A, n ≤ x; Phần tử c ∈ X là phần tử chặn trên của A nếu ∀x ∈ A, x ≤ c; Phần tử d ∈ X là phần tử chặn dưới của A nếu ∀x ∈ A, d ≤ x; Phần tử nhỏ nhất của tập hợp tất cả các phần tử chặn trên của A (nếu có) gọi là cận trên của A , kí hiệu là sup A ; Phần tử lớn nhất của tập hợp các phần tử chặn dưới của A (nếu có) gọi là cận dưới của A , kí hiệu là inf A . 1.3.4. Chú ý Phần tử lớn nhất hay nhỏ nhất (nếu có) của A là duy nhất. Nếu A có phần tử lớn nhất thì đó cũng là phần tử tối đại duy nhất. Tương tự, nếu A có phần tử nhỏ nhất thì đó cũng là phần tử tối tiểu duy nhất. Cận trên của A thuộc A khi và chỉ khi nó là phần tử lớn nhất của A. Tương tự, cận dưới của A thuộc A khi và chỉ khi nó là phần tử nhỏ nhất của A. 1.3.5. Định nghĩa Cho tập hợp X được sắp thứ tự bởi quan hệ ≤ . Ta nói X được sắp thứ tự tốt bởi quan hệ này nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử nhỏ nhất. 1.3.6. Thí dụ 1) Xét tập được sắp thứ tự N* bởi quan hệ chia hết ( "| " ) và A = {1, 2, 4, 6, 7,8,9,10,11,12} . Tập A không có phần tử lớn nhất, nhưng có 11 phần tử nhỏ nhất và cũng là phần tử tối tiểu duy nhất là 1, các phần tử tối đại là 7, 8, 9, 10, 11, 12 . Cận trên của A trong N* là BCNN (1,2,4,6,7,8,9,10,11,12) và cận dưới của A trong N* là 1 . 2) Xét tập được sắp thứ tự P ( X ) bởi quan hệ bao hàm (" ⊂ ") , trong đó X là một tập khác rỗng. Phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của P ( X ) lần lượt là X và ∅ . Các phần tử tối tiểu của P ( X ) \ {∅} là các tập {a} với a ∈ X . Các phần tử tối đại của P ( X ) \ { X } là các tập X \ {a} với a ∈ X . Cận trên và cận dưới của A = { A1 , A2 ,… , An } trong P(X ) lần lượt là A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An và A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An . 3) Tập hợp sắp thứ tự ( N, ≤ ) là một tập sắp thứ tự tốt. Các tập hợp sắp thứ tự ( Z,≤ ) , ( Q, ≤ ) không phải là các tập sắp thứ tự tốt. Tập sắp thứ tự ( N ,|) * không phải là tập sắp thứ tự tốt vì tập con A = {2,3,5} không có phần tử nhỏ nhất. BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI 1. Xác định xem quan hệ R trên tập Z các số nguyên có tính phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu không? Với xRy nếu và chỉ nếu: a) x ≠ y; b) xy ≥ 1; c) x = y + 1 hay x = y − 1 ; d) x là bội số của y ; e) x và y cùng âm hoặc cùng không âm; f) x = y 2 ; g) x ≥ y 2 . Giải a) R chỉ có tính đối xứng. b) R có tính đối xứng và bắc cầu. c) R chỉ có tính đối xứng. 12 d) R có tính phản xạ và bắc cầu. e) R có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu. f) R chỉ có tính phản đối xứng. g) R có tính phản đối xứng và bắc cầu. 2. Cho tập hợp X = {0,1, 2,3, 4,5} ⊂ N . Hãy liệt kê tất cả các phần tử của quan hệ R sau trên X và xét xem quan hệ R có các tính chất nào? a) ∀x, y ∈ X , xRy ⇔ x + y là số chẵn. b) ∀x, y ∈ X , x ≠ 0, xRy ⇔ x | y. Giải a) R = {( 0, 0 ) , ( 0, 2) , ( 0, 4) , (1,1) , (1,3) , (1,5) , ( 2,0) , ( 2, 2) , ( 2, 4) , ( 3,1) , ( 3,3) , ( 3,5) , ( 4,0) , ( 4, 2) , ( 4, 4) , ( 5,1) , ( 5,3) , ( 5,5)} . Dễ dàng chứng minh được R có các tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu. b) R = {(1,1) , (1, 2 ) , (1,3) , (1, 4 ) , (1,5) , ( 2, 2) , ( 2, 4) , ( 3,3) , ( 4, 4) , ( 5,5) , (1, 0 ) , ( 2,0) , ( 3,0) , ( 4,0) , ( 5, 0)} . Dễ dàng thấy R có các tính chất: phản đối xứng và bắc cầu. 3. Một quan hệ R trên tập X được gọi là quan hệ vòng quanh nếu xRy và yRz kéo theo zRx . Chứng minh rằng quan hệ R là phản xạ và vòng quanh nếu và chỉ nếu R là một quan hệ tương đương. Giải ( ⇒) Ta đã có R là phản xạ. ∀x, y ∈ X , xRy ⇒ xRy ∧ yRy ⇒ yRx (do tính vòng quanh), tức là có tính đối xứng. R ∀x, y, z ∈ X , xRy ∧ yRz ⇒ zRx ⇒ xRz , tức là R có tính bắc cầu. Vậy R là một quan hệ tương đương. ( ⇐) R là một quan hệ tương đương nên R có tính phản xạ. ∀x, y, z ∈ X , xRy ∧ yRz ⇒ xRz ⇒ zRx , tức là R có tính vòng quanh. 13 4. Cho L0 là một đường thẳng cho trước trong mặt phẳng R2. Một quan hệ 2 R trên tập L tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng R được xác định như sau: ∀L1 , L2 ∈ L , L1 RL2 ⇔ L1 ∩ L0 ≠ ∅ và L2 ∩ L0 ≠ ∅ Xác định xem R có là một quan hệ tương đương hay không? Giải R có tính đối xứng và bắc cầu, nhưng R không có tính phản xạ. Do đó R không là một quan hệ tương đương. Tuy nhiên, nếu L là tập các đường thẳng trong mặt phẳng R2 cắt L0 thì R là một quan hệ tương đương trên L. 5. Cho M là một tập hợp khác rỗng, a ∈ M . Trên X = P ( M ) , ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau: R= {( A, B ) ∈ X 2 | A = B hay a ∈ A ∩ B} Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên X . Hãy chỉ ra tập hợp thương. Giải Từ A = A , ta có ( A, A) ∈ R hay R có tính phản xạ. ∀A, B ∈ X , ( A, B ) ∈ R ⇒ A = B ∨ a ∈ A ∩ B ⇒ B = A ∨ a ∈ B ∩ A ⇒ ( B, A) ∈ R , tức là R có tính đối xứng. ∀A, B, C ∈ X , ( A, B ) ∈ R ∧ ( B, C ) ∈ R ⇒ ( A = B ∨ a ∈ A ∩ B) ∧ ( B = C ∨ a ∈ B ∩ C ) ⇒ ( A = B ∧ B = C ) ∨ ( A = B ∧ a ∈ B ∩ C ) ∨ (a ∈ A ∩ B ∧ B = C ) ∨ (a ∈ A ∩ B ∧ a ∈ B ∩C) ⇒ A = C ∨ a ∈ A ∩ C ⇒ ( A, C ) ∈ R, tức là R có tính bắc cầu. Vậy R là một quan hệ tương đương. 14 ( A, B ) ∈ R ⇔ A = B nghĩa là lớp thì ( A, B ) ∈ R ⇔ a ∈ B nghĩa là lớp Với mỗi A ∈ X , nếu a ∉ A thì tương đương A = { A} và nếu a ∈ A tương đương A = { B ∈ X | a ∈ B} . Do vậy tập thương của X theo quan hệ R là X / R = {{ A} | A ⊂ M , a ∉ A} ∪ {{ A ∈ X | a ∈ A}} 6. Gọi X là tập hợp các hàm thực biến số thực. Chứng tỏ quan hệ R sau là quan hệ tương đương trên X : a) ∀x, y ∈ X , xRy ⇔ ∃C > 0, x(t ) = y (t ), ∀t ∈ R, t < C. b) ∀x, y ∈ X , xRy ⇔ lim t →0 x (t ) − y (t ) = 0 , trong đó n ∈ N cho trước. tn Giải a) ∀x ∈ X , x(t ) = x(t ), ∀t ∈ R , nghĩa là R có tính phản xạ, ∀x, y ∈ X , xRy ⇔∃C > 0, x(t) = y(t), ∀t ∈R, t < C ⇒∃C > 0, y(t) = x(t), ∀t ∈R, t < C ⇒ yRx , nghĩa là R có tính đối xứng. ∀x, y, z ∈ X , xRy ∧ yRz ⇒ ∃C1 , C2 > 0, x(t ) = y (t ), ∀t ∈ R, t < C1 và y (t ) = z (t ), ∀t ∈ R, t < C2 ⇒ ∃C = min(C1 , C 2 ), x (t ) = z (t ), ∀ t ∈ R , t < C , nghĩa là R có tính bắc cầu. Vậy R là quan hệ tương đương. x (t ) − x (t ) b) ∀x ∈ X , lim = 0 hay xRx , nghĩa là R có tính phản xạ. t →0 tn x (t ) − y (t ) y (t ) − x (t ) ∀x, y ∈ X , xRy ⇒ lim = 0 ⇒ lim = 0 ⇒ yRx , n t →0 t →0 t tn nghĩa là R có tính đối xứng. x (t ) − y (t ) y ( t ) − z (t ) ∀x, y, z ∈ X , xRy ∧ yRz ⇒ lim = 0 và lim =0 n t →0 t →0 t tn x (t ) − z (t ) x (t ) − y (t ) y (t ) − z (t ) ⇒ lim = lim + lim = 0 ⇒ xRz , nghĩa là R n n t →0 t →0 t →0 t t tn có tính chất bắc cầu. Vậy R là quan hệ tương đương. 7. Xét quan hệ hai ngôi R trên N2 như sau: ∀ ( m1 , n1 ) , ( m2 , n2 ) ∈ N 2 , ( m1 , n1 ) R ( m2 , n2 ) ⇒ m1 + n2 = m2 + n1 . 15 Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên N2. Hãy chỉ ra tập hợp thương. Giải Rõ ràng R có tính phản xạ. ∀ ( m1 , n1 ) , ( m2 , n2 ) ∈ N 2 , ( m1, n1 ) R( m2, n2 ) ⇒ m1 + n2 = m2 + n1 ⇒ m2 + n1 = m1 + n2 ⇒ ( m2 , n2 ) R ( m1 , n1 ) nghĩa là R có tính đối xứng. ∀( m1, n1 ) , ( m2 , n2 ) , ( m3 , n3 ) ∈N2 , ( m1, n1 ) R ( m2 , n2 ) và ( m2 , n2 ) R ( m3 , n3 ) ⇒ m1 + n2 = m2 + n1 và m2 + n3 = m3 + n2 ⇒ m1 + n2 + m2 + n3 = m2 + n1 + m3 + n2 ⇒ ( m1 + n3 = m3 + n1 ) ⇒ ( m1 , n1 ) R ( m3 , n3 ) , nghĩa là R có tính bắc cầu. Vậy R là một quan hệ tương đương. ∀ ( m, n ) ∈ N 2 , lớp tương đương ( m, n ) = {( m ', n ') ∈ N 2 | m '− n ' = m − n} . Tập hợp thương là N 2 / R = {( m, n ) | ( m, n ) ∈ N } và chính là tập Z 2 các số nguyên. 8. Trên Z × N* , xét quan hệ hai ngôi sau: ∀ ( z1 , n1 ) , ( z2 , n2 ) ∈ Z × N* , ( z1 , n1 ) R ( z2 , n2 ) ⇔ z1n2 = z2 n1 Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên Z × N* . Hãy chỉ ra tập hợp thương. Giải Rõ ràng R có tính phản xạ. ∀( z1, n1 ) , ( z2 , n2 ) ∈ Z × N* , ( z1 , n1 ) R ( z2 , n2 ) ⇔ z1n2 = z2 n1 ⇔ z2 n1 = z1n2 ⇒ ( z2 , n2 ) R ( z1 , n1 ) , nghĩa là R có tính đối xứng. ∀( z1, n1 ) , ( z2 , n2 ) , ( z3 , n3 ) ∈ Z × N* , ( z1 , n1 ) R ( z2 , n2 ) ∧ ( z2 , n2 ) R ( z3 , n3 ) ⇒ z1 n 2 = z 2 n1 ∧ z 2 n3 = z 3 n 2 ⇒ z1 n 2 z 2 n3 = z 2 n1 z 3 n 2 ⇒ z1 z 2 n3 = z 2 z 3 n1 ; nếu z2 ≠ 0 thì z1n3 = z3n1 , nếu z2 = 0 thì z1n2 = 0( ⇒ z1 = 0) và z3 n2 = 0 ( ⇒ z3 = 0 ) 16 nên z1n3 = z3 n1 = 0 hay ( z1 , n1 ) R ( z3 , n3 ) , nghĩa là R có tính bắc cầu. Vậy R là một quan hệ tương đương. ∀ ( z , n ) ∈ Z × N* , lớp tương đương ⎧ ( z, n ) = ⎨( z ', n ') ∈ Z × N* ⎩ Tập hợp thương là Z × N* / R = z' = n' z⎫ ⎬ n⎭ {( z, n ) ( z, n ) ∈ Z × N } và chính là tập * Q các số hữu tỉ. 9. Trong mặt phẳng có hệ tọa độ vuông góc, hai điểm P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) được gọi là quan hệ với nhau bởi R nếu và chỉ nếu x1 y1 = x2 y 2 . Chứng tỏ rằng R là một quan hệ tương đương và tìm các lớp tương đương. Bây giờ nếu định nghĩa P1 SP2 ⇔ x1 y1 = x2 y 2 và x1 x2 ≥ 0 thì S còn là một quan hệ tương đương nữa không? Giải Dễ dàng chứng minh được R có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu, nghĩa là R là một quan hệ tương đương. Với điểm P ( a, b ) trong mặt phẳng, lớp tương đương P ( a, b ) = { P '( x, y) | xy = c} (với c = ab ). Nếu c = 0 thì P ( a, b ) chính là hai trục tọa độ x = 0 và y = 0 . Nếu c ≠ 0 thì P ( a, b ) chính là hyperbol có phương trình xy = c . Tập hợp thương là tập {{P( x, y) | xy = c} c ∈ R} S không là một quan hệ tương đương vì nó không có tính bắc cầu ( (1,0) S ( 0,1) , ( 0,1) S ( −1,0) nhưng không có (1,0) S ( −1,0) ) . 10. Trên tập hợp R các số thực, xét quan hệ hai ngôi R sau: ∀ x , y ∈ R , xRy ⇔ x 3 − y 3 = x − y. Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương. Tìm các lớp tương đương và tìm tập hợp thương. 17 Giải ∀x , y , z ∈ R , x 3 − x 3 = x − x = 0 , tức là xRx hay R có tính phản xạ; x 3 − y 3 = x − y ⇒ y 3 − x 3 = y − x tức là xRy ⇒ yRx hay R có tính đối xứng; ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 x3 − y3 = x − y và y3 − z3 = y − z ⇒ x − z = x − y + y − z = ( x − y) + ( y − z ) = x − z , tức là xRy và yRz ⇒ xRz hay R có tính bắc cầu. Vậy R là một quan hệ tương đương. { } ∀a ∈ R, a = x ∈ R | x3 − a3 = x − a { ) } ( = x ∈ R | ( x − a ) x 2 + ax + a 2 − 1 = 0 . Nếu a < − 2 2 hay a > thì a = {a} ; 3 3 Nếu a = − ⎧ 2 1 ⎫ 2 1 , ⎬; hay a = thì a = ⎨− 3 3 ⎩ 3 3⎭ Nếu a = Nếu − 1 ⎫ ⎧ 2 2 1 hay a = − thì a = ⎨ , − ⎬; 3 3 3⎭ ⎩ 3 2 2 1