Ứng dụng tích phân bài toán thực tế

ịnh lý 1:Cho hàm số f(x) liên tục trên oạn [a;b]. Nếu hàm số u=u(x) có ạo hàm liên tục trên oạn[a;b]vàαfu(x)fβ,∀x∈ [a;b]sao cho

f(x) =g(u(x))u′(x)

vớig(u) liên tục trên oạn[α;β]thì

b

a

f(x)dx=

u(b)

u(a)

g(u)du.

Ta xét ví dụ sau: Tính

1

0

x 3 1 +x 2 dx.

ặtu= 1 +x 2 ⇒ du= 2xdx

ổi cận

x= 0 x= 1

⇒

u= 1 u= 2

.

Ta có:I=

1

2

2

1

u− 1 u du=

1

2

2

1

1 −

1

u

du.

\=

1

2

(u−ln|u|)

2

1

\=

1

2

−ln 2.

ịnh lý 2:Cho hàm sốf(x)liên tục trên oạn[a;b]. Giả sử hàm số x=φ(t) có ạo hàm liên tục trên[α;β]sao cho φ(α) =a, φ(β) =b vàafφ(t)fbvới mọit∈[α;β]. Khi ó:

b

a

f(x)dx=

β

α

f(φ(t)φ′(t)dt.

Ta xét ví dụ sau:

1

0

1

1 +x 2 dx.

ặtx= tant, với

−

π 4 < t <

π 4

.

⇒ dx= 1 cos 2 t dt.

ổi cận

x= 0 x= 1

⇒

t= 0 t=π 4

.

I=

π 4

0

1

1 cos 2 t

1

cos 2 t dt=

π 4

0

dt=t

π 4

0

\=

π 4

.

2.4 Phương pháp tích phân từng phần

ịnh lýNếuu=u(x)vàv=v(x)là hai hàm số có ạo hàm liên tục trên oạn[a;b]thì

b

a

u(x)v′(x)dx= (u(x)v(x))|ba−

b

a

u′(x)v(x)dx

2.5 Hình phẳng giới hạn bởi hai ường cong

Cho hai hàm sốf 1 (x) vàf 2 (x) liên tục trên oạn[a;b]. Khi ó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai ồ thị hàm số và hai ường thẳng x=avàx=blà:

S=

b

a

|f 1 (x)−f 2 (x)|dx.

Chú ý:

Nếu trên oạn[a;b], hàm sốf(x)không ổi dấu thì

b

a

|f(x)|dx=

b

a

f(x)dx

.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các ườngx=g(y),x=h(y)

và hai ường thẳngy=cvày=dlà:S=

d

c

|g(y)−h(y)|dy.

2.5 Thể tích vật thể

GọiBlà phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Oxtại các iểmavàb;S(x)là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trụcOxtại iểmx(afxfb). Giả sử S(x)là hàm số liên tục trên oạn [a;b]. Khi ó, thể tích của vật thể Blà:

V =

b

a

S(x)dx.

2.5 Thể tích khối tròn xoay

Thể tích khối tròn xoay ược sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các ườngy=f(x), trục hoành và hai ường thẳngx=a,x=b quanh trụcOxlà:

V =π

b

a

[f(x)] 2 dx.

Chú ý:

Thể tích khối tròn xoay ược sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các ườngx =g(y), trục tung và hai ường thẳng y =c, y= d

quanh trụcOylà:V =π

d

c

[g(y)] 2 dy.

Lời giải

Ta có phương trình của elip là x

2 1 +y

2 1 4

\= 1.

GọiS 1 là diện tích của phần mặt phẳng giới hạn

bởi elip, ta cóS 1 =π.a=π. 1.

1

2

\=

π 2 (m 2 ).

GọiS 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa trên ường thẳng MN.

Với MN ược biểu diễn ưới dạng:y= 1 4

.

Phương trình nửa trên elip lày=

Ḁ

1 −x 2 4 ôy=

1

2

.

1 −x 2.

Phương trình hoành ộ giao iểm của elip và MN là

1 2

1 −x 2 =

1

4 ô 1 −x

2 = 1

4 ôx=±

√

3

2

Suy raS 2 =

√ 3 2

−√ 23

1

2

1 −x 2 −

1

4

dx=

√ 3 2

−√ 23

1

2

1 −x 2

dx−

3

4

.

ặtx= sint⇒dx= costdt.

ổi cận







x=−

√

3

2 ⇒t=−

π 3 x=

√

3

2

⇒t= π 3

.

Suy ra

√ 3 2

−√ 23

1

2

1 −x 2

dx= 1 2

π 3

−π 3

cost 2 dt

\=

1

4

π 3

−π 3

(1 + cos 2t) dt=

1

4

t+

1

2 sin 2t

π 3

−π 3

\=

π 6 +

√

3

8.

Suy raS 2 =π 6

+

√

3

8

−

√

3

4

\=π 6

−

√

3

8

(m 2 ).

Vậy thể tíchV =

π 2

−

π 6

+

√

3

8

. 3 , 5 ≈ 4 ,42(m 3 ).

Bài 2: Thành phố ịnh xây cầu bắc ngang con sông dài 500 m, biết rằng người ta ịnh xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau 40 m, biết 2 bên ầu cầu và giữa mối nhịp nối người xây 1 chân trụ rộng 5 m. Bề dày nhịp cầu không ổi là 20 cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông ể xây các nhịp cầu là bao nhiêu?

Lời giải

Chọn hệ trục tọa ộ như hình vẽ với gốc O(0; 0) là chân cầu, ßnh I(25; 2), iểmA(50; 0).

Gọi Parabol trên có phương trình:(P 1 ) :y 1 =ax 2 +bx+c=ax 2 +bx (ViO∈(P 1 )).

⇒y 2 =ax 2 +bx−

20

100

\=ax 2 +bx−

1

5

là phương trình Parabol dưới.

Ta cóI, A∈(P 1 )⇒y 1 =−

2

625

x 2 +

4

25

x⇒y 2 =−

2

625

x 2 +

4

25

x−

1

5

.

Khi ó diện tích mỗi nhịp cầu làS= 2S 1 vớiS 1 là phần giới hạn bởi y 1 ,y 2 trong khoảng(0; 25).

S= 2





0 , 2

0

−

− 2

625

x 2 +

4

25

x

dx+

25

0 , 2

1

5

dx



≈ 9 , 9 m 2.

Vì bể dày nhịp cầu không ổi nên coi thể tích là tích diện tích vàbề dàyV =S. 0 , 2 ≈ 1 , 98 m 3.

Bài 4: Người ta dựng một cái lều vải(H) có dạng hình <chóp lục giác ều= cạnh 3 m. Chiều caoSO= 6m (vuông góc với mặt phẳng áy). Các cạnh bên của(H)là các sợi dâyC 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 nằm trên các ường parabol có trục ối xứng song song vớiSO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của(H)với mặt phẳng qua trung iểm thì lục giác ều có cạnh 1 m. Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều (H)ó.

Lời giảl

Chọn hệ trụcOxynhư hình vẽ.

Gọi phương trình parabol của(C 1 )là

y=ax 2 +bx+c⇒







9 a+ 3b+c= 0 a+b+c= 3 c= 6

ô











a=

1

2

b=−

7

2

c= 6

⇒y= 1 2 x 2 − 7 2 x+ 6.

Khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trụcOxtại iểm có tung ộy(0< yf6)ta ược thiết diện là một lục

giác ều có ộ dài cạnhxxác ịnh bởiy= 1 2 x 2 − 7 2 x+6.

1

2

x 2 −

7

2

x+ 6 =yô

x−

7

2

2

\= 2y+

1

4

ôx=

7

2

±

Ḁ

2 y+

1

4

.

Do 0 < xf 3 ⇒x=

7 −

1 + 8y 2

⇒S(y) = 3

√

3

2

7 −

1 + 8y 2

2

(m 2 ).

Vậy thể tích túp lều là:

V =

6

0

S(y) dy=

6

0

3

√

3

2

7 −

1 + 8y 2

2

dy=

135

√

3

8

(m 3 ).

4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG THỰC TẾ

a phần ứng dụng tích phân về thể tích là nhằm vào việc tính thể tích ể xác ịnh rõ trọng lượng bên trong của một vật và sáng tạora các hình dạng có thể tối ưu công năng của vật ó.

1/ Một trong những ứng dụng của tích phân là việc chế tạo khinh khí cầu. Việc tính toán lượng không khí chứa trong chiếc khinh khícầu sẽ giúp chúng ta tính ược lực cản không khí, từ ó tính ược trọng lượng tối a mà chiếc khinh khí cầu có thể mang ể ảm bảo người và hàng hóa trong khoang chứa ược an toàn.

Một trong những ồ vật iển hình là những thùng rượu. ể chế tạo một thùng rượu, người ta cần phải tính toán tối ưu nhất ể có thể chứa nhiều rượu nhất. Một thùng rượu bình thường có chiều cao là 1 m, bán kính ở mặt trên là 30 cm và ở giữa là 40 cmnhư hình vẽ. Người chế rượu sẽ tính toán ủ các yếu tố như trên ể tạo ra thùng rượu tốt và chứa ược tối a số rượu.

Cạnh bên hông của thùng rượu là các parabol. Thùng rượu có dạng một khối tròn xoay có ường sinh là một ường cong có dạng parabol. Vì vậy ể tính thể tích thùng rượu ta cần áp dụng tích phân ể tính thể tích khối tròn xoay.

Ta ưa hình chiếu thu nhỏ theo tß lệ tương ứng của thùng rượu vào trục tọa ộ, với chiều cao của thùng rượu trải theo chiều của trục hoành.

Bước ầu ta cần xây dựng hàm số parabol của các cạnh hông với iều kiện i qua các ßnh như trên hình vẽ. Dựa vào chiều cao của thùng rượu ta tìm ược các cận của tích phân. Khi ó lập ược công thức tính thể tích thùng rượu.

Lời giải

Ta cần tìm phương trình parabol (P) :y =ax 2 +bx+c(a̸= 0) i qua ßnh M,N,A:  



M(50; 30)∈(P)

A(0; 40)∈(P)

N(−50; 30)∈(P)

ô







502 a+ 50b+c= 30 c= 40 502 a− 50 b+c= 3

ô







a=− 1 250 b= 0 c= 40.

Suy ra:

(P) :y=− x 2 250

+ 40.

Tới ây ta áp dụng công thức tính thể tích V khi quay hình phẳng giới hạn bởi parabol,x= 50, x=− 50 , y= 0quanh trục hoànhOx:

V =π

50

− 50

y 2 dx=π

50

− 50

−

x 2 250 + 40

2

dx

\=π

50

− 50

x 4 2502

−

80 x 2 250

+ 40 2

dx.

Do ó

V =π

x 5 312500

−

8 x 3 75 + 40 2 x

50

− 50

\=

406000 π 3 ≈ 425162 .20(cm 3 )

≈ 425 ,16(l).

Vậy thùng rượu chứa ược tối a 425 ,16(l).

3/ Trong ngành chế tạo, ứng dụng tích phân tính thể tích có thể giúp các kĩ sư, công nhân o lường ược thể tích vật dụng cần dùng ể xây dựng, chế tạo các công trình. Trong công trình xây dựng một câycầu bằng bê tông như hình vẽ, ta cần tính thể tích bê tông ể xây cây cầu nhằm tránh việc lãng phí hay thiếu vật liệu trong xây dựng.

ể có thể tính thể tích của cây cầu, ta chọn hệ trụcOxynhư hình vẽ và xác ịnh ường cong trong hình vẽ là các ường parabol.