Giải Bài Tập Toán lớp 10 Nâng cao CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 7: Bất phương trình bậc hai
Nâng cao phương trình bậc hai 1. Phương trình tam thức Phương trình tam thức là phương trình có dạng:
Cách giải phương trình tam thức Đặt = y. Để tìm nghiệm của phương trình ta giải hệ sau:
Với n=2 và a, b, c đồng thời khác 0 ta có được phương trình trùng phương. Ví dụ: Giải phương trình: – 2-8=0 (1). Giải
2. Phương trình đối xứng Phương trình dạng:
Trong đó vế trái của phương trình là một đa thức bậc n được gọi là đối xứng nếu các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối là bằng nhau, nghĩa là:
Cách giải phương trình đối xứng: – Với phương trình:
Ta thấy được = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1), nên chia cả hai vế của phương trình (1) cho khác 0, ta có:
Giải phương trình này tìm y rồi suy ra . – Với phương trình: a +b +c+ b + a = 0 (2). Ta thấy được phương trình đối xứng bậc lẻ này luôn có nghiệm = – 1 nên ta có thể biến đổi phương trình (2) thành phương trình: ( +1)(a + (b-a) + (c-b+a) +(b-a) +a)=0. Ngoài nghiệm = -1, để tìm các nghiệm còn lại của phương trình (2), ta giải phương trình: a +(b-a) +(c-b+a) +(b-a) +a=0 (2′). Đây là một phương trình đối xứng bậc chẵn, áp dụng phương pháp giải cho phương trình bậc chẵn ở trên ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình (2′). Tổng quát: Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đối xứng với được đưa về phương trình bậc n đối với y bằng cách đặt:
Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một nghiệm là -1, do đó bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho +1 ta hạ bậc của phương trình thành phương trình đối xứng bậc chẵn 2n.
Related
Sách giải toán 10 Bài 2: Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là T = {1; 2} b) √(x2-2 ) = 1 – x ⇔ x2 – 2 = (1 – x)2 ⇔ x2 – 2 = 1 – 2x + x2 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3/2 Vậy phương trình có một nghiệm x = 3/2 Lời giải: a) Sai, vì giá trị x = 1 làm cho mẫu thức bằng không, tức là x = 1 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình đã cho. b) Sai, vì phép bình phương hai vế cho ta phương trình hệ quả bởi vậy cần phải thử lại kết quả tìm được. Do đó sau khi thử lại ta thấy x = 3/2 không là nghiệm của phương trình ban đầu. a) (m2 + 2)x – 2m = z – 3; b) m(x – m) = x + m – 2; c) m(x – m + 3) = m(x – 2) + 6. d) m2(x – 1) + m = x(3m – 2); Lời giải: a) Đưa phương trình về dạng: (m2 + l)x = 2m – 3. Nhận thấy m2 + 1 ≠ 0 với mọi m ∈ R nên phương trình có duy nhất nghiêm x = (2m – 3)/(m2 + 1) (với mọi m ∈ R) b) Đưa phương trình về dạng (m – l)x = (m – l)(m + 2) (1). Vậy: • Nếu m = 1 thì (1) ⇔ 0x = 0. Phương trình có tập nghiệm là R. • Nếu m ≠ 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất: x = [(m – 1)(m + 2)]/(m – 1) = m + 2 c)Do m(x – m + 3) = m(x – 2) + 6 ⇔ 0x = m2 – 5m + 6 ⇔ 0x = (m – 2)(m – 3) • Với m ≠ 2 và m ≠ 3, phương trình vô nghiệm. • Với m = 2 hoặc m = 3, phương trình có tập nghiệm là tập R. d)Do m2(x – 1) + m = x(3m – 2) ⇔ (m2 – 3m + 2)x = m2 – m ⇔ (m – l)(m – 2)x = m(m – 1) • Với m ≠ 1 và m ≠ 2, phương trình có nghiệm duy nhất x = m/(m – 2) • Với m = 1, phương trình có tập nghiệm là R. • Với m = 2, phương trình vô nghiệm 3x + 2 x = -x2 + x + a có nghiệm dương. Khi đó, hãy tìm nghiệm dương của phương trình. Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với: x2 + 2x + 2 = a. Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy phương trình ban đầu có nghiệm dương khi và chỉ khi a > 2. Lúc đó nghiệm dương là x = -1 + √(4a-7) a) (m – l)x2 + 3x – 1 = 0; b) x2 – 4x + m – 3 = 0. Lời giải: a) Khi m = 1 phương trình trở thành 3x – 1 = 0 có một nghiệm x = 1/3. Khi m ≠ 1, ta có phương trình bậc hai với biệt số Δ = 9 + 4(m – 1) = 4m + 5 Với m > -5/4 thì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, 2 = (-3 ± √(4m+5))/(2(m-1)) Với m = -5/4 thì Δ = 0, Phương trình có một nghiệm kép x = 2/3 Với m < -5/4 thì Δ < 0, phương trình vô nghiệm Kết luận : – Khi m = 1. Phương trình có một nghiệm x = 1/3 – Khi m > -5/4 và m ≠ 1, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, 2 = (-3 ± √(4m+5))/(2(m-1)) – Khi m = -5/4 phương trình có một nghiệm (kép) x = 2/3 – Khi m < -5/4, phương trình vô nghiệm b) Ta có: Δ’ = 4 – m + 3 = 7 – m. Nếu 7 – m < 0 ⇔ m > 7 thì phương trình vô nghiệm. Nếu 7-m = 0 ⇔ m = 7 thì phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = 2. Nếu 7-m > 0 ⇔ m < 7 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1= 2 – √(7-m) ; x2 = 2 + √(7-m) Kết luận: m > 7, phương trình vô nghiệm. m = 7, phương trình có duy nhất nghiệm x1 = x2 = 2. m < 7, phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1= 2 – √(7-m) ; x2 = 2 + √(7-m) a) Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 và x2. Chứng minh rằng ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) b) Áp dụng : phân tích các đa thức sau thành nhân tử f(x) = -2x2 – 7x + 4; g(x) = (√2 + 1)x2 – 2(√2 + 1) + 2 Lời giải: a) Áp dụng định lí vi-ét: x1 + x2 = -b/a, x1.x2 = c/a ax2 + bx + c =a(x2 + b/a.x + c/a) = a[x2 – (x1 + x2)x + x1x2] b) -f(x) = -2x2 – 7x + 4 . Xét phương trình f(x) = 0 ta được hai nghiệm x1 = -4 và x2 = 1/2 Do đó : f(x) = -2(x + 4)(x – 1/2) = (x + 4)(1 – 2x) -g(x) = (√2 + 1)x2 – 2(√2 + 1)x + 2. Phương trình g(x) = 0 ta có hai nghiệm x1 = √2 và x2 = √2 /(√2 + 1) Do đó : g(x) = (√2 + 1)(x – √2 )(x – √2/[√2 + 1]) = (x – √2 )[( √2 + 1)x – √2 ] a) Tổng các bình phương hai nghiệm của nó. b) Tổng các lập phương hai nghiệm của nó. c) Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó. Lời giải: Ta có Δ’ = 16 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, gọi hai nghiệm là x1 và x2. Theo định lí Vi-et ta có x1+ x2= 2 và x1. x2= -15. a) x12 + x22 = (x1+ x2)2 -2 x1. x2 = 4 + 30 = 34. b) x13 + x23 = (x1+ x2)3 – x1. x2.( x1+ x2) = 8 + 90 = 98. c) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2 x1. x2)2 = 342 – 2(-15)2 = 706. (A) Vô nghiệm; (B) Có hai nghiệm x= ±1/2.√((1+ √(3))(√(33-16√3) -1)); (C)Có bốn nghiệm x = ±1/2.√((1+ √(3))(√(33-16√3) -1)) và x = ±√3 (D)Có hai nghiệm x = ± √3 Lời giải: Thay x = √3 vào phương trình ta có ngay x = √3 không là nghiệm, do vậy các khẳng định (C) và (D) là sai. Khẳng định (A) cũng sai vì phương trình đã cho có hệ số a = √3 – 1 > 0, c = 2(1 – √3 ) < 0 điều này chứng tỏ phương trình bậc hai (√3- l)yz + y + 2(1 – √3) = 0 có một nghiệm dương hay phương trình ban đầu phải có hai nghiệm phân biệt. Vậy chỉ có khẳng định (B) là đúng (vì có duy nhất mọt khẳng định đúng). |
