Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác Toán lớp 7, tài liệu bao gồm 11 trang, tuyển chọn bài tập Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi. Tài liệu Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác gồm các nội dung chính sau: A. Phương pháp giải - tóm tắt lý thuyết ngắn gọn. B. Một số ví dụ - gồm 4 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác có lời giải chi tiết. C. Bài tập vận dụng - gồm 15 bài tập vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác. Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:  TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC A. Phương pháp giải 1. Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. 2. Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. 3. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó và là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác (gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác) (h.20.1). 4. Trong một tam giác, đoạn vuông góc vẽ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. 5. Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm (h.20.2). Điểm này gọi là trực tâm của tam giác. 6. Bổ sung tính chất của tam giác cân - Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy, đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. - Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, AB<AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho CM=AB. Vẽ đường trung trực của AC, cắt đường phân giác của góc A tại điểm O. Chứng minh rằng O nằm trên đường trung trực của BM. Giải (h.20.3)
* Tìm cách giải. Muốn chứng minh điểm O nằm trên đường trung trực của BM ta cần chứng minh điểm O cách đều hai đầu của đoạn thẳng BM, nghĩa là phải chứng minh OB=OM. Muốn vậy phải chứng minh ΔABO=ΔCMO. Dễ thấy hai tam giác này có hai cặp cạnh bằng nhau nên chỉ cần chứng minh cặp góc xen giữa bằng nhau là đủ * Trình bày lời giải Điểm O nằm trên đường trung trực của AC nên OA=OC. Do đó ΔOAC cân tại O, suy ra A^2=OCA^. Mặt khác A^2=A^1 nên A^1=OCA^. ΔABO và ΔCMO có: AB=CM; A^1=OCA^; OA=OC nên ΔABO=ΔCMO (c.g.c). Suy ra OB=OM. Điểm O cách đều hai đầu của đoạn thẳng BM nên O nằm trên đường trung trực của BM. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAB và HAC cắt BC lần lượt tại M và N. Các đường phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại O. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Giải (h.20.4)
* Tìm cách giải. Muốn chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, ta phải chứng minh O là giao điểm các đường trung trực của các cạnh AM và AN. Xét ΔABN có BO là đường phân giác góc B nên để chứng minh BO là đường trung trực của AN thì chỉ cần chứng minh ΔABN là tam giác cân tại B. * Trình bày lời giải. Ta có BAN^+CAN^=90° (vì BAC^=90°). (1) BNA^+NAH^=90° (vì H^=90°). (2) Mặt khác, CAN^=NAH^ nên từ (1) và (2) suy ra BAN^=BNA^ do đó ΔABN cân tại B. Xét ΔABN cân tại B có BO là đường phân giác của góc B nên BO cũng là đường trung trực của cạnh AN. Chứng minh tương tự ta được CO là đường trung trực của cạnh AM. Xét ΔAMN có O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AN và AM nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAMN Xem thêm§9. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT ?1 Dùng êke vẽ ba đường cao của tam giác ABC. Hãy cho biết ba đường cao của tam giác đó có cùng đi qua một điểm hay không. Hướng dẫn - Hình vẽ : Nhận xét : Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. ?2 Hãy phát biểu và chứng minh các trường hợp còn lại của nhận xét trên (xem như những bài tập). Hướng dẫn Trường hợp 1 : Trong một tam giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân. Trường hợp 2 : Trong một tam giác, đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân. Trường hợp 3 : Trong một tam giác, đường phân giác xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân. LUYỆN TẬP Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác. Giải Trường hợp tam giác vuông ABC (A = 90°) Ta có BA, CA là đường cao xuất phát từ các đỉnh B, c và chúng gặp đường cao AI tại A. Vậy trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông. Trường hợp tam giác tù ABC (A > 90°) Ta có các đường cao BK, CL cắt nhau tại H. Trực tâm H không thể nằm trong tam giác hoặc trùng với điểm A. Nếu H nằm trong tam giác thì khi đó các tam giác CAI và CAK có một góc vuông và một góc tù (điều này không thể xảy ra vì tổng ba góc trong một tam giác là 180°). Nếu H trùng với A thì AABC vuông tại A (trái giả thiết) Vậy trực tâm H nằm bên ngoài tam giác. 59 Cho hình bên. Chứng minh NS ± LM. Khi LNP = 50°, hãy tính góc MSP và góc PSQ. Giải a) Ta có : 'MQ1LN LP 1 MN MQ và LP là đường cao của AMLN s là giao điểm của MQ và LP nên NS thuộc đường cao thứ ba của AMLN. Vậy : NS ± LM. b) AMQN vuông tại Q, ta có : L M p N QMN + LNP = 90° => QMN = 90° - LNP = 90° - 50° = 40° AMSP vuông tại p, ta CÓ : MSP + SMP = 90° => MSP = 90° - SMP = 90° - 40° = 50° Ta có : PSQ + MSP = 180° (hai góc kề bù) Do đó : PSQ = 180° - MSP = 180° - 50° = 130°. 60 Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng ỉ vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N. Chứng minh rằng KN 1 IM. Giải Ta có : MJ 1 IK (do l 1 d) IN 1 MK (gt) MJ và IN là các đường cao của AMIK. Hai đường cao này cắt nhau tại N nên N thuộc đường cao thứ ba của tam giác. Vậy : KN 1 IM. 61 Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó. Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC. Giải • Trường hợp AABC có ba góc nhọn : Gọi các đường cao của AABC là AA1, BB1, CC1 và H là trực tâm của tam giác. Các đường cao của AHBC là HAj, CB1, BC1 Các đường cao này gặp nhau tại A nên A là trực tâm của AHBC. Tương tự, B là trực tâm của AHAC c là trực tâm của AHAB Trường hợp AABC có A > 90° : Tương tự trường hợp trên. 62 Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì nó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì nó là tam giác đều. Giải Tam giác ABC có các đường cao BD, CE, biết BD = CE. Ta chứng minh AABC cân tại A. Xét hai tam giác vuông BDC và CEB, ta có : BC (cạnh chung) BD = CE (gt) Suy ra : ABDC = ACEB (cạnh huyền và cạnh góc vuông) Do đó : BCD = CBE Vậy AABC cân tại A. Trường hợp tam giác có ba đường cao AD, BE, CF bằng nhau, chứng minh tương tự câu trên ta suy ra được A = B = C. Vậy AABC là tam giác đều. §9. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC A. Tóm tốt kiến thức Hình 3.91 Định lí 1. Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác. Trên hình 3.91, H là trực tâm của tam giác ABC. Định lí 2. Trong một tam giác cân, đường cao úng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó. Nhận xét. Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. B. Ví dụ giải toán Hình 3.92 Ví dụ. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AE, BD cắt nhau tại H. Biết rằng AH = BC. Tính BAC . Giải. (h.3.92) Tam giác ABC có AE, BD là đường cao => H là trực tâm. Kẻ CH cắt AB tại F =>CF 1AB. Xét hai tam giác AHD và BCD có: ADH = BDC = 90°; AH = BC ; HAD = CBD (cùng phụ với ACB ) => AAHD = A BCD =>DH= DC. Do đó tam giác DHC vuông cân => ACF = 45°. Tam giác ACF có F = 90°; ACF = 45° => BAC = 45° . Nhận xét. Trong một tam giác, đường thẳng đi qua một đỉnh và trực tâm thì vuông góc với cạnh đối diện của đỉnh đó. Bạn có thể chứng minh được bài toán đảo sau: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AE, BD cắt nhau tại H và BAC = 45°. Chứng minh rằng AH = BC. c. Hưóng dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa Bài 58. Giải. Xét tam giác ABC vuông tại B (h.3.93a): AB là đường cao kẻ từ A, CB là đường cao kẻ từ c. Do đó B là trực tâm của tam giác ABC. b) Hình 3.93 Xét tam giác ABC có B > 90° (h.3.93b): kẻ đường cao AI thì I nằm ngoài cạnh BC (giả sử I nằm giữa B và c thì tam giác BAI có tổng các góc lớn hơn 180°). Các đường cao AI. CK đều nằm ngoài tam giác ABC nên giao điểm của chúng (là trực tâm của tam giác ABC) nằm. bên ngoài tam giác. Nhận xét. Khi vẽ trực tâm tam giác ta lưu ý: Trực tâm tam giác nhọn nằm bên trong tam giác. Trực tâm tam giác tù nằm bèn ngoài tam giác. Bài 59. Trực tâm tam giác vuông trùng với đính góc vuông. Giải. (h.3.94j Tam giác LMN có hai đường cao LP, MQ cắt nhau tại s là trực tâm, do đó đường thảng NS là đường cao còn lại, hay NS ± LM. N = 50° => NMQ = 40° => MSP = 50° . Do đó PSQ = 180°-MSP = 180°-50° = 130°.. Bài 60. Bài 61. Trực tâm của tam giác HÁB là c. Trực tâm của tam giác HAC là B. Bài 62. Giải. (h.3.97) ■ 7 ■ Hình 3.97 Cho đoạn thẳng AB, điếm M nằm giữa A và B. Kẻ tia Mx vuông góc với AB. Trên Mx lấy D và c sao cho MD = MA, MC = MB. Chứng minh BC ± AD. Cho tam giác ABC nhọn, có hai đường cao BD, CE gặp nhau tại II. Vẽ điểm K sao cho AB là đường trung trực của HK. Chứng minh rằng KAB = KCB. Cho tam giác ABC nhọn, AH là đường cao. Vẽ về phía ngoài của tam giác ABC các tam giác ABE vuông cân ở B và tam giác ACF vuông cân ớ c. Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh: AABI = ABEC. BI = CE và BI 1CE. AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm. Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp sô 1. (h.3.98). Xét hai tam gi có M, = \?2 ; MA = ML ác AMC và DMB ); MC = MB c X => AAMC= ADMB (c. g.c) . => MAC = MDB. 1 2 — iZ—A Mà MDB + MBD = 90 A M Hình 3.98 => MAC + MBD = 90° . Vậy BD 1AC. 2. Xét tam giác ABC có CM TAB; BD TAC suy ra D là trực tâm =>AD 1BC. Hình 3.99 (h.3.99) AB là đường trung trực của HK. => AH = AK => tam giác AKH cân tại A. Tam giác AKH cân tại A có AE là đường trung trực =>AE là đường phân giác cua KAH=>Aị=A7 (1). Tam giác ABC có BD ; CE là hai đường cao cắt nhau tại H => H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi giao điểm của AH và BC là I => AI T BC. Suy ra Aọ = Cị (vì cùng phụ với ABC ) (2). Từ (1) và (2) ta có Aị = ct hay KAB = KCB . Nhận xét. Bài toán có yếu tố đường cao và trực tâm có nhiều cập góc nhọn bằng nhau, vận dụng khéo léo bạn giải được nhiều bài toán về góc. (h.3.100) Ta có BAI + A7 = 180° (hai góc kề bù) CBE + = 90° + Bị + = 90° + 90° = 180° => BAI = CBE. Xét A ABI và A BEC có: AB = BE ; BAI = EBC; AI = BC => AABI = ABEC (c.g.c). AABI= ABEC(cmt) => BI = CE => = ÉỊ . Tam giác BCE có EBC + Cj + Eị =180° => 90° + Bị+Cị + B2 = 180° => Bj + B2+Cj = 90° => KBC + Cj = 90° => tam giác BCK vuông tại K => CE ± BI. Hình 3.100 Chứng minh tương tự, ta có CI ± BF. Xét tam giác IBC có IH .1 BC; CE 1 BI; BF 1 IC => IH; CE; BF là ba đường cao của tam giác. Vậy IH; CE; BF đồng quy. Nhận xét. Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta có thể chứng minh chúng là ba đường cao (hoặc ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường trung trực) trong một tam giác. |
