Cập nhật lúc: 23:12 12-11-2018 Mục tin: LỚP 9
CHỦ ĐỀ . CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ Dạng 1. Biện luận về nghiệm của phương trình. Ví dụ 1.Cho hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{mx + 4y = 20{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1)}\\{x + my = 10{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2)} \end{array}} \right.\) (m là tham số) Với giá trị nào của m hệ đã cho: a) Vô nghiệm b) Có nghiệm duy nhất c) Vô số nghiệm Lời giải. Cách 1. Với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10}\\{y = 5} \end{array}} \right.\) Với m \( \ne 0\) hệ phương trình tương đương với: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \dfrac{{ - m}}{4}x + 5{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (a)}\\{y = \dfrac{{ - 1}}{m}x + \dfrac{{10}}{m}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (b)} \end{array}} \right.\) Dễ thấy (a) và (b) là hai đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy, số nghiệm của hệ là số giao điểm của hai đường thẳng (a) và (b). a) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi (a) và (b) song song tức là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{ - m}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{m}}\\{5 \ne \dfrac{{10}}{m}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - 2\) Vậy m = - 2 thì hệ đã cho vô nghiệm. b) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (a) và (b) cắt nhau tức là: \(\dfrac{{ - m}}{4} \ne \dfrac{{ - 1}}{m} \Leftrightarrow m \ne \pm 2\) c) Hệ đã cho có vô số nghiệm khi và chỉ khi (a) và (b) trùng nhau tức là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{ - m}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{m}}\\{5 = \dfrac{{10}}{m}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 2\) Vậy khi m = 2 hệ đã cho có vô số nghiệm.  Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay >> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Chuyên đề hệ PT bậc nhất có tham số với các dạng toán thường gặp và ví dụ có lời giải. PHẦN I. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1. Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số $ m$ – Phương pháp: + Bước 1: Đưa hệ phương trình về phương trình bậc nhất dạng $ ax+b=0$ (Dùng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,…) + Bước 2: Xét phương trình $ ax+b=0\,\,\,\,\left( 1 \right)$($ a,b$ là hằng số) TH 1: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow a\ne 0$ ⇒ phương trình có nghiệm duy nhất $ x=-\frac{b}{a}$. TH 2: Phương trình (1) vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=0\\b\ne 0\end{array} \right.$. TH 3: Phương trình (1) có vô số nghiệm $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=0\\b=0\end{array} \right.$. + Bước 3: Kết luận. 2. Dạng 2: Tìm $ m$ để hệ phương trình có nghiệm $ \left( x;y \right)$ thỏa điều kiện cho trước – Phương pháp: + Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm $ \left( x;y \right)$ theo tham số $ m$; + Bước 2: Thế nghiệm vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm $ m$; + Bước 3: Kết luận. 3. Dạng 3: Tìm mối liên hệ giữa không phụ thuộc vào tham số $ m$ – Phương pháp: + Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm $ \left( x;y \right)$ theo tham số $ m$; + Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số $ m$; + Bước 3: Kết luận. PHẦN II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm $ \displaystyle a,b$ biết hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x+by=a\\bx+ay=5\end{array} \right.$ có nghiệm $ \displaystyle x=1$; $ \displaystyle y=3$ Lời giải Thay $ \displaystyle x=1$; $ \displaystyle y=3$ vào hệ ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2.1+b.3=a\\b.1+a.3=5\end{array} \right.$ ⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}a-3b=2\\3a+b=5\end{array} \right.$ ⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3a-9b=6\\3a+b=5\end{array} \right.$ ⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}10b=-1\\3a+b=5\end{array} \right.$ ⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}b=\frac{-1}{10}\\a=\frac{17}{10}\end{array} \right.$ Vậy $ \displaystyle a=\frac{-1}{10}$; $ \displaystyle y=\frac{17}{10}$ thì hệ phương trình có nghiệm $ \displaystyle x=1$; $ \displaystyle y=3$ Bài 2: Cho hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=m+3\\2x-3y=m\end{array} \right.$ $ \displaystyle \left( I \right)$ ($ \displaystyle m$ là tham số) . a) Giải hệ phương trình $ \displaystyle \left( I \right)$ khi $ \displaystyle m=1$. b) Tìm $ \displaystyle m$ để hệ $ \displaystyle \left( I \right)$ có nghiệm duy nhất $ \displaystyle \left( x;y \right)$ thỏa mãn $ \displaystyle x+y=-3$. Lời giải a) Với $ \displaystyle m=1$, hệ phương trình $ \displaystyle \left( I \right)$ có dạng: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=4\\2x-3y=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x+4y=8\\2x-3y=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=1\end{array} \right.$ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \displaystyle \left( x,y \right)=\left( 2;1 \right)$. b) $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=m+3\\2x-3y=m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x+4y=2m+6\\2x-3y=m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+2y=m+3\\7y=m+6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{5m+9}{7}\\y=\frac{m+6}{7}\end{array} \right.$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \displaystyle \left( x;y \right)=\left( \frac{5m+9}{7};\frac{m+6}{7} \right)$. Lại có $ \displaystyle x+y=-3$ hay $ \displaystyle \frac{5m+9}{7}+\frac{m+6}{7}=-3\Leftrightarrow 5m+9+m+6=-21\Leftrightarrow 6m=-36\Leftrightarrow m=-6$ Vậy với $ \displaystyle m=-6$ thì hệ phương trình $ \displaystyle \left( I \right)$ có nghiệm duy nhất $ \displaystyle \left( x,y \right)$ thỏa mãn $ \displaystyle x+y=-3$. Bài 3: Cho hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x+y=5m-1\\x-2y=2\end{array} \right.$ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: $ \displaystyle {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=-2$ Lời giải $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x+y=5m-1\\x-2y=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=5m-1-2x\\x-2(5m-1-2x)=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=5m-1-2x\\5x=10m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2m\\y=m-1\end{array} \right.$ Thay vào ta có $ \displaystyle {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=-2\Leftrightarrow {{(2m)}^{2}}-2{{(m-1)}^{2}}=-2\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+4m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=0\\m=-2\end{array} \right.$ Vậy $ \displaystyle m\in \left\{ 2;0 \right\}$. Bài 4: Cho hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(m-1)x+y=2\\mx+y=m+1\end{array} \right.$ ($ \displaystyle m$ là tham số) a) Giải hệ phương trình khi $ \displaystyle m=2$; b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $ \displaystyle m$ thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $ \displaystyle \left( x;y \right)$ thỏa mãn: $ \displaystyle 2x+y\le \text{3}$. Lời giải a) Giải hệ phương trình khi $ \displaystyle m=2$. Ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+y=2\\2x+y=3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+y=2\\x=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=1\end{array} \right.$. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \displaystyle \left( 1;1 \right)$. b) Ta có $ \displaystyle y=2\left( m-1 \right)x$ thế vào phương trình còn lại ta được phương trình: $ \displaystyle mx+2\left( m-1 \right)x=m+1\Leftrightarrow x=m1$ suy ra $ \displaystyle y=2{{\left( m-1 \right)}^{2}}$ với mọi $ \displaystyle m$ Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $ \displaystyle \left( x;y \right)=\left( m-1;2{{\left( m-1 \right)}^{2}} \right)$ $ \displaystyle 2x+\text{ }y=2\left( m-1 \right)+2{{\left( m-1 \right)}^{2}}=-{{m}^{2}}+4m-1=3{{\left( m-2 \right)}^{2}}\le 3$ với mọi $ \displaystyle m$. Bài 5: Cho hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x+y=2m+9\\x+y=5\end{array} \right.$ có nghiệm $ \displaystyle \left( x;y \right)$. Tìm $ \displaystyle m$ để biểu thức $ \displaystyle A=xy+x-1$ đạt giá trị lớn nhất. Lời giải $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x+y=2m+9\\x+y=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=m+2\\y=3-m\end{array} \right.\Rightarrow A=xy+x-1=8-{{\left( m-1 \right)}^{2}}$ ⇒ $ \displaystyle {{A}_{max}}=8$ khi $ \displaystyle m=1$. Bài 6: Cho hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{array} \right.$ ($ \displaystyle m$ là tham số) a) Giải hệ phương trình khi $ \displaystyle m=2$. b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm $ \displaystyle \left( x;y \right)$ duy nhất thỏa mãn $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\y\ge 1\end{array} \right.$ Lời giải a) Thay $ \displaystyle m=1$ ta có hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=3\\2x+y=4\end{array} \right.$ ⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=3\\4x+2y=8\end{array} \right.$ ⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x=5\\2x+y=4\end{array} \right.$ ⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{5}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{array} \right.$ b) Xét hệ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+my=m+1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\mx+y=2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ Từ (2) $ \displaystyle \Rightarrow y=2m-mx$ thay vào (1) ta được $ \displaystyle x+m\left( 2m-mx \right)=m+1\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-{{m}^{2}}x+x=m+1$ ⇔ $ \displaystyle \left( {1-{{m}^{2}}} \right)x=-2{{m}^{2}}+m+1$ ⇔ $ \displaystyle \left( {{{m}^{2}}-1} \right)x=2{{m}^{2}}-m-1=(m-1)\left( {2m+1} \right)$ (3) Hệ phương trình đã cho $ \displaystyle \Leftrightarrow \left( 3 \right)$ có nghiệm duy nhất có nghiệm duy nhất $ \displaystyle {{m}^{2}}-1\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 1$ (*) Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{2m+1}{m+1}\\y=\frac{m}{m+1}\end{array} \right.$ Ta có $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\y\ge 1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2m+1}{m+1}\ge 2\\\frac{m}{m+1}\ge 1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{-1}{m+1}\ge 0\\\frac{-1}{m+1}\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m+1<0\Leftrightarrow m<-1$ Kết hợp với (*) ta được giá trị $ \displaystyle m$ cần tìm là $ \displaystyle m<-1$. Bài 7: Cho hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right|+x+\left| y \right|+y=2015\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\left| x \right|-x+\left| y \right|-y=k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$ (k là số cho trước). Biết rằng hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt $ \displaystyle \left( x;y \right)=\left\{ \left( a;b \right);\left( c;d \right) \right\}$. Tính tổng $ \displaystyle a+b+c+d$ theo $ \displaystyle k$. Lời giải Trừ vế theo vế của cho ta có: $ \displaystyle 2x+2y=2015-k\Leftrightarrow 2\left( x+y \right)=2015-k$ (3) Vì hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt nên ta có: $ \displaystyle 2\left( x+y \right)=a+b+c+d$. (4) Từ (3) và (4) suy ra $ \displaystyle a+b+c+d=2015-k$. |
