Trong phần toán hình học không gian, hình lăng trụ là một trong những hình không gian có nhiều dạng khác nhau như hình lăng trụ đứng, lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều,… Mỗi hình sẽ có những tính chất và công thức tính khác nhau. Bài viết dưới đây sẽ giúp các em nắm một dạng hình khá phổ biến trong các dạng hình về khối lăng trụ đó là kiến thức về hình lăng trụ tam giác đều và các bài tập từ cơ bản đến nâng cao để các em có thể vận dụng sau bài học. Show
Hình lăng trụ là một đa diện gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau Hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ có hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau.  Hình lăng trụ tam giác đều Tính chất hình lăng trụ tam giác đềuTính chất hình lăng trụ tam giác đêu:
Công thức tính thể tích của một lăng trụ tam giác đềuThể tích hình lăng trụ bằng diện tích của mặt đáy và khoảng cách giữa hai mặt đáy hoặc là chiều cao. Công thức tính thể tích hình lăng trụ tam giác giác đều V=B.h Trong đó:B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ, V là thể tích khối lăng trụ Đáy của hình lăng trụ tam giác đều chính là hình tam giác đều. gọi A là diện tích của tam giác đều ta có công thức tính diện tích tam giác đều như sau: Bài tập 1Tính thể tích khối trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng 8cm và mặt phẳng A’B’C’ tạo với mặt đáy ABC một góc bằng 60 độ. Đáp án: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC ta có: AI vuông góc BC (theo tính chất đường trung tuyến của một tam giác đều) A’I vuông góc BC (Vì A’BC là tam giác cân)
Diện tích tam giác ABC:
Bài tập 2Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có đáy là tam giác nội tiếp trong đường tròn bán kính a, diện tích mặt bên lăng trụ là Bài tập 3Lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có chiều cao a. Mặt phẳng (ABC’) tạo với mặt đáy góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ Bài tập 4Lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy là a. Diện tích tam giác ABC’ là Tính thể tích khối lăng trụ Bài tập 5Lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A’ của lăng trụ cách đều A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài tập 6Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy là a, chiều cao gấp đôi cạnh đáy. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ , BB’ . Tính tỉ số thể tích khối chóp C.ABEF và thể tích khối lăng trụ đã cho Bài tập 7Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C. Bài tập 8Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A với AC = b, góc ACB là 600. Đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng AA’C’C một góc bằng 300. Tính độ dài đoạn thẳng AC’ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho Bài tập 9Cho khối lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều 3 điểm A, B , C, cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ đó Chứng minh mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhật Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ Bài tập 10Cho khối lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’. Mặt phẳng đi qua M, B’ , C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Bài tập 11Cho hình lăng trụ tam giác đều với chiều cao h, nội tiếp một mặt cầu bán kính R (h < 2R) (Hình lăng trụ tam giác đều nội tiếp một mặt cầu do đó sáu đỉnh của hình lăng trụ sẽ nằm trên mặt cầu đó). a) Tính cạnh đáy của hình lăng trụ. b) Tính thể tích của khối lăng trụ. c) Tính h theo R để mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông. Đáp án: a) Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, I là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó ta có : OA = OB = OC =R OI = 1/2.h Tam giác OAI là tam giác vuông tại I nên AI2 – OI2 = R2 – 1/4.h2 IA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên Vậy cạnh đáy của hình lăng trụ bằng b) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là c) Mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông khi và chỉ khi AB = h, tức là Bài tập 12Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của . Tìm thể tích của khối chóp M.A’B’C’ Đáp án: Do AA’ vuông góc với tam giác ABC nên suy ra (A’C,(ABC)) = góc A’CA = 60º Ta có AA’ = AC . Tan A’CA = a√3.tan60º = 3a Bài tập 13Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có BA = BC = 2a, biết A1 M=3a với M là trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1 B1 C1 Đáp án: Bài tập 14Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC.A’B’C’ với AB= a; AC = 2a và ∠(BAC)=120º, mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Đáp án: Dựng A’M vuông góc với BC ta được A’M vuông góc với BC, AA’ vuông góc với BC => (AA’M) vuông góc với BC => AM vuông góc với BC tam giác A’BC giao với tam giác ABC = BC
Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hayA. Phương pháp giảiCho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Để tính khoảng cách giữa (P) và (Q) ta thực hiện các bước: + Bước 1: Chọn một điểm A trên (P) sao cho khoảng cách từ A đến (Q) có thể được xác định dễ nhất. + Bước 2: Kết luận: d((P); (Q)) = d(A; (Q)). B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng(MNP) và (ACC’).
Hướng dẫn giải
Chọn D Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD nên MN là đường trung bình của tam giác ADC. ⇒ MN // AC (1) + Do M; P lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ nên MP // AA’ // DD’ Lại có: CC’ // AA’ nên MP // CC’ (2) Từ (1) và (2) suy ra: ( MNP) // (ACC’) + Gọi O là giao điểm của A’C’ và B’D’. Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên D’O ⊥ (AA’C’C) và d(D’; (ACC’)) = D’O.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60°, đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A, B; C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.
Hướng dẫn giải
Chọn A + Vì tam giác ABC đều và AA’ = BA’ = CA’ (giả thiết) nên A’.ABC là hình chóp đều. Gọi A’H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm tam giác ABC Lăng trụ ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy góc 60° nên ∠A’AH = 60°. + Xét tam giác AHA’ có: A’H = AH.tan60° = ((a√3)/3).√3 = a + lại có; (ABC) // (A’B’C’) ( định nghĩa hình lăng trụ) nên d((ABC), (A’B’C’)) = d( A’, (ABC)) = A’H = a Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60°. Hình chiếu vuông góc của A’lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A’H ⊥ (ABC). Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy là 60° nên ∠A’AH = 60° + Xét tam giác A’HA vuông tại H ta có: A’H = AA’.sin60° = (a√3)/2. + Do (ABC) // ( A’B’C’) (định nghĩa hình lăng trụ) nên d((ABC); (A’B’C’)) = d(A’; (ABC)) = A’H = (a√3)/2 Chọn đáp án A Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ banmaynuocnong.com’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:
Hướng dẫn giải
+ Do hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a nên AB’ = AC’. ⇒ tam giác AB’C’ là tam giác cân có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến (do AH ⊥ (A’B’C’) ⇒ HB’ = HC’ và A’H = AC.sin60° = (a√3)/2 + Do góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° và có AH ⊥ (A’B’C’) nên ∠AA’H = 30° Xét tam giác AA’H vuông tại H có: AH = A’H.tan(AA’H) = (a√3)/2.tan30° = a/2 Chọn đáp án C Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D; cạnh a. Khoảng cách giữa (AB’C) và (A’DC’) bằng :
Hướng dẫn giải
+ Xét hai mp(AB’C) và (A’DC’) có:
+ Gọi O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’. Gọi I là hình chiếu của D’ trên O’D suy ra I là hình chiếu của D’ trên (A’DC’) ta có: B’D’ = a√2 và O’D’ = (1/2)B’D’ = (a√2)/2 + xét tam giác O’D’D vuông tại D’ có:
Vậy d((AB’C) ; (A’DC’)) = (a√3)/3 Chọn đáp án D C. Bài tập vận dụngCâu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC’)
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (CB’D’) và (BDA’) bằng
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB’) và (DA’C’) bằng
Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 4; AD = 3. Mặt phẳng (ACD’) tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và DC. Gọi J là trung điểm SA và H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc (ABCD), SH = a√3. Khoảng cách từ (MDJ) đến mặt phẳng (SBP) tính theo a bằng
Giới thiệu kênh Youtube VietJack Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại banmaynuocnong.com
|
