đề 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHANG SONG SONG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THANG và mặt phang Giữa đường thẳng d và mặt phảng ot ta có ba vị trí tương đối như sau: d và a cắt nhau tại M, kí hiệu d n a = {M}; . d song song a , kí hiệu d // a hay a // d; d nằm trong a , kí hiệu d c a . n. ĐỊNH Ú VÀ TÍNH CHAT Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phảng a và d song song với đường thẳng d’ nằm trong a thì d song song với a . d <z a • d//d' =>d//a. d' c a Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng a . Nếu mặt phẳng p chứa d và cắt ct theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d. d//a .pod => d//d’. p n a = d' ' Nếu hai mặt phẳng a và p cắt nhau và cùng song song với đường thẳng d thì giao tuyến d’ của a và p cũng song song với d. a//d -p//d => d//d'. a n p = d' Với hai đường thẳng chéo nhau dx và d2 có duy nhất một mặt phẳng a chứa dx và song song với d2. ơ. ũ dj a//d2 dj và d2 chéo nhau thì có duy nhất mặt phẳng ot: • B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Trong phần này cần chú ý các dạng toán cơ bản sau đây: Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phổng. Để chứng minh đường thẳng a song song vói mặt phẳng (P) (a không nằm trong (P)) ta chứng minh a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P). Dạng 2: Dựng thiết diện song song với đường thẳng Ta có thể dùng tính chất sau: Nếu một mặt phẳng (a ) song song với đường thẳng d thì (a ) sẽ cắt những mặt phẳng chứa d (nếu có) theo các giao tuyến song song với d. c. GIẢI BẢI TẬP SÁCH GIÀO KHOA Bài 1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt là o và O’. Chứng minh rằng đường thẳng 00’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE). Gọi 'M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF). Giải a) Ta có và b) Ta có tứ giác EFDC là hình bình hành, suy raEDc (CEF). IM IN 1 E c D ta có ID IE 3 • Vậy MN // ED mà ED c (CEF) => MN // (CEF). Bài 2 Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (a) là mặt phảng qua M song song với AC và BD. Tìm giao tuyến của (a) với các mặt phảng của tứ diện. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phảng (a) là hình gì? Giải Giao tuyến của (a) với các mặt của tứ diện là các cạnh của tứ giác MNPQ có: MN // PQ // AC và MQ // NP // BD. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (a) với tứ diện là hình bình hành. Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi o là giao điểm của hai đường thẳng chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phảng (a ) đi qua o, song song với AB và sc. Thiết diện đó là hình gì? Giải (a)//AB AB c (ABCD) => AB // MN MN = (a) n (ABCD) (a)//sc sc c (SBC) => sc 11 MQ MQ = (a) n (SBC) '(a)//AB AB c (SAB) => AB // PQ PQ = (a) n (SAB) Do đó MN // PQ => tứ giác MNPQ là hình thang. D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điếm của AD. Trên tia CI lấy điểm K sao cho I là trung điểm của CK. Chứng minh: 1/ AK // mp (BCD) 2/ DK // mp (ABC)' Bài 2 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, p lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, BCD, CDA. Chứng minh: 1/ MN // mp (ABD) 2/ NP // mp (ABC) Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm 0. M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD nếu qua mặt phẳng M và đồng thời song song với sc và AD. Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM. Tìm giao tuyến của hai mặt phảng (SAD) và (SBC). Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng NG // (SCD). Chứng minh rằng MG // (SCD). Bài 5 Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB (M khác A và B). Giả sử (P) là mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng cắt AC và BD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì? Bài 6 Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Xét vị trí tương đối của đường thẳng MN và mp (BCD). Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mp(ABC). Bài 7 Cho tứ diện ABCD. Có thế’ cắt tứ diên bằng một mặt phảng để: Thiết diện là hình thang? Thiết diện là hình bình hành? Thiết diện là hình thoi? Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi, o là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua o, song song với AB và sc. Hỏi thiết diện đó là hình gì? Bài 9 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điếm M của cạnh AB song song với BD và SA. Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD với M, N là hai điểm lần lượt lấy trên các cạnh AB và CD. Gọi (a ) là mặt phẳng qua MN và song song với SA. 1/ Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (a ) với các mặt phảng (SAB) và (SAC). 2/ Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phảng (a ). 3/ Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. Bài 11 Cho tứ diện ABCD. Vẽ trung tuyến CK. Một mặt phảng (a) bất kì song song với AB và CK đi qua M trên BC, cắt các cạnh BD, AD, AC tại N, p, Q 1/ Chứng minh MNPQ là hình thang. 2/ Tìm tập hợp giao điểm I của MQ và NP. Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có AD không song song với BC. Một mặt phảng bất kì song song với SA và AB đi qua điểm M trên AD , cắt BC, sc, SD tại N, p, Q. 1/ Chứng minh MNPQ là hình thang. 2/ Tìm tập hợp giao điểm I của MQ và NP Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng bất kì song song với SD và BC đi qua điểm M trên AB cắt DC, sc, SB tại N, p, Q. 1/ Tứ giác MNPQ là hình gì? 2/ Tìm tập hợp giao điểm I của MQ và NP. ■ Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.  ■ Định lý: Nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với $\left( \beta \right)$ thì $\left( \alpha \right)$song song với $\left( \beta \right)$. ■ Tính chất 1: Qua một điểm A nằm ngoài mặt phẳng $\left( \beta \right)$ cho trước, có duy nhất một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( \beta \right)$. $\Rightarrow $ Hệ quả: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Khi đó các đường thẳng đi qua A và song song với $\left( \alpha \right)$ cùng nằm trên mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua A và song song với $\left( \alpha \right)$. ■ Tính chất 2: Cho hai mặt phắng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song với nhau. Khi đó một mặt phẳng nếu cắt $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ lần lượt theo các giao tuyến a, b thì a song song với b. Phương pháp giải toán: Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau ta chứng minh hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) song song với lần lượt hai đường thẳng ${a}'$ và ${b}'$ cắt nhau nằm trong mặt phẳng (Q). Bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song có đáp án chi tiết
Lời giải chi tiết a) Ta có MO là đường trung bình trong tam giác $SAC\Rightarrow MO//AC.$ Mặt khác N và O lần lượt là trung điểm của SD và BD nên NO là đường trung bình trong $\Delta SBD\Rightarrow NO//SB.$ Ta có: $\left\{ \begin{array} {} MO//SC \\ {} NO//SB \\ {} MO\cap NO=O \\ {} SC\cap SB=S\text{ } \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( OMN \right)//\left( SBC \right).$ b) Do P và O lần lượt là trung điểm của AB và AC nên $OP//AD//BC\Rightarrow OP//\left( SBC \right).$ Lại có $ON//SB\Rightarrow OQ//\left( SBC \right).$ Do vậy $\left( OPQ \right)//\left( SBC \right)\Rightarrow PQ//\left( SBC \right).$
Lời giải chi tiết a) Ta có N và O lần lượt là trung điểm của CD và AC nên NO là đường trung bình trong $\Delta BCD\Rightarrow NO//BC$. Tương tự MO là đường trung bình trong tam giác SAC nên $MO//SC$. Lại có: $\left\{ \begin{array} {} NO//BC \\ {} MO//SC \\ {} OM\cap ON=O \\ {} BC\cap SC=S\text{ } \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( OMN \right)//\left( SBC \right)$ b) Ta có P và Q lần lượt là trung điểm của BC và AD thì PQ là đường thẳng cách đều AB và CD do vậy điểm $J\in PQ$. Do IQ là đường trung bình của $\Delta SAD$ nên $IQ//SA$. Ta có: $PQ//\left( SAB \right);IQ//\left( SAB \right)\Rightarrow \left( IPQ \right)//\left( SAB \right)$ Mặt khác $IJ\subset \left( IPQ \right)\Rightarrow IJ//\left( SAB \right).$
Lời giải chi tiết a) Ta có PN là đường trung bình trong $\Delta SAB$ Suy ra $PN//SA.$ Tương tự ta có: $MP//SC\Rightarrow \left( MNP \right)//\left( SAC \right).$ (hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau). b) Ta có: $\left\{ \begin{array} {} MQ//CD \\ {} MP//SC \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( MPQ \right)//\left( SCD \right)$ Lại có $PQ\subset \left( MNQ \right)\Rightarrow PQ//\left( SCD \right).$ c) Do $\left\{ \begin{array} {} I=AM\cap BD \\ {} BM//AD \\ \end{array} \right.$ Theo định lý Talet ta có: $\frac{MI}{IA}=\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}$ Mặt khác: $\frac{SJ}{JA}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{MI}{IA}=\frac{SJ}{JA}\Rightarrow \text{IJ}//SM.$ Do $SM\subset \left( SBC \right)$ suy ra $\text{IJ}//\left( SBC \right).$
Lời giải chi tiết a) Ta có: OM là đường trung bình trong tam giác SAC suy ra $OM//SC.$ Lại có: ON là đường trung bình trong tam giác BCD nên $ON//BC.$ Do vậy $\left( OMN \right)//\left( SBC \right).$ b) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi $I=ON\cap AB$ khi đó I chính là giao điểm của ON và (SAB). c) Dễ thấy G, H lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SCD do đó $\frac{SG}{SI}=\frac{SH}{SN}=\frac{2}{3}$ $\Rightarrow GH//IN//AD\Rightarrow GH//\left( SAD \right).$ d) Do O và J lần lượt là trung điểm của AC và AD nên $OJ//CD$ (tính chất đường trung bình). Mặt khác O và M lần lượt là trung điểm của AC và SA nên $OM//SC.$ Do vậy $\left( OMJ \right)//\left( SCD \right)\Rightarrow OE//\left( SCD \right).$
Lời giải chi tiết a) Do AB song song với CD nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB và CD. b) Trong mặt phẳng (SAB), kéo dài PM cắt AB tại Q, trong mặt phẳng (PMQR), kéo dài QN cắt SD tại R, giao điểm của SD và (MNP) là R. c) Thiết diện hình chóp và mặt phẳng (MNP) là tứ giác MPRN. Do 3 mặt phẳng (MNP); (ABC); (SAD) cắt nhau theo 3 giao tuyến là PR; MN;AD nên chúng song song hoặc đồng quy. Mặt khác $MN//AD\Rightarrow MN//AD//PR\Rightarrow $ MPRN là hình thang. d) Ta có: OM là đường trung bình trong tam giác $SBD\Rightarrow OM//SD.$ Tương tự ta có: $ON//SA\Rightarrow \left( OMN \right)//\left( SAD \right).$ Mặt khác $OJ\subset \left( OMN \right)\Rightarrow OJ//\left( SAD \right)$ (điều phải chứng minh).
Lời giải chi tiết a) Ta có IJ là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên $IJ//AD\left( l \right).$ Lại có JG là đường trung bình tam giác $SAB\Rightarrow JG//SA\left( 2 \right).$ Từ (l) và (2) suy ra $\left( IJG \right)//\left( SAD \right).$ b) Gọi E là trung điểm của JB thì $\frac{BE}{BA}=\frac{BP}{BS}=\frac{1}{4}\Rightarrow \text{EP}//AS.$ Mặt khác EQ là đường trung bình cùa tam giác BIJ nên $EQ//IJ\Rightarrow EQ//AD.$ Ta có: $\left\{ \begin{array} {} EP//SA \\ {} EQ//AD \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( EPQ \right)//\left( SAD \right).$ c) Trong mặt phẳng (ABC) gọi $O=IJ\cap AC.$ Ta có: $SA//JG$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG) song song với SA Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG) là đường thẳng đi qua O và song song với SA. d) Gọi K là trung điểm của SA thì $GK//AB$ (tính chất đường trung bình) Suy ra $GK//CD\Rightarrow G,K,C,D$ đồng phẳng. Trong mặt phẳng (GKCD) gọi $M=DK\cap CG\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} M\in \left( ACG \right) \\ {} M\in \left( SAD \right) \\ \end{array} \right..$ Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (ACG) và (SAD) là AM.
Lời giải chi tiết a) Ta có MN là đường trung bình trong tam giác BCD nên $MN//BD.$ Tương tự NP là đường trung bình trong tam giác SCD nên $NP//SD.$ Do vậy $\left( MNP \right)//\left( SBD \right).$ b) Do $AB//CD$ nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua S và song song với AB và CD. c) Gọi $E=MN\cap AD.$ Do $NP//SD$ nên giao tuyến $\Delta $ của (MNP) và (SAD) đi qua E và song song với SD. Trong mặt phẳng (SAD) gọi $F=\Delta \cap SA\Rightarrow F=SA\cap \left( MNP \right).$ d) Ta có: $J=AM\cap BO;J=SO\cap AP$ do đó I, J lần lượt là trọng tâm tam giác SAC và ABC Khi đó $\frac{AI}{AP}=\frac{\text{AJ}}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \text{IJ}//MP\Rightarrow IJ//\left( MNP \right).$ |
