| Một khoá tổ hợp với đĩa quay có 40 vạch số (xem Hình 7). Mật mã của khoá là một dãy gồm 3 số, kí hiệu là a – b – c, mỗi số là một số tự nhiên từ 0 đến 39. Để mở khoá, cần quay mặt số ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi điểm mốc gặp vạch số a lần thứ ba, rồi quay mặt số theo chiều ngược lại cho đến khi điểm mốc gặp vạch số b lần thứ hai, cuối cùng quay mặt số ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi điểm mốc gặp vạch số c lần đầu tiên. Nếu a, b, c phải khác nhau đôi một, thì có bao nhiêu cách chọn mật mã cho khoá tổ hợp trên? +) Gọi \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} \) là số có ba chữ số khác nhau được lập từ tập các chữ số trên. Ta có: \({a_1} \ne 0 \Rightarrow {a_1}\) có 3 cách chọn. \({a_2},\;{a_3}\) có \(A_3^2 = 6\) các chọn. \( \Rightarrow \) có \(3.6 = 18\) số được chọn. +) Tính tổng các số lập được: Ta thấy số 1 có thể xuất hiện ở hàng trăm 6 lần: \(102;\;103;\;120;\;130;\;123;\;132.\) Số 1 có thể xuất hiện ở hàng chục 4 lần: \(210;\;310;\;213;\;\;312.\) Số 1 có thể xuất hiện ở hàng đơn vị 4 lần: \(201;\;301;\;231;\;321.\) Tương tự đối với các số \(2\) và \(3.\) Số \(0\) không ảnh hưởng đến tổng cần tính. \(\begin{array}{l} \Rightarrow \overline {{a_1}{a_2}{a_3}} = 100{a_1} + 10{a_2} + {a_3}\\ = 6.100\left( {1 + 2 + 3} \right) + 4.10\left( {0 + 1 + 2 + 3} \right) + 4.\left( {0 + 1 + 2 + 3} \right)\\ = 3600 + 240 + 24 = 3864.\end{array}\) Gọi A=a1a2a3a4a5¯ với a1≠0 và a1, a2, a3, a4, a5 phân biệt là số cần lập. + Bước 1: chữ số a1≠0 nên có 4 cách chọn a1. + Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Vậy có 4.24 = 96 số. Số tự nhiên thỏa mãn có dạng với a,b,c,d ∈ A và đôi một khác nhau. TH1: d=0 Có 5 cách chọn a; 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân có 5.4.3 = 60 số. TH2: d ≠ 0 ; d có 2 cách chọn là 2, 4 Khi đó có 4 cách chọn a( vì a khác 0 và khác d); có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c. Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3=96 số Vậy có tất cả: 96 + 60 = 156 số. Chọn C. |
