1.2) Đối với bài toán thiết lập phương trình đường tròn thì công việc chủ yếu là xác định tâm và bán kính của đường tròn. Trong công việc này điều quan trọng là phải nhớ một số tính chất sau: * Đường tròn (C) đi qua điểm A thì tọa độ của A thỏa mãn phương trình của (C). * Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B thì tâm I của nó phải nằm trên đường trung trực của đoạn AB. * Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B, C thì tâm I của nó là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC, CA (thực chất chỉ cần tìm giao điểm của hai trong ba đường trung trực của các đoạn thẳng), còn bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến A (hoặc B, hoặc C); đây chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bạn đang xem: Viết phương trình đường tròn đi qua 1 điểm và tiếp xúc với 2 đường thẳng  Xem thêm: Lk Cha Cha Cha Asia Không Lời Đỉnh Cao Một Thời, Nhạc Sống Không Lời Cha Cha Cha Miền Tây Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các dạng toán Đường tròn thường gặp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶPDạng 1: Các bài toán thiết lập phương trình đường tròn 1.1) Phương trình đường tròn có tâm tại điểm I(a ; b) và bán kính bằng R có dạng:* Phương trình , với điều kiện , là phương trình đường tròn có tâm I(a ; b), bán kính 1.2) Đối với bài toán thiết lập phương trình đường tròn thì công việc chủ yếu là xác định tâm và bán kính của đường tròn. Trong công việc này điều quan trọng là phải nhớ một số tính chất sau:* Đường tròn (C) đi qua điểm A thì tọa độ của A thỏa mãn phương trình của (C).* Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B thì tâm I của nó phải nằm trên đường trung trực của đoạn AB.* Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B, C thì tâm I của nó là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC, CA (thực chất chỉ cần tìm giao điểm của hai trong ba đường trung trực của các đoạn thẳng), còn bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến A (hoặc B, hoặc C); đây chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.* Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng D thì bán kính R của (C) bằng khoảng cách từ tâm I đến D.* Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm A thì tâm I của (C) nằm trên đường thẳng vuông góc với D tại A.* Đường tròn (C) tiếp xúc với hai cạnh của một góc thì tâm I của (C) nằm trên đường phân giác của góc ấy.* Đường tròn (C) tiếp xúc với ba đường thẳng thì tâm I của (C) là điểm cách đều ba đường thẳng ấy (cũng là giao điểm của của hai trong ba tia phân giác của hai trong ba góc do các đường thẳng ấy giao nhau tạo nên); đây cũng chính là đường tròn nội tiếp trong tam giác do ba đường thẳng ấy giao nhau tạo thành.Bài 1: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(1; 3), B(5; 6), C(7; 0).ĐS: Bài 2: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết A(-1; 7), B(4; - 3), C(- 4; 1).ĐS: Pt phân giác trong góc A: x + 1 = 0, pt phân giác trong góc B: x + y - 1 = 0.PT đường tròn: Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 1) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): 7x + 3y + 1 = 0.Nhận xét: Nếu gọi I là tâm đường tròn cần tìm thì I Î d, mặt khác do IA = IB nên I thuộc đường trung trực D của đoạn AB. Từ đó ta có lời giải như sau.Bài giải: Cách 1Gọi M là trung điểm của AB thì M(2 ; ). Gọi D là đường trung trực của AB, khi đó D đi qua M(2 ; ), nhận làm véc tơ pháp tuyến có dạng:. Gọi I tà tâm đường tròn cần tìm, I = d Ç D, do đó tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình: Lúc này Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: Cách 2Gọi đường tròn (C) cần tìm có dạng: Theo giả thiết A, B thuộc (C), tâm của (C) thuộc đường thẳng (d) nên ta có hệ phương trình:Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho (d): x - 7y + 10 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (D): 2x + y = 0 và tiếp xúc với (d) tại A(4 ; 2).Nhận xét: Nếu gọi I là tâm đường tròn cần tìm thì I Î D, mặt khác do đường tròn tiếp xúc với (d) tại A nên IA vuông góc với (d) tại A. Từ đó ta có lời giải như sau.Bài giải: Gọi đường tròn (C) cần tìm có tâm I, bán kính R. Từ IA ^ (d ) nên I thuộc đường thẳng d1 vuông góc với d: x - 7y + 10 = 0 Þ d1 có dạng: - 7x - y + m = 0.A(4 ; 2) Î d1 nên - 7.4 - 2 + m = 0 Û m = 30.Vậy phương trình d1: - 7x - y + 30 = 0 hay 7x + y - 30 = 0.Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:. Lúc này Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: Bài 5: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(4 ; 2) và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1): x - 3y - 2= 0 và (d2): x - 3y + 18 = 0.Bài giải: Gọi phương trình đường tròn (C) là: Khi đó vì A Î (C) nên ta có (1)Vì (d1) tiếp xúc với (C) nên ta có (2)Vì (d2) tiếp xúc với (C) nên ta có (2)Từ (2) và (3) suy ra Thay (4) vào (2) ta có . Từ (4) suy ra a = 3b - 8, thay vào (1) ta cóVậy có hai đường tròn thỏa mãn là: và Bài 6: Lập phương trình đường tròn có tâm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với 2 đường thẳng (d1): 3x - y + 3 = 0 và (d2): x - 3y + 9 = 0.Bài giải:Gọi I(5 ; y0) là tâm của đường tròn và R là bán kính của đường tròn (C) cần tìm. Khoảng cách từ I đến đường thẳng (d1) là: , còn khoảng cách từ I đến đường thẳng (d2) là: . Từ đó ta có phương trìnhVậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu đầu bài là:(C1): và (C2): Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): .Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với (C).Nhận xét: Đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R muốn tiếp xúc với hai trục tọa độ thì tâm I phải cách đều hai trục tọa độ và thỏa mãn Từ đó ta có lời giải như sau.Bài giải:Viết lại đường tròn (C): Vậy (C) là đường tròn tâm I(6 ; 2) và bán kính R = 2. Gọi đường tròn cần tìm có tâm I1(a ; b) và bán kính R1: Do đường tròn cần tìm tiếp xúc với hai trục tọa độ nên ta có: Xảy ra hai trường hợpTrường hợp 1: a = b, .Vì đường tròn cần tìm tiếp xúc ngoài với (C) nên ta có: * Nếu a > 0 thì (1) Trường hợp này có hai đường tròn là: (C1): và (C2): * Nếu a 0 thì không có giá trị nào của a thỏa mãn.Trường hợp 2: a = - b, .Lúc này làm tương tự như trên ta có Giải phương trình (2) ta tìm được a = 6. Vậy đường tròn thứ ba phải tìm là:(C3): Bài 8: Cho tam giác ABC có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng AB: x - 4 = 0BC: 3x - 4y + 36 = 0AC: 4x + 3y + 23 = 0Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Nhận xét: Xuất phát từ nhận định rằng tâm J của đường tròn nội tiếp phải là giao điểm của các phân giác trong của các góc của tam giác, ta viết phương trình hai đường phân giác trong và giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm.Bài giải: * Cách 1 Đỉnh A là giao của hai đường thẳng AB, AC nên tọa độ của A là nghiệm của hệ:Đỉnh B là giao của hai đường thẳng AB, BC nên tọa độ của B là nghiệm của hệ:Đỉnh C là giao của hai đường thẳng AC, BC nên tọa độ của C là nghiệm của hệ:Phương tình các đường phân giác của góc B, do hai đường thẳng x - 4 = 0 và 3x - 4y + 36 = 0 tạo thành làĐể tìm phương trình đường phân giác trong của góc B, ta làm như sau: Thế tọa độ của A(4 ; -13) vào phương trình của đường (d2) ta có: 8 + 13 + 4 > 0tọa độ của C(-8 ; 3) vào phương trình của đường (d2) ta có: - 16 - 3 + 4 R: đường thẳng (d) và đường tròn (C) không cắt nhau.* Nếu h = R: đường thẳng (d) và đường tròn (C) tiếp xúc nhau.* Nếu h R1 + R2: hai đường tròn ở ngoài nhau.* Nếu I1I2 = R1 + R2: hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau.* Nếu - 1. Gọi (d) là đường thẳng có phương trình - x + y + 2 = 0. Nghiệm của (2) là tọa độ các điểm thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm O (kể cả bờ) giới hạn bởi đường thẳng (d). Ta có (3) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(1 ; - 2) và bán kính . Điểm I(1 ; -2) không thuộc miền nghiệm của (2).Vậy hệ (2), (3) có nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm khi Ví dụ 4:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, xét trên miền Bài giải:Gọi a là giá trị tùy ý của hàm số f(x) miền , tức là hệ phương trình sau có nghiệmĐặt Dễ thấy hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:. Ta cóDo đó hệ hoặc Hệ (II) có nghiệm Û đường thẳng x + y = - 1 + nằm giữa hai đường thẳng x + y = 2 và x + y = - 2, tức là khi và chỉ khi Do đó hệ (II) có nghiệm khi Tương tự hệ (III) có nghiệm khi và chỉ khiTa có hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi một trong hai hệ (II), (III) có nghiệm tức là khi và chỉ khi .Vậy Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x; y) = 4x + 3y, với x, y thỏa mãn: x2 + y2 + 16 = 8x + 6y.Bài giải:Ta có x2 + y2 + 16 = 8x + 6y Û (x - 4)2 + (y - 3)3 = 9 (1).(1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(4 ; 3) và bán kính R = 3.Khi (x ; y) thỏa mãn (1) ta có: f(x; y) = 4x + 3y = (2) Xét điểm M(x ; y) thỏa mãn (1).Nối OI cắt đường tròn (C) tại M1, M2. Khi đó ta có với M( x ; y) thuộc (C) thì OM2 = x2 + y2. Từ đó dễ thấy Do đó từ (2) suy ra Ví dụ 6: Cho hệ: . Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.Bài giải: (1) là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = 1, (2) là phương trình đường thẳng (D): x – y – m = 0. Hệ có nghiệm duy nhất Û (d) tiếp xúc với (C) Û d(O, (D) ) = R Û m = .Vậy để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì m = .Ví dụ 7: Cho hệ: Xác định m để hệ có đúng hai nghiệm phân biệt.Bài giải:(1) Þ 2(m + 1) ≥ 0 Þ m ≥ -1. (1) là phương trình đường tròn tâm O(0; 0), bán kính ; (2) là phương trình hai đường thẳng: x - y = , hai đường thẳng này song song với nhau và cách đều tâm O. Để hệ có đúng 2 nghiệm phân biệt thì hai đường thẳng này cùng tiếp xúc với đường tròn Vậy với m = 0 thì hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.Ví dụ 8: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: Bài giải: Gọi T1, T2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2) ta có. T1 là tập các điểm trong đường tròn (C1) có tâm I1(1; -1), bán kính R1 = . T2 là tập các điểm trong đường tròn (C2) có tâm I2(-1; 1), bán kính R2 = .Vậy hệ có nghiệm duy nhất Û đtròn (C1) tiếp xúc ngoài với đtròn (C2)Û II’ = R + R’ Û 2 = 2 Û m = 2.Vậy với m = 2 thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.Ví dụ 9: Cho hệ phương trình: Chứng minh rằng hệ phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt (x1 ; y1) và (x2 ; y2). Tìm m để biểu thức P = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 đạt giá trị nhỏ nhất.Bài giải: Nghiệm của hệ là giao điểm của đường thẳng (d): và đường tròn (C): có tâm I(- 1 ; 0).Nhận xét: (d) luôn đi qua A(1 ; 2) và A nằm trong (C). Do đó (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M(x1 ; y1) và N(x2 ; y2). Vậy hệ luôn có hai nghiệm phân biệt.P = MN2 nhỏ nhất Vậy thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.Ví dụ 10: (ĐHGTVT – 2001): Xác định m để hệ sau có nghiệm: Bài giải:Gọi T1, T2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2) ta có T1 là nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng (d): x + y–2 = 0 T2 là tập các điểm thuộc đường tròn (C) có tâm I(1;2), bán kính R = . Tâm I không thuộc tập nghiệm của (1) vì 1 + 2 - 2 = 1 > 0. Vậy hệ (I) có nghiệm Ví dụ 11:Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của biểu thức: P = 2x + y.Bài giải:Gọi T1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), T2 là tập nghiệm của bất phương trình (2). Khi đó ta có T1 gồm những điểm ở ngoài đường tròn (C1) có tâm O(0 ; 0), bán kính R1 = 2, không ở trên đường tròn. T2 gồm những điểm ở trong hình tròn (C2) có tâm I(1 ; 1), bán kính R2 = , kể cả những điểm ở trên đường tròn. Miền (C) thỏa mãn điều kiện đã nêu là vùng gạch chéo trên hình vẽ.Các điểm M(x ; y) thỏa mãn hệ đã cho và P = 2x + y là những giao điểm của đường thẳng (d): y = - 2x + P với (C).Xét hai đường thẳng trong các đường thẳng (d)* (d1) qua B(0 ; 2) Þ (d1) có phương trình: y = - 2x + 2.* (d2) tiếp xúc với (C) Þ (d2) có phương trình: y = - 2x + 3 + .Các đường thẳng (d) cắt miền (C) khi nó ở trong dải ở giữa hai đường thẳng trên suy ra .Vậy Max P = ; min P không có.Ví dụ 12:Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:Bài giải:Với m > 0 hệ phương trình vô nghiệm, ta xét với m £ 0.Gọi T1, T2, T3 lần lượt là tập nghiệm của (1) (2) và (3).* T1 là tập các điểm trong hình tròn (C) có tâm I(-1 ; 0), bán kính R = .* T2 là tập các điểm trên đường thẳng (d1): y = x + m* T3 là tập các điểm trên đường thẳng (d2): y = x - m.* (C) tiếp xúc với (d1) Û m = - 1, khi đó (C) cắt (d2).* (C) tiếp xúc với (d2) Û m = - 3, khi đó (C) không cắt (d1).Vậy hệ phương tình đã cho có nghiệm duy nhất khi m = -3.Ví dụ 13:Biện luận theo m số nghiệm của hệ: Bài giải:Với m £ 0 hệ vô nghiệm, do đó ta chỉ xét với m > 0.Gọi T1, T2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2).* T1 là tập các điểm trên các cạnh của hình vuông ABCD* T2 là tập các điểm trên đường tròn (C) có tâm O(0 ; 0), bán kính R = .* (C) tiếp xúc với ABCD khi và chỉ khi m = 2.* (C) ngoại tiếp ABCD khi và chỉ khi m = 4.Vậy số nghiệm của hệ là số giao điểm của (C) với các cạnh của ABCD.Vậy ta có kết quả sau:* Với m 4 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.* Với m = 2 hoặc m = 4 hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.* Với 2 Chuyên mục: Tổng hợp |
