Xin lỗi, tôi không thể cung cấp câu trả lời dựa trên kết quả tìm kiếm từ Google. Tuy nhiên, tôi có thể cung cấp một ví dụ về cách áp dụng chéo hóa ma trận vào một bài toán cụ thể: Ví dụ: Giả sử chúng ta có một ma trận vuông 3x3 A như sau: A = [[2, 4, 6], [1, 3, 5], [7, 8, 9]] Để chéo hóa ma trận này, chúng ta cần tìm một ma trận đường chéo D và một ma trận không đường chéo U sao cho A = D + U. Bước 1: Tìm giá trị riêng của ma trận A. Thực hiện phép tính det(A - λI) = 0, trong đó I là ma trận đơn vị 3x3 và λ là giá trị riêng cần tìm. Đặt det(A - λI) = 0, ta có: Show
Bước 3: Tìm vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng đã tìm được. Để tìm vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ1 = 1, ta cần giải phương trình (A - λ1I)x1 = 0, trong đó x1 là vectơ riêng tương ứng với λ1. Đặt A - λ1I = 0, ta có:
Tương tự, tìm được vectơ riêng x2 = [1, 1, 1] tương ứng với giá trị riêng λ2 = 4 và vectơ riêng x3 = [0, -1, 1] tương ứng với giá trị riêng λ3 = 9. Bước 4: Tạo ma trận đường chéo D từ giá trị riêng đã tìm được. Ma trận đường chéo D có dạng: D = diag(λ1, λ2, λ3) = [[1, 0, 0], [0, 4, 0], [0, 0, 9]] Bước 5: Tạo ma trận không đường chéo U từ vectơ riêng đã tìm được. Ma trận không đường chéo U có dạng: U = x1*x1ᵀ + x2*x2ᵀ + x3*x3ᵀ \= [[2, -1, 1], [2, -1, 1], [2, -1, 1]] * [[2, 2, 2], [-1, -1, -1], [1, 1, 1]] + [[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]] * [[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]] + [[0, 0, 0], [-1, -1, -1], [1, 1, 1]] * [[0, -1, 1], [0, -1, 1], [0, -1, 1]] Bước 6: Tính tổng của ma trận D và ma trận U để tạo thành ma trận ban đầu A. A = D + U Sau khi đã hoàn thành các bước trên, chúng ta đã chéo hóa ma trận A thành ma trận D + U. f ( a 0 + a x 1 + a x 2 2 )= ( a 0 + 2a 1 − 2a 2 ) + −( 2a 0 + 5a 1 − 2a 2 ) x + −( 6a 0 + 6a 1 −3a 2 )x. 2Tìm một cơ sở của P 2 xđể ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo. Hướng dẫn giải • Ma trận của f dối với cở chính tắc = 1,x,x 2 là1 2 2A 2 5 26 6 3 − = − − − − .
p 1 , p 1 , p 0 3 0 1 − = = = .
• Hệ v ,v ,v 1 2 3 là một cơ sở của P 2 xvà f ( v 1 ) = −3v , f 1 ( v 2 )=3v 2 , f ( v 3 )=3v 3.Ma trận của f dối với cơ sở v ,v ,v 1 2 3 là ma trận chéo3 0 00 3 00 0 3− Bài 7 : Cho toán tử tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi: f ( x ; x ; x 1 2 3 ) = −( 7x 1 − 12x 2 + 4x ; 4x 3 1 + 7x 2 − 2x ; 3 −x 1 −2x 2 )a) Xác định ma trận của f với cơ sở B = ( 1;0;1 , 0;1;1 , 0,0;1) ( ) ( )
Hướng dẫn giải a) Ta có: f ( 1;0;1) = ( −3; 2; − 1 ) = −3 1;0;1 ( ) + 2 0;1;1( ) +0 0;0;1( ) [ f ( 1;0;1 ]) B = ( −3; 2;0)Tương tự: f ( 0;1;1 ]) B = ( −8; 5;1 ; ) f ( 0;0;1 ]) B= ( 4; −2; − 2 )Suy ra ma trận của f đối với cơ sở B = ( 1;0;1 , 0;1;1 , 0,0;1) ( ) ( )là3 8 4A 2 5 20 1 2 − = − − Bài viết dưới đây TTnguyen xin được gửi tới khái niệm cùng một số dạng bài tập tìm giá trị riêng của ma trận có lời giải chi tiếp giúp các bạn ôn tập dễ dàng, đạt kết quả cao trong môn đại số và hình học giải tích. Xem thêm: chéo hoá ma trận trắc nghiệm đại số tuyến tính Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số λ gọi là trị riêng của A nếu phương trình Ax = λx. Khi đó: Vectơ x ≠ θ này được gọi là vector riêng của A ứng trị riêng λ. Ví dụ: Cho ma trận \(A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) Giải Ta có: A(1,0) = \(\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}(1,0)=(3,0)=3(1,0)\) Do đó, λ = 3 là một trị riêng của a và x = (1,0) là một vector riêng ứng với trị riêng λ = 3. Lưu ý:
II. Các tìm giá trị riêng và vecto riêng của ma trậnTìm trị riêng của ma trậnAx=kx <=> Ax – kx=0 <=>(A-k)x=0 Để hệ trên có nghiệm x≠0 \=> hệ trên vô số nghiệm \=> det(A-kI)=0 Liên quan tính định thức ma trận nghiệm tầm thường và nghiệm không tầm thường Tìm vector riêng của ma trậnVới mỗi k tìm được, giải hệ (A-kI)x=0 và tìm nghiệm x khác 0 của hệ đó. Tóm tắt cách tìm trị riêng và vectơ riêngBước 1: Viết ma trận A. Bước 2: Tính đa thức đặc trưng: P (λ) = det(A – λI). Bước 3: Giải phương trình P(λ) = 0. Ta được các nghiệm. Đó chính là các trị riêng cần tìm. Bước 4: Lần lượt thay các nghiệm vào để giải hệ phương trình (A – λI)X = 0. Nghiệm của hệ chính là các vector riêng tương ứng cần tìm. đọc thêm: hệ phương trình tuyến tính Tìm giá trị riêng của ma trận bằng máy tínhHướng dẫn tìm giá trị riêng của ma trận bằng máy tính Casio fx 580VNX: Bước 1: Chọn Menu> chọn 4 để nhập ma trận. Bước 2: Nhập ma trận cần tìm và tính det(A)= chọn AC> OPTN> Định thức. Đa thức đặc trưng: \(P_{A}(λ) = det(A – λI) = -λ{3} + aλ{2} + bλ +c\) Với:
Bài tập tìm giá trị riêng và vectơ riêng1. Tìm giá trị riêng và vecto riêng f: r3 -> r3(x1, x2, x3) = (2x1 + x2 + x3 , x1 + 2x2 – x3 , 3x3 ) Giải  {(t + s, t, s); t, s ∈ R} = {t(1, 1, 0) + s(1, 0, 1); t, s ∈ R} 2. Tìm giá trị riêng và vecto riêng của ma trậnBài 1: Tìm trị riêng của ma trận Giải Ta có: Vậy λ1=-1 và λ2= 3 là 2 trị riêng Các véc tơ riêng ứng với trị riêng λ1=-1 là t(0,1) ; t∈R Các véc tơ riêng ứng với trị riêng λ2=3 là t(1/2, 1) ; t∈R Bài 2: Tính giá trị riêng của ma trận \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) Bài 3: Tìm trị riêng của ma trận vuông cấp 3 \(\begin{pmatrix} 1 & 4 & 6\\ -3 & -7 & -7\\ 4 & 8 & 7 \end{pmatrix}\) Tải tài liệu lý thuyết kèm bài tập giá trị riêng, vector PDF Hi vọng qua bài viết trên các bạn đã nắm vững kiến thức về giá trị riêng và vectơ riêng cùng cách tính giá trị riêng của ma trận. Nếu có bất kì thắc mắc hoặc sai sót nào thì đừng ngần ngại liên hệ với mình nhé. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tại liệu toán cao cấp đại số tuyến tính trên ttnguyen.net. |
