Môn học nhằm giới thiệu cho sinh viên các khái niệm về số phức, mặt phẳng phức và hàm chỉnh hình. Nghe có vẻ rất khó, nếu sinh viên không có các tài liệu để hỗ trợ học tập như giáo trình, đề cương… Vậy nên Isinhvien đã tổng hợp các giáo trình bài giảng môn Hàm biến phức, các bài tập và đề thi liên quan đến môn học này. Để các bạn sinh viên hiểu rõ hơn, và học thật giỏi nhé. Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức, là một nhánh của toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là số phức (các ánh xạ giữa C^n và C^m). … Giải tích phức có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khác của toán học, trong đó có lý thuyết số và toán ứng dụng. Như Isinhvien đã nói ở trên, để cho các bạn sinh viên có cái nhìn tổng quan, sâu sắc và học tốt môn học này. Isinhvien xin giới thiệu đến các bạn giáo trình bài giảng môn Hàm biến phức. Hy vọng đây là những tài liệu thật sự chất lượng mà các bạn đang cần. Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức: Phần 1 - Nguyễn Thủy Thanh Biên soạn: Nguyễn Thủy Thanh Số trang: 279 Xuất bản: Năm 2006 Nhà xuất bản: Đại học Quốc gia Hà Nội Nội Dung: Trình bày những nội dung về mặt phẳng và hàm biến phức, tập hợp số phức, mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, không gian các hàm chỉnh hình, lý thuyết tích phân hàm chỉnh hình, biểu diễn tích phân hàm điều hòa. . TẢI VỀ Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức: Phần 2 - Nguyễn Thủy Thanh Biên soạn: Nguyễn Thủy Thanh Số trang: 288 Nội Dung: Phần 2 tiếp tục cung cấp cho các bạn những nội dung sau các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình, nguyên lý thác triển giải tích, hàm đa trị và diện Riemann, phần tử chính tắc, lý thuyết thặng dư và ứng dụng, ánh xạ bảo giác, hàm nguyên và hàm phân hình, cơ sở lý thuyết thặng dư. TẢI VỀ Giáo Trình Hàm Biến Phức (Có Ví dụ và Hướng dẫn giải các bài tập minh họa mỗi phần) Số trang: 180 Nội Dung: Trình bày về số phức, hàm biến phức (đạo hàm, tích phân, chuỗi), các hàm giải tích sơ cấp cơ bản, lý thuyết thặng dư, phép biến hình ảo giác, ứng dụng hàm phức trong lý thuyết trường, phép biến đổi Laplaxơ và ứng dụng của nó và một số phép biến đổi khác nhau. TẢI VỀ Giáo trình Hàm biến phức - Hồ Công Xuân Vũ Ý Chủ biên: Hồ Công Xuân Vũ Ý Số trang: 342 Xuất Bản: Tiền Giang năm 2012 Số chương: 10 Nội Dung: Cuốn sách \"Hàm biến phức\" có cấu trúc gồm 10 chương cung cấp cho người học các kiến thức: Số phức, hàm biến số phức, hàm giải tích, một số hàm sơ cấp khác và phép biến hình, lý thuyết tích phân, hàm điều hòa và hàm điều hòa dưới, lý thuyết chuỗi và lý thuyết thặng dư, ứng dụng lý thuyết thặng dư, ánh xạ bảo giác, tích vô hạn. TẢI VỀ Để các bạn sinh viên phát huy tối đa năng lực tự học và nâng cao dần khả năng tư duy sáng tạo độc lập. Isinh vien gửi đến các bạn một số bài tập môn Hàm biến phức, bên cạnh những bài tập rèn luyện kỹ nâng tính toán là hàng loạt bài tập có tính lý thuyết và những bài tập khó thường được sắp xếp ở phía cuối chương và có đánh dấu. Bài tập Hàm biến phức phần 1 Biên soạn: PGS Lê Mẫu Hải và TS,. Bùi Đắc biên soạn Số chương: 5 Phần 1 cuốn sách trình bày các nội dung từ chương 1 đến chương 3 TẢI VỀ Bài tập Hàm biến phức phần 2 Phần đầu mỗi chương trong cuốn bài tập này dành cho việc tóm tắt lý thuyết làm sơ sở cho lập luận và các giải bài tập của chương, Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách giới thiệu tới người đọc các nội dung chương 4 và chương 5, mời các bạn tham khảo.
Sách bài tập Hàm biến phức Chủ biên: Nguyễn Văn Trao - Phạm Nguyễn Thu Trang Số trang: 25 TẢI VỀ Môn học nào sinh viên cũng phải trải qua các bài kiểm ta, bài thi, tiểu luận.. Các bạn nên tham khảo đề thi của các năm trước đây để chuẩn bị cho mình tâm lý và kiến thức thật tốt nhé. Đề thi cuối học kỳ II năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và phép biến đổi laplace Đề thi cuối học kỳ II năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và phép biến đổi laplace gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm và 3 bài tập tự luận khái quát kiến thức đã học ở môn học Hàm biến phức và phép biến đổi laplace. Mời các bạn cùng tham khảo. Đề thi Hàm biến phức và biến đổi Laplace - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM Đề thi cuối học kỳ I năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm và 3 bài tập tự luận bao quát toàn bộ kiến thức môn học. Bài tập trong đề thi này sẽ giúp các các bạn sinh viên biết được những kiến thức mình còn yếu để có sự đầu tư phù hợp nhằm nâng cao kiến thức về khía cạnh đó. Hàm biến phức tuy khó nhưng vẫn không làm khó được các sinh viên cừ khôi của chúng ta đúng không nào? Isinhvien tin các bạn sẽ học tốt và đạt điểm cao nếu biết dành thời gian để nghiên cứu và học tập, chúc các bạn thành công!
GIẢI TÍCH PHỨC 01 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC (Tài liệu chỉ có nh chất tham khảo – hp://nguyenchiphuong.WordPress.com ) Trong tài liệu này xin tổng hợp lại tất cả các dạng bài tập có liên quan tới đề thi của các năm. Riêng các bài tập căn bản các bạn xem lại trong các ví dụ ở giáo trình trên lớp. Môn giải ch phức thực chất là một môn tương đối cơ bản nhưng lại có “môt chút rắc rối” (không phải ở môn học mà ở… các bạn chắc đã hiểu) vì vậy mọi người đừng chủ quan nhé. Sau đây là một số dạng bài tập mà chúng ta sẽ ôn tập I. BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1.1. Kiến thức bổ trợ a. Đồng nhất số phức Cho = + khi đó phương trình = + ⇔= = b. Căn thức Số phức được gọi là căn bậc của số phức nếu = (1) và phương trình (1) có đúng nghiệm được xác định bởi công thức =√cos+ 2+ sin+ 2, = 0,1, … , −1 1.2. Bài tập mẫu Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải các phương trình sau: a. + + = b. + = c. = (+ ) d. + = e. + =√ f. = . Giải: a. 5+ 2+ 10 = 0 ⇔== −+== −− b. + 81 = 0 ⇔= −81 Ta có −81 = 81(cos()+ sin()) Khi đó căn bậc 4 của −81 được xác định bởi = √81cos+ 24+ sin+ 24= 3 cos+ 24+ sin+ 24, = 0,1,2 GIẢI TÍCH PHỨC 02 = 0 ⇒= 3 cos+ sin= 3 √+ √ = 1 ⇒= 3 cos+ sin= 3 −√+ √ = 2 ⇒= 3 cos+ sin= 3 −√−√ = 3 ⇒= 3 cos+ sin= 3 √−√ Vậy , , , là nghiệm của phương trình + 81 = 0 c. 2= (2 + 9)⇔2= −9 + 2⇔= −+ d. Đặt = + , khi đó + 2̅=2 −1 + 3⇔+ + 2(−)=(2 −)(1 −3)10⇔3−= −110−710 ⇔3= −−= −⇔= −= Vậy = −+ e. + 1 =√3⇔= −1 +√3 Ta có −1 +√3= 2 −+√= 2 cos+ sin Khi đó căn bậc 6 của −1 +√3 được xác định bởi = √2cos23+ 26+ sin23+ 26= √2cos+ 39+ sin+ 39 = 0 ⇒= √2cos9+ sin9 = 1 ⇒= √2cos49+ sin49 = 2 ⇒= √2cos79+ sin79 = 3 ⇒= √2cos109+ sin109 GIẢI TÍCH PHỨC 03 = 4 ⇒= √2cos139+ sin139 = 5 ⇒= √2cos169+ sin169 Vậy , , , , , là nghiệm của phương trình + 1 =√3. f. = Ta có = cos+ sin Khi đó căn bậc 2 của được xác định bởi = cos2+ 22+ sin2+ 22= cos+ 44+ sin+ 44, = 0,1. = 0 ⇒= cos4+ sin4=√22+ √22 = 1 ⇒= cos54+ sin54= −√22−√22 Vậy , là nghiệm của phương trình = . Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình: (−)= Giải: (1 −)= 16 ⇔−+ 16 = 0 ⇔= 1 + 3√7= 1 −3√7 Xét 1 + 3√7 có =√1 + 63 = 8 cos == sin ==√ , khi đó căn bậc 2 của 1 +√63 được xác định bởi = √8 cos+ 22+ sin+ 22= 2√2 cos+ 22+ sin+ 22, = 0,1. = 0 ⇒= 2√2 cos2+ sin2 = 1 ⇒= 2√2 cos+ 22+ sin+ 22= −2√2 cos2+ sin2 GIẢI TÍCH PHỨC 04 Ta có cos= ±= ±= ± và sin= ±= ±= ±√ Chọn cos=; sin=√, khi đó ⎩⎪⎨⎪⎧= 2√2 34+√74 = −2√2 34+√74 Vậy , là nghiệm của phương trình = 1 + 3√7 Làm tương tự với 1 −3√7 trong đó chọn cos=; sin= −√, khi đó ⎩⎪⎨⎪⎧= 2√2 34−√74= −2√2 34−√74 Vậy , là nghiệm của phương trình = 1 −3√7 Suy ra , , , là nghiệm của phương trình (1 −)= 16 II. BÀI TOÁN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC 2.1. Kiến thức bổ trợ Để m ảnh của một điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức = ()=(, )+ (, ), ta xác định mối liên hệ của , dựa trên miền cho trước Ngược lại để m tạo ảnh của hàm (, ), (, ), ta xác định mối liên hệ của , . 2.2. Bài tập mẫu Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh của đường = qua ánh xạ phức =. (Đề thi kết thúc môn GTP - khóa 16) Giải: Giả sử = + , khi đó ===−= (, )+ (, ) GIẢI TÍCH PHỨC 05 ⇒(, )=+ (, )= −+ Với = 1, khi đó (, )= và (, )= − ⇒+ =1 + (1 + )=11 + = ⇔−+ = 0 ⇔−12+ =14 Vậy ảnh của đường = 1 là đường tròn tâm (, 0), bán kính là . Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh của đường tròn |−|= qua ánh xạ phức = −. Giải: Giả sử = + , = + Ta có |−|= ⇒ −= ⇔= + , khi đó = −2 = (+ )−2 = + + (cos + sin )−2 =(−−2 −sin )+ (+ cos )= (, )+ (, ) ⇒(, )= −−2 −sin (, )= + cos ⇔sin = (, )+ + 2cos = (, )− ⇒(+(+ 2) )+(− )= Vậy ảnh của đường tròn |−|= qua ánh xạ = −2 là đường tròn tâm (−−2, ), bán kính . Bài 2.3: Cho hàm = . Tìm ảnh của: a. Đường tròn ||= , b. Miền quạt < <. Giải: a. Giả sử = + , khi đó = =(+ )= −+ 2= (, )+ (, ) ⇒(, )= −(, )= 2 Ta có phương trình tham số của đường tròn ||= 2 là: = 2 cos = 2 sin 0 ≤≤2 GIẢI TÍCH PHỨC 06 Khi đó: (, )=(2 cos )−(2 sin )= 4(cos−sin )= 4 cos 2(, )= 2.2 cos . 2 sin = 4 sin 2 ⇒4+ 4= cos2+ sin2= 1 ⇔+ = 16 Vậy ảnh của đường tròn ||= 2 trong mp() là đường tròn có tâm là gốc tọa đô, bán kính là 4 trong mp() b. Đặt = ⇒0 < < Ta có = (cos + sin )⇒= = (cos 2+ sin 2)⇒= 2 Ta coi miền quạt 0 < < được quét bởi a = , với biến thiên từ 0 đến Theo chứng minh trên thì ảnh của a = qua phép biến hình = là a =2. Khi biến thiên từ 0 đến thì 2 biến thiên từ 0 đến . Vậy ảnh của miền quạt 0 < < là nửa mặt phẳng trên 0 < < . Bài 2.4: Cho hàm =, = + . Tìm: a. Ảnh của đường = b. Tạo ảnh của đường = . Giải: a. Ta có: =1=1+ =−+ =+ −+ = (, )+ (, ) ⇒(, )=+ (, )= −+ + Trường hợp = = 0, khi đó (, )= 0 (, )= −,(≠0)⇒= − Vậy ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ + Trường hợp = ≠0, khi đó GIẢI TÍCH PHỨC 07 (, )=+ (, )= −+ ⇒+ =+ (+ )=1+ = ⇔−+ = 0 ⇔−12+ =14 Vậy ảnh của đường = là đường tròn tâm , 0, bán kình là || ,(≠0). b. = ⇔= + Trường hợp = 0 ⇒= 0 Vậy tạo ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ + Trường hợp ≠0, khi đó + =⇔−+ = 0 ⇔−+ = Vậy tạo ảnh của đường = là đường tròn tâm , 0, bán kình là || ,(≠0). III. BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN VÀ CHỨNG MINH SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM PHỨC 3.1. Kiến thức bổ trợ a. Giới hạn dãy số phức Cho {}, = + lim→= = + ⇔lim→= lim→= b. Giới hạn hàm phức Cho ()= (, )+ (, ), = + , = + , khi đó lim→() = ⇔lim→→(, ) = lim→→(, ) = Nếu khi xét → theo các hướng khác nhau thì có các kết quả khác nhau thì ta kết luận không tồn tại giới hạn tại = . GIẢI TÍCH PHỨC 08 c. Hàm liên tục Cho () xác định trong lân cận điểm , khi đó: () liên tục tại ⇔+ ()á địℎ ạ + ồ ạ lim→() + lim→() = () () liên tục trên miền nếu liên tục tại mọi điểm thuộc . 3.2. Bài tập mẫu Bài 3.1: Tính →(+ ) Giải: Giả sử = + , khi đó + =(+ )+ = −+(2+ 1)= (, )+ (, ) ⇒(, )= −(, )= 2+ 1; = 1 + lim→→(, )= lim→→(−)= 0 lim→→(, )= lim→→(2+ 1)= 3 Vậy lim→(+ 1)= lim→→(, )+ lim→→(, )= 3 Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh rằng →−+ −+ −= + . Giải: = lim→3−2+ 8−2+ 5−= lim→(−)[3+(3−2)+(5 −2)+ 5]− = lim→[3+(3−2)+(5 −2)+ 5]= 3+(3−2)+(5 −2)+ 5 = −3−3+ 2 + 5+ 2 + 5= 4 + 4 Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính các giới hạn sau: GIẢI TÍCH PHỨC 09 a. → b. → c. →( ) Giải: a. Đặt ()= + 1; ()= + 1, khi đó ()= + 1 = 0; ()= + 1 = 0 và ()= 6= 6≠0 Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có lim→()()= lim→′()′()= lim→106= lim→53=53=53 ⇒lim→+ 1+ 1=53. b. lim→ = lim→ = lim→ = lim→ Ta có lim→= 1 và lim→ = 1 ⇒lim→1 −cos sin =12. c. lim→(cos )= Bài 3.4: Xét sự tồn tại giới hạn của →. Giải: Giả sử = + , khi đó ̅= + Cho →0 theo hướng trục khi đó = 0 lim→̅= lim→+ −= lim→= lim→1 = 1 (1) + Cho →0 theo hướng đường thẳng = lim→̅= lim→+ −= lim→+ −= lim→1 + 1 −= −1 (2) GIẢI TÍCH PHỨC 10 Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại giới hạn lim→̅ Lưu ý: điều kết luận trên cũng có nghĩa là hàm số ()= ̅ không liên tục tại = 0. Bài 3.5: Xét nh liên tục của hàm ()= −− ế ||≠ ế ||= ạ = , = Giải: + Tại = 1 ta có: (1)= 3 và lim→()= lim→= lim→(+ + 1)= 3 Vậy lim→()= (1) nên hàm số liên tục tại = 1 + Tại = ()= 3 và lim→()= lim→= lim→(+ + 1)= Vậy lim→()≠(1) nên hàm số gián đoạn tại = Bài 3.6: Cho các hàm a. ()=() b. ()=|| c. ()=()|| Có thể gán giá trị của hàm số tại = để nó trở thành hàm liên tục tại = hay không? Giải: a. Chọn 2 dãy = và ∗=, khi đó , ∗→0 khi →∞ Xét lim→() = lim→()= lim→11= lim→1 = 1 lim∗→(∗) = lim∗→(∗)∗= lim→01= lim→0 = 0 GIẢI TÍCH PHỨC 11 Suy ra không tồn tại lim→() nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại = 0. b. Chọn 2 dãy = và ∗=+, khi đó , ∗→0 khi →∞ Xét lim→() = lim→||= lim→11= lim→1 = 1 lim∗→(∗) = lim∗→∗|∗|= lim→1+1+ 1= lim→1 + √2=1 + √2 Suy ra không tồn tại lim→() nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại = 0. c. Giả sử = + Khi đó ()=()||=()=+= (, )+ (, ) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧(, )=+ (, )=+ Ta có 0 ≤≤||=|| mà lim→→||= 0 nên lim→→(, ) = lim→→= 0 (1) 0 ≤≤= mà lim→→= 0 nên lim→→(, ) = lim→→= 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra lim→() = lim→()||= 0 Vậy có thể gán giá trị ()= 0 tại = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại = 0. Bài 3.7 (câu 2, đề thi môn GTP – K16): Chứng minh rằng hàm ()= liên tục trên ℂ. Giải: Giả sử = + , khi đó ()= ̅= −= (, )+ (, ) GIẢI TÍCH PHỨC 12 ⇒(, )= (, )= − Lấy tùy ý = + ∈ℂ, khi đó ta có: ()= − Xét lim→→(, )= lim→→= lim→→(, )= lim→→(−)= − ⇒lim→() = lim→→[(, )+ (, )]= −= () Suy ra hàm số liên tục tại = Do lấy tùy ý trong ℂ nên hàm () liên tục trên ℂ. Bài 3.8 (bài 10, SGK,tr 52): Chứng minh rằng hàm ()= liên tục đều trên miền ||<. Giải: Đặt : {:||< 1} Với , ′∈ ta có |()−()|=|−′|=|−′||+ ′|≤|−|(||+||)< 2|−′| Vậy ∀> 0, ∃=, ∀, ∈:|−|< ⇒|()−()|< 2|−|< 2= Do đó ()= liên tục đều trên :||< 1. Bài 3.9 (bài 11, SGK, tr 52): Chứng minh rằng hàm ()= không liên tục đều trên miền ||< . Giải: IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC 4.1. Kiến thức bổ trợ a. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng đại số) Cho hàm ()= (, )+ (, ) có đạo hàm tại điểm = + thì: GIẢI TÍCH PHỨC 13 + (, ), (, ) có đạo hàm riêng tại điểm (, ) + Các đạo hàm riêng của (, ), (, )thỏa mãn phương trình = à = − (1) Ngược lại nếu (, ), (, ) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm (, ) và thỏa (1) thì ()= (, )+ (, ) có đạo hàm tại điểm = + và ()= (, )+ (, ) ℎặ ()= (, )−(, ). b. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng phức) Ta có = cos , = sin , =+ , = arctan , khi đó điều kiện Cauchy-Rieamann dạng phức là =1 à = −1 4.2. Bài tập mẫu Bài 4.1: Khảo sát sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau: a. ()= b. ()=|| Giải: a. Giả sử = + , khi đó ()= =(+ )= −3+(3−)= (, )+ (, ) ⇒(, )= −3 (, )= 3− Suy ra = 3−3; = 3−3; = −6; = 6 ⇒== 3−3 à = −= −6 Vậy (, ), (, ) có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm (, ) và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên () có đạo hàm tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức b. Giả sử = + , khi đó ()=||= + = (, )+ (, ) GIẢI TÍCH PHỨC 14 ⇒(, )= + (, )= 0 Suy ra = 2; = 0; = 2; = 0 Hàm () có đạo hàm khi ⎩⎪⎨⎪⎧== −⇔2= 02= 0⇔= = 0 Vậy hàm () có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠0 Bài 4.2 (bài 13,14, SGK, tr52): Chứng minh rằng ; () không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức. Giải: + Chứng minh ̅ không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức Giả sử = + , đặt ()= ̅, khi đó ()= ̅= −= (, )+ (, ) ⇒(, )= (, )= − Suy ra = 1; = −1; = 0; = 0 Rõ ràng = 1 ≠−1 = nên () không có đạo hàm tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức. Vậy ̅ không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức + Chứng minh (̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức Giả sử = + , đặt ()= ̅, khi đó ()= ̅=(+ )(−)= + +(+ )= (, )+ (, ) GIẢI TÍCH PHỨC 15 ⇒(, )= + (, )= + Suy ra = 3+ ; = + 3; = 2; = 2 Hàm () có đạo hàm khi ⎩⎪⎨⎪⎧= = −⇔3+ = + 32= −2 ⇔= = 0 Suy ra hàm () có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠0 Vậy (̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức Bài 4.3: Cho hàm (, ) có ()= −. Giả sử () có đạo hàm, m (). Giải: Giả sử = + , ()= (, )+ (, ) Theo giả thiết ta có (, )= −⇒= 2; = −2 Do ()có đạo hàm nên ta có ⎩⎪⎨⎪⎧= = −⇔⎩⎨⎧= 2 (1)= 2 (2) Từ (1): = 2⇒(, )= 2+ ()⇒= 2+ ′() thay vào (2) ta được 2+ ()= 2⇔()= 0 ⇒()= = Vậy ()= −+(2+ )=(+ )+ = + . Bài 4.4: Tìm sao cho các hàm sau khả vi a. ()= −−+ (−+ ) b. ()= + GIẢI TÍCH PHỨC 16 c. ()= ||> ||≤ (đề thi môn GTP – K18) Giải: a. ()= −−2+ (−+ 2)= (, )+ (, ) ⇒(, )= −−2 (, )= −+ 2 Suy ra = 2−2; = 2−2; = −2−2; = 2+ 2 ⇒== 2−2 à = −= −2−2 Vậy (, ), (, ) có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm (, ) và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên () có đạo hàm hay khả vi tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức b. Giả sử = (cos + sin ), khi đó ()= + ̅= (cos 5+ sin 5)+ (cos −sin ) =(cos 5+ cos )+ (sin 5−sin )= (, )+ (, ) ⇒(, )= cos 5+ cos (, )= sin 5−sin Suy ra = 5cos 5+ cos ; = 5sin 5−sin = −5sin 5−sin ; = 5cos 5−cos Rõ ràng 1=1(5cos 5−cos )= 5cos 5−cos ≠ −1= −1(−5sin 5−sin )= 5sin 5+ sin ≠ Vậy (, ), (, ) có các đạo hàm riêng không thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên () không khả vi tại mọi . c. + Tập ={:||> 3} là tập mở GIẢI TÍCH PHỨC 17 Ta có ()= 2 = 2 + 0= (, )+ (, ) ⇒(, )= 2 (, )= 0 Suy ra = 0; = 0; = 0; = 0 ⇒== 0 à = −= 0 Vậy (, ), (, ) có các đạo hàm riêng liên tục thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên tập nên () có đạo hàm hay khả vi trên . + Tương tự với ={:||< 3} ta chứng minh được () có đạo hàm hay khả vi trên + Xét ={:||= 3}, khi đó ()= 1 Xét dãy = (1 +) ||= 1 +1||= 1 +13 > 3 ⇒()= 2 Ta có → khi →∞, tuy nhiên ()= 2 ≠1 = () nên hàm () không liên tục tại mọi điểm trên . Do đó () không khả vi tại mọi :||= 3. Bài 4.5 (đề thi môn GTP – Cao học 2008-2009): Cho ()= ớ ||≥ ớ ||< Hàm () có đạo hàm tại = nào? Giải: + Xét tập ={:||> 1} là tập mở Ta có ()= = (+ )= −+ 2= (, )+ (, ) ⇒(, )= − (, )= 2 Suy ra = 2; = 2; = −2; = 2 GIẢI TÍCH PHỨC 18 ⇒== 2 à = −= −2 Vậy (, ), (, ) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên tập nên () có đạo hàm tại mọi điểm trên . + Xét tập ={:||< 1} là tập mở Ta có ()= 1 = 1 + 0= (, )+ (, ) ⇒(, )= 1 (, )= 0 Suy ra = 0; = 0; = 0; = 0 ⇒== 0 à = −= 0 Vậy (, ), (, ) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên tập nên () có đạo hàm tại mọi điểm trên . + Xét ={:||= 1}, khi đó ()= Với = ±1 thuộc thì ()= = 1 = 1 + 0 ta chứng minh được () khả vi tại =±1 Với ≠±1. Xét dãy = (1 −) ||= 1 −1||= 1 −11 < 1 ⇒()= 1 Ta có → khi →∞, tuy nhiên ()= 1 ≠= () nên hàm () không liên tục tại mọi điểm trên \{±1}. Do đó () không khả vi tại mọi trên \{±1}. V. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HÀM GIẢI TÍCH, HÀM ĐIỀU HÒA 5.1. Kiến thức bổ trợ a. Hàm giải ch + () giải ch trên miền mở nếu khả vi (tồn tại đạo hàm) tại mọi điểm thuộc GIẢI TÍCH PHỨC 19 + () giải ch tại điểm nếu khả vi trong lân cận của điểm + ()= (, )+ (, ) giải ch trong miền , các (, ), (, )có đạo hàm riêng liên tục trên thì (, ), (, ) thỏa phương trình Laplace: Φ+Φ= 0. b. Hàm điều hòa + Hàm thực hai biến có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa. + Hai hàm điều hòa (, ), (, ) sao cho ()= (, )+ (, ) giải ch được gọi là hai hàm điều hòa liên hợp. + Hàm ()= (, )+ (, ) xác định trên miền đơn liên và giải ch trên thì (, ), (, ) là các hàm điều hòa trên . + (, ) là hàm điều hòa trên thì tồn tại () giải ch trên sao cho ()= (, ) 5.2. Bài tập mẫu Bài 5.1 (đề thi môn GTP – CH 2008-2009): Cho (, )= −−+ −+ a. Chứng tỏ là hàm điều hòa. b. Tìm hàm giải ch () sao cho = (). Tìm (). Giải: a. Chứng minh Φ là hàm điều hòa. Φ= 12−4−1,Φ= 12−12 Φ= 12−4+ 1,Φ= 12−12 ⇒ Φ+Φ= 12−12+ 12−12= 0 Vậy hàm thực Φ hai biến có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm (, ) và thỏa phương trình Laplace nên Φ là hàm điều hòa (có thể gọi Φ là phần thực của hàm giải ch). b. Tìm hàm giải ch Giả sử hàm giải ch cần m có dạng: ()= Φ(, )+ iΨ(, ), với Ψ(, ) là hàm điều hòa liên hợp với Φ(, ), khi đó Φ(, ), Ψ(, ) phải thỏa điều kiện Cauchy-Riemann GIẢI TÍCH PHỨC 20 ⎩⎪⎨⎪⎧Φ=Ψ Φ= −Ψ⇔⎩⎨⎧Ψ= 12−4−1 (1) Ψ= −12+ 4−1 (2) Từ (1): = 12−4−1 ⇒Ψ= 4−4−+ () ⇒= 4−12+ ′() thay vào (2) ta có 4−12+ ()= −12+ 4−1 ⇔()= −1 ⇒()= −+ ⇒()= Ψ(, )= 4−4−−+ Vậy ()= 6−−+ −+ 1 + (4−4−−+ ). Bài 5.2 (đề thi môn GTP – K15): Cho (, )= ( − ) a. Chứng tỏ (, ) là hàm điều hòa trên một miền thích hợp. b. Tìm một hàm giải ch ()= (, )+ (, ), giải ch trên miền . c. Biểu diễn trong câu (b) theo biến Giải: a. Chứng minh (, ) là hàm điều hòa. = −(sin −cos )+ sin = (sin −sin + cos ) = −(sin −sin + cos )−sin = (−2 sin + sin −cos ) = (cos −cos + sin ) = (−sin + sin + sin + cos )= (2 sin −sin + cos ) ⇒+= 0 Vậy (, ) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm (, ) và thỏa phương trình Laplace nên (, ) là hàm điều hòa. b. Hàm ()= (, )+ (, ) giải ch trên miền nên (, ), (, ) thỏa điều kiện Cauchy-Riemann: GIẢI TÍCH PHỨC 21 ⎩⎪⎨⎪⎧= = −⇔⎩⎨⎧= (sin −sin + cos ) (1) = (−cos + cos −sin ) (2) Từ (1): = (sin −sin + cos ) ⇒(, )= (−cos + cos + sin + cos )+ () = (cos + sin )+ () ⇒= −(cos + sin )+ cos + () = (cos −cos −sin )+ ′() Thay vào (2) ta được: (cos −cos −sin )+ ()= (−cos + cos −sin ) ⇔()= 0 ⇔()= = ⇒(, )= (cos + sin )+ Vậy ()= ( sin − cos )+ ((cos + sin )+ ) c. Biểu diễn () ở câu b theo biến ()= ( sin − cos )+ ((cos + sin )+ ) = sin −cos + cos + sin + =(sin + sin )−(cos −cos )+ =(+ )sin −(−)cos + =(+ )sin + (−)cos + =(+ )sin + (+ )cos + =(+ )(sin + cos )+ = −(+ )(sin + cos )+ = (+ )(cos −sin )+ = (+ )+ = (+ )()+ = + GIẢI TÍCH PHỨC 22 VI. BÀI TOÁN TÌM VÀ PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG 6.1. Kiến thức bổ trợ a. Điểm bất thường + được gọi là điểm bất thường của () nếu () không giải ch tại . + được gọi là điểm bất thường cô lập của () nếu tồn tại một lân cận bán kính > 0 sao cho trong lân cận đó hàm () không có điểm bất thường nào khác. + được gọi là điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại số nguyên dương sao cho lim→(−)() = ≠0. + được gọi là điểm bất thường bỏ được của của () nếu lim→() tồn tại. + Điểm bất thường của () tại = ∞ là điểm bất thường của hàm tại = 0. b. Điểm cực + được gọi là điểm cực bậc của () nếu tồn tại số nguyên dương sao cho lim→(−)() = ≠0. + Trường hợp = 1 thì được gọi là điểm cực đơn. 6.2. Bài tập mẫu Bài 6.1: Xác định các điểm bất thường của các hàm số sau: a. ()= b. ()= c. ()=√√ Giải: a. ()=()=()() Vậy hàm () có 2 điểm bất thường = 2 và = −2 + Xét lim→(−2)() = lim→(−2)()= lim→()==≠0 Do đó = 2 là điểm cực bậc 2 của (). Tương tự = −2 cũng là điểm cực bậc 2 của (). GIẢI TÍCH PHỨC 23 + Xét điểm = 2. Tồn tại lân cận của điểm = 2, bán kính = 1 > 0 mà trong lân cận đó không có điểm bất thường nào khác của hàm () trừ điểm = 2 . Vậy = 2 là điểm bất cô lập của (). Tương tự = −2 cũng là điểm bất thường cô lập của (). b. Hàm ()= không xác định tại = 0 nên = 0 là điểm bất thường của () GPT: cos= 0 ⇔=+ , ∈ℤ⇔=(), ∈ℤ Vậy =(), ∈ℤ là các điểm bất thường của (). + Xét lim→()−()()= lim→()()= lim→() =()()=()()=()()≠0 Do đó =(), ∈ℤ là các điểm cực đơn của (). + Các điểm =() là các điểm rời rạc được đặt trên trục thực trong một khoảng hữu hạn chứa điểm 0. Do đó tại mỗi điểm tồn tại lân cận bán kính > 0 nào đó không chứa điểm bất thường nào khác. Do đó =() là các điểm bất thường cô lập. + Do =()→0 khi →∞ nên với mọi > 0, mọi lân cận bán kính luôn chứa điểm bất thường khác 0. Do đó = 0 không là điểm bất thường cô lập. + Xét lim→(−0)()= lim→= 0 ⇒ Không tồn tại nguyên dương thỏa mãn lim→(−0)()≠0. Do đó = 0 là điểm bất thường cốt yếu của (). c. = 0 là điểm bất thường của () + lim→() = lim→√√= 1 . Do đó = 0 là điểm bất thường bỏ được của (). Bài 6.2 (đề thi môn GTP – CH K18): a. Xác định tất cả các điểm bất thường của hàm sau ()=+ + (−)(+ ). GIẢI TÍCH PHỨC 24 b. Xác định các điểm mà tại đó () giải ch. Giải: Ta có ()có hai điểm bất thường = 1 và = − + Xét lim→(−1)() = lim→(−1)()()= lim→()=≠0 Do đó = 1 là điểm cực bậc 3 của (). + Xét lim→+() = lim→+()()= lim→()= −≠0 Do đó = − là điểm cực bậc 2 của (). + Tại điểm = 1 tồn tại lân cận bán kính = 1 > 0 mà trong đó không chứa điểm bất thường nào khác trừ điểm = 1. Do đó = 1 là điểm bất thường cô lập của hàm (). Tương tự = − cũng là điểm bất thường cô lập của hàm (). + Xét tại = ∞ Đặt =⇒()= ==()() Rõ ràng = 0 là điểm bất thường của hàm Xét lim→(−0)() = lim→(−0)()()= lim→()()=≠0 Do đó = 0 là điểm cực bậc 3 của hàm hay = ∞ là điểm cực bậc 3 của hàm (). b. Theo câu a thì () sẽ giải ch tại mọi điểm : ≠1, ≠−, ≠∞ Bài 6.3 (bài 28, SGK, tr54): CMR hàm ()=() có hai điểm cực bậc 2 tại = ± và một cực điểm đơn tại vô cực. Giải: ()=()()=()()() Hàm () có 2 điểm bất thường = 1 + 2 và = 1 −2 + Xét lim→ (−1 −2 )() = lim→ (−1 −2 )()()() GIẢI TÍCH PHỨC 25 = lim→ ()()=()()== −−≠0 Do đó = 1 + 2 là điểm cực bậc 2 của () Tương tự ta cũng có = 1 + 2 là điểm cực bậc 2 của (). + Tại = ∞. Đặt =⇒()= ==()() Rõ ràng = 0 là điểm bất thường của hàm Xét lim→(−0)= lim→(−0)()()= lim→()()= 1 ≠0 Do đó = 0 là điểm cực đơn của hay = ∞ là điểm cực đơn của hàm (). Bài 6.4 (bài 30,SGK, tr54): CMR hàm ()= có một điểm bất thường cốt yếu ở vô cực. Giải: Đặt =⇒()= = = Rõ ràng không xác định tại = 0 nên = 0 là điểm bất thường của hàm Xét lim→(−0)= lim→(−0)= lim→= 0 Do đó không tồn tại nguyên dương nào để lim→(−0)≠0 nên = 0 là điểm bất thường cốt yếu của hàm hay = ∞ là điểm bất thường cốt yếu của hàm (). VII. BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN 7.1. Kiến thức bổ trợ a. Tích phân đường + Nếu ()= (, )+ (, ) thì ch phân đường của () trên đường cong ()= −+ + |
