 a) \(\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\). Biểu diễn nghiệm trên đường tròn đơn vị: Ở đó, hai điểm \({M_1},{M_2}\) biểu diễn góc \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) và hai điểm \({M_3},{M_4}\) biểu diễn góc \(x = – \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \). b) \(\dfrac{{2\cos 2x}}{{1 – \sin 2x}} = 0\) Điều kiện: \(1 – \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 1\) \( \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi \). Phương trình \( \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\). Biểu diễn trên đường tròn đơn vị: Các điểm biểu diễn \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) là \({M_1},{M_2}\) nhưng điều kiện là \(x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) nên hai điểm này không lấy. Các điểm biểu diễn \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\) là \({M_1},{M_2},{M_3},{M_4}\) nhưng do không lấy hai điểm \({M_1},{M_2}\) nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn \({M_3},{M_4}\). Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua \(O\) và \(\widehat {AO{M_4}} = – \dfrac{\pi }{4}\) nên nghiệm của phương trình là \(x = – \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\). c) \(\dfrac{{\sqrt 3 \cot 2x – 1}}{{2\cos x + 1}} = 0\) Điều kiện: \(2\cos x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne – \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x \ne – \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\). Khi đó phương trình \( \Leftrightarrow \sqrt 3 \cot 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow \cot 2x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) \( \Leftrightarrow \cot 2x = \cot \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\). Biểu diễn trên đường tròn đơn vị: Ở đó, điểm \(M\) biểu diễn góc \(x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) và điểm \({M_3}\) biểu diễn góc \(x = – \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \), ta đánh dấu đỏ thể hiện không lấy hai điểm đó (do điều kiện xác định). Các điểm \({M_1},{M_2},{M_3},{M_4}\) là các điểm biểu diễn nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\), trong đó không lấy điểm \({M_3}\) do điều kiện xác định. Do đó, chỉ còn lại hai điểm \({M_1},{M_2}\) (với \(\widehat {AO{M_1}} = \dfrac{\pi }{6}\)) biểu diễn góc \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \) và điểm \({M_4}\) biểu diễn góc \(x = – \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \) (với \(\widehat {AO{M_4}} = – \dfrac{\pi }{3}\)). Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \) hoặc \(x = – \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Quảng cáo Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giác. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện. Với cách này chúng ta cần ghi nhớ ♦ Điểm biểu diễn cung α và α+k2π,k ∈ Z là trùng nhau ♦ Để biểu diễn cung α+k2π/n lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường chọn k = 0, 1, 2,…,n – 1)) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn. Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm Ta xét phương trình : Với a,b,c là các số nguyên. Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên ax + by = c (1) Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau: ♦ Phương trình (1) có nghiệm ⇔ d = (a,b) là ước của c ♦ Nếu phương trình (1) có nghiệm (xo,yo) thì (1) có vô số nghiệm Quảng cáo Phương pháp 3: Thử trực tiếp Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra. Bài 1: Giải phương trình:cot3x = cotx PT ⇔ cos3x.sinx - sin3x.cosx = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = (k π)/2,k ∈ Z. Biểu diễn các nghiệm của hệ phương trình điều kiện và nghiệm của phương trình lên vòng tròn lượng giác ta được: Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung kπ/3 ta có các điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6. Biểu diễn các điểm cuối của cung nπ/2 ta có các điểm B1, B2, B3, B4. Ta thấy A1 ≡ B1, A4 ≡ B3 . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x= π/2 + mπ . Cách 2: Do đó ta cần loại những giá trị n chẵn. Vậy nghiệm của phương trình là: x= π/2 + mπ . Bài 2: Giải phương trình: cot4x.cot7x = 1 Vì 22n-14m là số chẵn còn 7 là số lẻ nên phương trình này vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: Quảng cáo Bài 1: Giải phương trình: |sinx| = cos2x. Lời giải: Với sinx ≥ 0 (*) thì phương trình đã cho tương đương với Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*) Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A1, A2 , A3. Trong đó chỉ có hai điểm A1, A2 nằm phía trên Ox. Hai điểm này ứng với các cung x=π/6+k2 π,x=5π/6+ k2 π. Với sinx < 0 (**) thì phương trình đã cho tương đương với Dễ thấy (3) không thỏa (**) Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B1, B2, B3. Trong đó chỉ có hai điểm B2,B3 nằm dưới Ox (sinx < 0) Hai điểm đó ứng với cung: x = (-π)/6 + k2 π, x = -5π/6 + k2 π . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = ±π/6 + k π, (k ∈ Z). Bài 2: Giải phương trình: cos3x.tan4x = sin5x. Lời giải: Điều kiện: cos4x ≠ 0 Phương trình Bài 3: Giải phương trình: Lời giải: Giải pt (2) ta có các nghiệm: Vì các nghiệm của phương trình phải thỏa điều kiện (1) nên ta tìm cách biểu diễn các nghiệm qua sinx. Bài 4: Giải phương trình: tanx + cotx = 2. Lời giải: Biểu diễn các điểm trên vòng tròn lượng giác: Bài 5: Giải phương trình: Lời giải: Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. phuong-trinh-luong-giac.jsp |
