Cách làm bài toán dãy tỉ số bằng nhau năm 2024

$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ và $2x+3y-z=50$

HD:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{2\left( x-1 \right)+3\left( y-2 \right)-\left( z-3 \right)}{2.2+3.3-4}=\frac{2x+3y-z-2-6+3}{9}=\frac{45}{9}=5$

Câu 4. Tìm $x,y,z$biết rằng

a) $\frac{x}{3}=\frac{y}{12}=\frac{z}{5}$ và $xyz=-22,5$ b) $\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}$ và ${{x}^{2}}-{{y}{2}}+{{z}^{2}}=-60$

HD:

a) Đặt $\frac{x}{3}=\frac{y}{12}=\frac{z}{5}=k$ . Tính x, y, z theo k và thay vào biểu thức $xyz=-22,5$ ta tìm được $k=0,5$.

Từ đó tính được $x=1,5$ ; $y=6$ ; $z=2,5$;

b) Làm tương tự như phần a, đặt $\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}=k\Rightarrow k=\pm 2$

Với $k=2$ thì $x=6;y=14;z=10$

Với $k=-2$ thì $x=-6;y=-14;z=-10$.

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức – Tính giá trị biểu thức

Câu 5. Cho $\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{3}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{a}_{4}}}=...=\frac{{{a}_{19}}}{{{a}_{20}}}=\frac{{{a}_{20}}}{{{a}_{1}}}$ và ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{19}}+{{a}_{20}}\ne 0$

CM: ${{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{19}}={{a}_{20}}$

HD:

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có

$\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{3}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{a}_{4}}}=...=\frac{{{a}_{19}}}{{{a}_{20}}}=\frac{{{a}_{20}}}{{{a}_{1}}}=\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{19}}+{{a}_{20}}}{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{20}}+{{a}_{1}}}=1$ (do ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{19}}+{{a}_{20}}\ne 0$).

Vậy ${{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{19}}={{a}_{20}}$ (đpcm)

Câu 6. Cho tỉ lệ thức: $\frac{3a+2b+c}{a+2b-c}=\frac{3a-2b+c}{a-2b-c}$ và b ≠ 0

Chứng minh rằng: $a+c=0$

Câu 7. Cho $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$, ($a+b\ne 0$). Chứng minh rằng:

a) \[\frac{{{a}^{2}}+{{c}{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}{2}}}=\frac{a}{b}\] b) \[\frac{{{b}^{2}}-{{a}{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}{2}}}=\frac{b-a}{a}\]

HD:

Từ $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow {{c}^{2}}=ab$, thay lần lượt vào các biểu thức cần chứng minh

a) \[\frac{{{a}^{2}}+{{c}{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}{2}}}=\frac{{{a}^{{2}}+ab}{{{b}}{2}}+ab}=\frac{a(a+b)}{b(a+b)}=\frac{a}{b}\]
b) \[\frac{{{b}^{2}}-{{a}{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}{2}}}=\frac{{{b}^{2}}-{{a}{2}}}{{{a}^{2}}+ab}=\frac{(b-a)(b+a)}{a(a+b)}=\frac{b-a}{a}\]

Câu 8. Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì:

a) $\frac{4a+3b}{4a-3b}=\frac{4c+3d}{4c-3d}$ b) $\frac{9{{a}^{{2}}+4ab}{19{{a}}{2}}-11{{b}^{{2}}}=\frac{9{{c}}{2}}+4cd}{19{{c}^{2}}-11{{d}{2}}}$

HD:

Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk$

a) Thay a, c vào biểu thức ta có đpcm
b) Thay a, c vào biểu thức ta có đpcm
Dạng 3. Bài toán có lời văn

Câu 9. Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư vớivận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 118 giây

HD:

Gọi x, y, z lần lượt là thời gian vật chuyển động trên 1 cạnh ứng với các vận tốc 5m/s , 4m/s, 3m/s.

Do các cạnh của hình vuông bằng nhau nên ta có: $5x=4y=3z$

Và theo giả thiết: $x+x+y+z=118$. Lưu ý rằng vật chuyển động trên 2 cạnh đầu với cùng vận tốc 5m/s.

Từ đó HS sẽ tính được: $x=24{{;}_{{}}}y=30{{;}_{{}}}z=40$ (giây)

Câu 10. Tìm 3 chữ số tự nhiên biết rằng tỉ số của số thứ nhất với số thứ hai là 3:4, tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ ba là 6:13 và BCNN của ba số đó bằng 7176

HD:

Gọi a, b, c theo thứ tự là 3 số cần tìm. Ta có a:b=3:4 và a:c=6:13.

Do đó: a:b:c=6:8:13.

Đặt $\frac{a}{6}=\frac{b}{8}=\frac{c}{13}=k$ suy ra $a=6k{{;}_{{}}}b=8k{{;}_{{}}}c=13k$

Ta có: $BCNN(a,b,c)=BCNN(6k,8k,13k)=k.BCNN(6,8,13)=k.312$

Từ đó: $k.312=7176\Rightarrow k=23$

Vậy: $a=138{{;}_{{}}}b=184{{;}_{{}}}c=299$

Để đăng kí học trực tuyến qua video, qua zoom, anh chị phụ huynh vui lòng liên hệ qua SĐT thầy Long 0832646464 để được tư vấn!

$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{{x - y}}{{3 - 4}} = \frac{2}{{ - 1}} = - 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2.3 = - 6\\y = - 2.4 = - 8\end{array} \right..$

Chọn B

Đáp án - Lời giải

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}}$

* Từ dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}$ ta suy ra:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}$

Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa.

Ví dụ: $\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{10 + 5}}{{6 + 3}} = \dfrac{{15}}{9}$

$\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{10 - 5}}{{6 -3}}$

* Mở rộng

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \dfrac{{ma - nc}}{{mb - nd}}$

Ví dụ:

$\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{2.10 + 3.5}}{{2.6 + 3.3}} = \dfrac{{35}}{{21}}$

Chú ý:

Khi nói các số $x,\,y,\,z$ tỉ lệ với các số $a,\,b,\,c$ tức là ta có $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$. Ta cũng viết $x:y:z = a:b:c$

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm hai số $x;y$ biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.

Phương pháp giải:

* Để tìm hai số $x;y$ khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$ ta làm như sau

Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x + y}}{{a + b}} = \dfrac{s}{{a + b}}$

Từ đó $x = \dfrac{s}{{a + b}}.a;\,y = \dfrac{s}{{a + b}}.b$ .

* Để tìm hai số $x;y$ khi biết hiệu $x - y = p$ và tỉ số $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$ ta làm như sau

Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$$ \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x - y}}{{a - b}} = \dfrac{p}{{a - b}}$

Từ đó $x = \dfrac{p}{{a - b}}.a;$$y = \dfrac{p}{{a - b}}.b$ .

Ví dụ: Tìm hai số $x;y$ biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ và $x + y = - 32$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{ - 32}}{8} = - 4$

Do đó $\frac{x}{3} = - 4 \Rightarrow x = (-4).3 = - 12$ và $\frac{y}{5} = - 4 \Rightarrow y = (-4).5 = - 20.$

Vậy $x = - 12;y = - 20.$

Dạng 2: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước

Phương pháp:

Giả sử chia số $P$ thành ba phần $x,\,y,\,z$ tỉ lệ với các số $a,b,c$, ta làm như sau:

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = \dfrac{P}{{a + b + c}}$

Từ đó $x = \dfrac{P}{{a + b + c}}.a;\,y = \dfrac{P}{{a + b + c}}.b$; $z = \dfrac{P}{{a + b + c}}.c$.

Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng

Phương pháp:

Tìm hai số $x;\,y$ biết $x.y = P$ và $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$

Cách 1: Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$

Đặt $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = k$ ta có $x = ka;\,y = kb$

Nên $x.y = ka.kb = {k^2}ab = P $$\Rightarrow {k^2} = \dfrac{P}{{ab}}$

Từ đó tìm được $k$ sau đó tìm được $x,y$.

Cách 2: Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$$ \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{xy}} = \dfrac{a}{b}$ hay $\dfrac{{{x^2}}}{P} = \dfrac{a}{b} $$\Rightarrow {x^2} = \dfrac{{Pa}}{b}$ từ đó tìm được $x$ và $y.$