A. Lý thuyết cơ bản1. Vecto pháp tuyến – Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng- Vecto là một vecto pháp tuyến () của mặt phẳng nếu giá của vuông góc với . Show
- Hai vecto không cùng phương là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng . - Nếu là một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng thì là một của . Chú ý: Nếu là một của thì cũng là của . 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳngMặt phẳng đi qua điểm và có có phương trình tổng quát: . Nếu mặt phẳng có phương trình thì là một của . 3. Một số mặt phẳng thường gặp Phương trình mặt phẳng đoạn chắn qua 3 điểm với là . 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngMặt phẳng được xác định bởi phương trình tổng quát . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được xác định bởi công thức: . Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 5. Góc giữa hai mặt phẳngGóc giữa hai mặt phẳng và được xác định bởi công thức trong đó . Chú ý: . 6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳngCho hai mặt phẳng và . Khi đó, vị trí tương đối của hai mặt phẳng xảy ra các trường hợp sau: - Trường hợp 1: . - Trường hợp 2: . - Trường hợp 3: . Đặc biệt . B. Bài tậpDạng 1. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và cóA. Phương pháp Mặt phẳng đi qua điểm và có có phương trình tổng quát: . Chú ý: // ( và có cùng ). ( của là một của ). là mặt phẳng trung trực của đoạn và đi qua trung điểm của . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1.1: Mặt phẳng qua và song song với mặt phẳng là A. . B. . C. . D.. Lời giải: Cách 1: . Phương trình mặt phẳng qua và có là: . Chọn đáp án A. Cách 2: song song với mặt phẳng nên có dạng: Vì qua nên . Vậy có phương trình là . Chọn đáp án A. Ví dụ 1.2: Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng với là A. . B. . C. . D. . Lời giải: Giả sử là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . của là . Mặt phẳng đi qua trung điểm của và có nên có phương trình là . Chọn đáp án C. Ví dụ 1.3 (Đề minh họa 2017 Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Viết phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng . A. . B. . C. . D. . Lời giải: của là . Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng là . Chọn đáp án A. Dạng 2. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có cặpA. Phương pháp Tìm 2 vecto có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng . Khi đó của là . Chú ý: + đi qua 3 điểm không thẳng hàng . + vuông góc hai mặt phẳng . + . + đi qua 2 điểm và vuông góc với mặt phẳng . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 2.1: Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm là A. . B. . C. . D. . Lời giải: Cách 1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là . Mặt phẳng đi qua điểm và có có phương trình là . Chọn đáp án B. Cách 2: Giả sử mặt phẳng có , khi đó có dạng . Vì đi qua 3 điểm nên ta có hệ phương trình . Chọn . Khi đó có dạng . Mà nên . Vậy phương trình mặt phẳng là . Cách 3 (Trắc nghiệm): Thay tọa độ vào các đáp án, thấy đáp án B thỏa mãn. Vậy chọn B. Ví dụ 2.2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Vecto pháp tuyến của là . Mặt phẳng đi qua điểm và có có phương trình là: . Chọn đáp án A. Ví dụ 2.3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và mặt phẳng . Phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng là A. . B. . C. . D. . Lời giải: đi qua và vuông góc với có . Phương trình mặt phẳng là . Chọn đáp án B. Ví dụ 2.4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng đi qua hai điểm và chứa trục . Phương trình nào là phương trình tổng quát của ? A. . B. . C. . D. . Lời giải: Cách 1: Ta có . Trục có vecto chỉ phương là . . Mặt phẳng đi qua điểm và có nên có phương trình là: . Cách 2: Mặt phẳng đi qua điểm nên có dạng (Đến đây có thể chọn luôn được đáp án C). Vì thuộc nên . Chọn . Chọn đáp án C. Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắnA. Phương pháp Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm với là . Để viết phương trình mặt phẳng thông thường giả thiết cho các điều kiện (thường là 3 điều kiện). Từ đó thiết lập được hệ 3 phương trình 3 ẩn . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 3.1 (Đề minh họa 2017 Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ? A. . B. . C. . D. . Lời giải: Mặt phẳng đi qua 3 điểm có phương trình đoạn chắn là . Chọn đáp án C. Ví dụ 3.2: Cho điểm . Lập phương trình mặt phẳng , biết rằng cắt ba trục lần lượt tại sao cho là trọng tâm của tam giác . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Do lần lượt thuộc nên giả sử . Vì là trọng tâm của tam giác nên ta có . Mặt phẳng đi qua có phương trình là: . Ví dụ 3.3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua , cắt các trục tọa độ lần lượt tại mà là trực tâm của . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Cách 1: Giả sử . . Ta có . . Cách 2: Ta chứng minh được , suy ra vecto pháp tuyến của là . Mặt phẳng qua và có có phương trình là . Chọn đáp án A. Ví dụ 3.4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua và cắt các trục tại tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Ba điểm nằm trên các trục tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho , suy ra với . Phương trình . Mặt phẳng qua nên . Vậy phương trình mặt phẳng là . Chọn đáp án B. Ví dụ 3.5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm . Viết phương trình mặt phẳng chứa và cắt các trục lần lượt tại các điểm và sao cho thể tích khối tứ diện bằng 3 ( là gốc tọa độ). A. . B. . C. . D. . Lời giải: Giả sử . Do là hình tứ diện nên . Vì nên . Điểm . Thể tích tứ diện là ⇔|ac| = 6⇔ac = 6 (2) hoặc ac = -6 (3) Từ (1) và (2) ta có hệ . Từ (1) và (3) ta có hệ (vô nghiệm). Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn . Ví dụ 3.6 (Chuyên KHTN 2017 Lần 4) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm , mặt phẳng qua cắt các hệ trục tọa độ lần lượt tại . Gọi là thể tích tứ diện . Khi thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Giả sử . Mặt phẳng . Do nên . . Vậy chọn đáp án C. Ví dụ 3.7 (THPT Lý Tự Trọng – TPHCM) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua và cắt nửa trục dương lần lượt tại sao cho nhỏ nhất, với là trọng tâm tam giác . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Gọi với . Theo đề bài ta có: . Cần tìm giá trị nhỏ nhất của . Ta có . Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
. Suy ra . Đẳng thức xảy ra . Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi . Vậy phương trình mặt phẳng là hay . Chọn đáp án D. Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cáchA. Phương pháp Giả sử là của , khi đó có dạng . Mặt phẳng song song với mặt phẳng . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là: . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 4.1 (Đề minh họa 2017) Trong không gian , cho mặt phẳng và điểm . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: . Chọn đáp án C. Ví dụ 4.2: Trong không gian , khoảnh cách giữa hai mặt phẳng và là A. . B. 1. C. . D. . Lời giải: Mặt phẳng nên với . Chú ý: . Áp dụng: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và là: . Ví dụ 4.3: Trong không gian , cho mặt phẳng và điểm . Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Vì có dạng . . Vậy . Chọn đáp án A. Ví dụ 4.4: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng qua , vuông góc với mặt phẳng và cách điểm một khoảng bằng . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Mặt phẳng qua nên có dạng . Vì nên . . Từ (1) và (2) ta được:
Từ (3) có . Chọn . Từ (4) suy ra . Chọn . Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn đề bài . Ví dụ 4.5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho 3 điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua và đồng thời khoảng cách từ đến bằng . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Phương trình mặt phẳng có dạng . Ta có Từ (1), ta có phương trình mặt phẳng . Từ (2), ta có phương trình mặt phẳng . Ví dụ 4.6: Tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng và là A. . B. . C. . D. . Lời giải: Gọi là điểm cách đều và . Ta có:
(vô lí) hoặc . Vậy tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng . Chọn đáp án B. Ví dụ 4.7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. A. . B. . C. . D. . Lời giải: Ta có . Do đó . Vì vậy mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Ta có . Vậy phương trình mặt phẳng là . Chọn đáp án D. Ví dụ 4.8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Viết phương trình mặt phẳng đi qua sao cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là lớn nhất. A. . B. . C. . D. . Lời giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: . . Nếu (loại) Nếu thì . Đẳng thức xảy ra . Chọn . Khi dó phương trình mặt phẳng là . Chọn đáp án A. Dạng 5. Góc giữa hai mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến gócA. Phương pháp Góc giữa hai mặt phẳng và được xác định bởi công thức: . trong đó . Chú ý: . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 5.1: Cho hai mặt phẳng và . Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng là số nào ? A. . B. . C. . D. . Lời giải: có là . có là . . Chọn đáp án A. Ví dụ 5.2: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và tạo với các trục các góc tương ứng là . A. . B. . C. . D. Cả 3 đáp án trên. Lời giải: Gọi là của . Các của trục là . Ta có . Phương trình mặt phẳng là hoặc . Ví dụ 5.3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng và . Lập phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ , vuông góc với mặt phẳng và tạo với mặt phẳng một góc A. . B. . C. . D. Đáp án khác. Lời giải: Giả sử phương trình mặt phẳng có dạng . Ta có . (2) Từ (1) và (2) suy ra: . Với , chọn . Với , chọn . Chọn đáp án C. Ví dụ 5.4 (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định 2017 Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , mặt phẳng có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và tạo với mặt phẳng một góc nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Lời giải: Cách 1: Đáp án A, B và C loại do mặt phẳng không đi qua điểm . Cách 2: Gọi là giao điểm của và mặt phẳng là hình chiếu của trên mặt phẳng . Ta có là góc tạo bởi và mặt phẳng . Kẻ vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng và . Ta có là góc tạo bởi hai mặt phẳng và . Dễ dàng chứng minh được góc tạo bởi hai mặt phẳng và nhỏ nhất bẳng là góc tạo bởi và mặt phẳng . Ta có . Gọi là của mặt phẳng , khi đó
Từ (1). Thay vào (2) ta được . Khi đó . Phương trình mặt phẳng cần tìm là . Chọn đáp án D. |
