1. Các kiến thức cần nhớ Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ ${\rm{ }} (a \ne 0)$ và biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac.$ Trường hợp 1. Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2. Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}$ Trường hợp 3. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{-b + \sqrt {\Delta } }}{2a}$, ${x_{2}} = \dfrac{{-b - \sqrt {\Delta } }}{2a}$
Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = {b^{'2}} - ac.$ Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$ Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$, ${x_{2}} = \dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$ Chú ý - Khi \(a > 0\) và phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) vô nghiệm thì biểu thức \(a{x^2} + bx + c > 0\) với mọi giá trị của \(x\). - Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có \(a < 0\) thì nên đổi dấu hai vế của phương trình để có \(a > 0\), khi đó dể giải hơn. - Đối với phương trình bậc hai khuyết \(a{x^2} + bx = 0\), \(a{x^2} + c = 0\) nên dùng phép giải trực tiếp sẽ nhanh hơn. 2. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn Phương pháp: Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$ Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$ Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$, ${x_{2}} =\dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$ Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai Phương pháp: Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$ +) Phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\) +) Phương trình có hai nghiệm phân biệt\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\) +) Phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,b' = 0,c \ne 0\\a \ne 0,\Delta ' < 0\end{array} \right.\) Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai (dùng một trong hai công thức: công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn) Phương pháp: * Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số \(m\) là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của \(m\). Xét phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) với \(\Delta = {b^2} - 4ac\) ( hoặc \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac\) ) Trường hợp 1. Nếu \(\Delta < 0\) hoặc \(\left( {\Delta ' < 0} \right)\) thì phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2. Nếu \(\Delta = 0\) hoặc \(\left( {\Delta ' = 0} \right)\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a}\). Trường hợp 3. Nếu \(\Delta > 0\) hoặc \(\left( {\Delta ' > 0} \right)\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$, ${x_{2}} = \dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$. 
1. Các kiến thức cần nhớ Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn +) Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$ Trong đó $a,b,c$ là những số cho trước $a \ne $$0$ hoặc $b \ne 0$ . - Nếu các số thực ${x_0},\,{y_0}$ thỏa mãn $ax + by = c$ thì cặp số $({x_0},\,{y_0})$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$. - Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , mỗi nghiệm $({x_0},\,{y_0})$ của phương trình $ax + by = c$ được biểu diễn bới điểm có tọa độ $({x_0},\,{y_0})$.
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax + by = c.$ +) Nếu $a \ne 0$ và $b = 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.$ và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục tung. +) Nếu $a = 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$ và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục hoành. +) Nếu $a \ne 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$ và đường thẳng $d$ là đồ thị hàm số $y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$ 2. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương pháp: Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$thỏa mãn $ax + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$. Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ. Phương pháp: Xét phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$. 1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn $x$ theo $y$ ( hoặc $y$ theo $x$) rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát. 2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình $ax + by = c$. Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng $ax + by = c$ thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này: 1. Nếu \(a \ne 0\) và \(b = 0\) thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:x = \dfrac{c}{a}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Oy$ . 2. Nếu \(a = 0\) và \(b \ne 0\) thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:y = \dfrac{c}{b}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Ox$ . 3. Đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M({x_0},\,{y_0})$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} = c$. Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp: Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$, ta làm như sau: Cách 1: Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩnBước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$ Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên \(t\), ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và \(t\) - Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên. Cách 2: Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên $({x_0},\,{y_0})$ của phương trình. Bước 2. Đưa phương trình về dạng $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$ từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
TOÁN LỚP 9 Giải bài và ôn tập Đại Số 9 LỚP 9 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Nguồn website giaibai5s.com Ví dụ 1: Cho các phương trình : a) 2x + 3y = 6; b) 4x +Oy = 4; c) 0x – 3y = 9 Tìm công thức tổng quát nghiệm của mỗi phương trình và biểu diễn hình học tập hợp nghiệm của nó. Giải:6-3y a) 2x + 3y = 6 * 2x = 6-3y x=> 26-2x hoặc 2x + 3y =6 = 3y =6-2x + y= Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : xeR yeR 6–2x hoặc 3 6–3y X = 2 Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên hình 1. b) 4x + y = 4 * 4x 4 x=1. x = 1 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên hình 2. c) Ox – 3y=9 -3y=97 y=-3. Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : ^ ^ ly =-3. Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên hình 3. x = 1 2x + 3y = 6 – 2 3 y=-3 Hình 1 Hình 2 Hinh 3 II. BÀI TẬP 1. Trong các cặp số sau : (-1;2), (2 ; 2), (058), (-10) và (3;-3), cặp số nào là nghiệm của phương trình: a) 4x + 3y = 2? b) 3x – 5y =-4? 2. Tìm công thức nghiệm tổng quát của mỗi phương trình sau và biểu diễn hình học tập nghiệm của nó : a) 3x – 2y = 6; b) 2x + 4y = 8; c) –5x+0y=-10 ; d) 0x + 5y =-15. 3.Trong môi trường hợp sau, hãy tìm giá trị của a để : a) Điểm A(0;-1) thuộc đường thẳng x+ay =-5 ; b) Điểm B(-1,5 ; 0) thuộc đường thẳng ax – 4y = 6 ; c) Điểm C(-1;-3) thuộc đường thẳng ax +6y =-3 ; d) Điểm D(2,5 ; 0) thuộc đường thẳng ax +0y =12,5 ; e) Điểm (2;-4,5) thuộc đường thẳng (x +ay = 31, 5. Vẽ đồ thị của mỗi cặp phương trình sau trong cùng một hệ trục tạo độ, rồi tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng đó. a) 2x +y = 3 và 3x -y=1; b) x-2y = 4 và 3x + 2y =12 ; c) x-y=1 và −3x +3y=-6 ; d) x – 2y = 4 và -2x +4y ==8. 4. III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 1. Hướng dẫn : Thay lần lượt mỗi cặp số đã cho vào từng phương trình so sánh giá trị tìm được ở hai vế rồi rút ra kết luận. a) Các cặp số :(-1;2), (0;-) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 2 ; b) Các cặp số : (2;2), (-3;0) là nghiệm của phương trình 3x–5y=-4. Học sinh tự vẽ hình. 2. X= y+2 a) Đáp số : xe R. WIN +2 hoặc oly=1,5x=3 hoặc * y= 1,5x-3 lyer b) Đáp số. Xe R. hoặc x=-2y+4 yer y=-X +2 x=2 c) Đáp số : x=2 d) Đáp số: y = -3 XER yer 3. a) Điểm A(0;-1) thuộc đường thẳng x+ay =-5 , ta có : 0+a(-1)=-5 a=5. b) Điểm B(-1,5;0) thuộc đường thẳng ax – 4y = 6, ta có : a.(-1,5) +0=66-1,5a = 6 a=-4. c) Điểm C(-7;-3) thuộc đường thẳng ax +6y =-3, ta có : a.(-7) +6(-3)=-3 67a-18=-3 6-7a =15 © a=-2 > d) Điểm D(2,5;0) thuộc đường thẳng ax –0y = 12,5 , ta có : a.(2,5)+0 = 12,5 2,5a = 12,5 € a = 5. e) Điểm E(2;-4,5) thuộc đường thẳng (x + 2y = 31,5, ta có: 0.2+a.(-4,5) = 31,5 -4,5a = 31,5 € a=-7. Học sinh tự vẽ hình. a) Giao điểm hai đường thẳng 2x+y=3 và 3x – y =1 có toạ độ 4. b) Giao điểm hai đường thẳng x-2y = 4 và 3x + y =12 có toạ độ (4;0). c) Hai đường thẳng x-y=1 và −3x+3y =-6 song song với nhau. d) Hai đường thẳng x – 2y = 4 và -2x + 4y =-8 trùng nhau. |
