Tính chất của căn bậc hai Show
Cho đến nay, chúng tôi đã thực hiện năm phép tính số học trên các số: cộng, trừ, phép nhân, phép chia và phép lũy thừa, và các thuộc tính khác nhau của các phép toán này được sử dụng tích cực trong các phép tính, ví dụ, a + b = b + a, an-bn = (ab) n, v.v. Chương này giới thiệu một phép toán mới - lấy căn bậc hai của một số không âm. Để sử dụng thành công, bạn cần làm quen với các thuộc tính của thao tác này, chúng ta sẽ thực hiện trong phần này. Bằng chứng. Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu sau: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg "alt =" (! LANG: Bình đẳng" width="120" height="25 id=">!}. Đây là cách chúng ta xây dựng định lý sau. (Một công thức ngắn gọn dễ sử dụng hơn trong thực tế: căn của phân số bằng phân số của căn, hoặc căn của thương bằng thương của căn.) Lần này chúng tôi sẽ chỉ đưa ra một bản ghi ngắn gọn về chứng minh, và bạn có thể cố gắng đưa ra những nhận xét thích hợp tương tự như những nhận xét tạo nên bản chất của chứng minh Định lý 1. Nhận xét 3. Tất nhiên, ví dụ này có thể được giải quyết theo cách khác, đặc biệt nếu bạn có máy tính trong tay: nhân các số 36, 64, 9, rồi lấy căn bậc hai của tích kết quả. Tuy nhiên, bạn sẽ đồng ý rằng giải pháp được đề xuất ở trên trông có vẻ văn hóa hơn. Nhận xét 4. Trong phương pháp đầu tiên, chúng tôi thực hiện tính toán trực tiếp. Cách thứ hai thanh lịch hơn:
Nhận xét 5. Một số "hothead" đôi khi đưa ra "giải pháp" sau đây cho Ví dụ 3: Tất nhiên, điều này không đúng: bạn thấy đấy - kết quả không giống như trong ví dụ của chúng tôi 3. Thực tế là không có thuộc tính https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg "alt =" (! LANG: Task" width="148" height="26 id=">!} Chỉ có các tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia căn bậc hai. Cẩn thận và cẩn thận, đừng mơ mộng hão huyền. Kết luận đoạn văn, chúng tôi lưu ý một tính chất khá đơn giản và đồng thời quan trọng: Chuyển đổi biểu thức có chứa hoạt động căn bậc hai Cho đến nay, chúng tôi chỉ thực hiện các phép biến đổi Biểu thức hợp lý, sử dụng cho điều này các quy tắc hoạt động trên đa thức và phân số đại số, công thức cho phép nhân viết tắt, v.v. Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu một phép toán mới - phép toán rút ra căn bậc hai; chúng tôi đã thiết lập điều đó trong đó, nhớ lại, a, b là các số không âm. Sử dụng những công thức, bạn có thể thực hiện các phép biến đổi khác nhau của các biểu thức có chứa phép toán căn bậc hai. Hãy xem xét một số ví dụ và trong tất cả các ví dụ, chúng tôi sẽ giả định rằng các biến chỉ nhận các giá trị không âm. Ví dụ 3 Nhập hệ số dưới dấu căn bậc hai: Ví dụ 6. Đơn giản hóa biểu thức Lời giải. Hãy thực hiện các phép biến đổi liên tiếp: Diện tích mảnh đất hình vuông là 81 dm². Tìm bên anh ấy. Giả sử độ dài cạnh của hình vuông là X decimet. Khi đó diện tích của mảnh đất là X² decimetres vuông. Vì, theo điều kiện, diện tích này là 81 dm², thì X² = 81. Độ dài cạnh của hình vuông là một số dương. Một số dương có bình phương 81 là số 9. Khi giải bài toán, yêu cầu tìm số x, bình phương của số đó là 81, tức là giải phương trình. X² = 81. Phương trình này có hai nghiệm: x 1 = 9 và x 2 \ u003d - 9, vì 9² \ u003d 81 và (- 9) ² \ u003d 81. Cả hai số 9 và - 9 đều được gọi là căn bậc hai của số 81. Lưu ý rằng một trong các căn bậc hai X= 9 là một số dương. Nó được gọi là căn bậc hai số học của 81 và được ký hiệu là √81, do đó √81 = 9. Căn bậc hai số học của một số một là một số không âm có bình phương bằng một. Ví dụ, các số 6 và -6 là căn bậc hai của 36. Số 6 là căn bậc hai số học của 36, vì 6 là số không âm và 6² = 36. Số -6 không phải là căn số học. Căn bậc hai số học của một số một ký hiệu như sau: √ một. Dấu hiệu được gọi là dấu căn bậc hai số học; mộtđược gọi là biểu thức gốc. Biểu thức √ mộtđọc như thế này: căn bậc hai số học của một số một. Ví dụ: √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Trong trường hợp rõ ràng là chúng ta đang nói về một căn số học, họ nói ngắn gọn: "căn bậc hai của một«. Hành động tìm căn bậc hai của một số được gọi là lấy căn bậc hai. Hành động này là ngược lại của bình phương. Mọi số đều có thể bình phương, nhưng không phải mọi số đều có thể là căn bậc hai. Ví dụ, không thể trích xuất căn bậc hai của số - 4. Nếu căn như vậy tồn tại, thì biểu thị nó bằng chữ cái X, chúng tôi sẽ nhận được đẳng thức sai x² \ u003d - 4, vì có một số không âm ở bên trái và một số âm ở bên phải. Biểu thức √ một chỉ có ý nghĩa khi a ≥ 0. Định nghĩa của căn bậc hai có thể được viết ngắn gọn là: √ a ≥ 0, (√một)² = một. Bình đẳng (√ một)² = một có hiệu lực cho a ≥ 0. Do đó, để đảm bảo rằng căn bậc hai của một số không âm một bằng b, tức là √ một =b, bạn cần kiểm tra xem hai điều kiện sau có được đáp ứng không: b ≥ 0, b² = một. Căn bậc hai của một phân sốHãy tính toán. Lưu ý rằng √25 = 5, √36 = 6 và kiểm tra xem đẳng thức có đúng không. Như
Định lý: Nếu một một≥ 0 và b> 0, nghĩa là, căn của phân số bằng căn của tử số chia cho căn của mẫu số. Cần phải chứng minh rằng: và
Kể từ khi √ một≥0 và √ b> 0, sau đó. Bằng tính chất nâng phân số thành lũy thừa và xác định căn bậc hai Tính theo định lý đã được chứng minh
Ví dụ thứ hai: Chứng minh rằng Một ví dụ khác: Tính toán.  Phép biến đổi căn bậc haiLấy số nhân ra từ dưới dấu hiệu của gốc. Cho một biểu thức đã cho. Nếu một một≥ 0 và b≥ 0, thì theo định lý về nghiệm nguyên của tích, ta có thể viết: Một phép biến đổi như vậy được gọi là bao thừa dấu căn. Hãy xem xét một ví dụ; Tính toán tại X= 2. Thay thế trực tiếp X= 2 trong biểu thức căn dẫn đến các phép tính phức tạp. Các phép tính này có thể được đơn giản hóa nếu trước tiên chúng ta loại bỏ các thừa số khỏi dấu gốc:. Bây giờ thay x = 2, ta được:. Vì vậy, khi lấy thừa số ra khỏi dấu căn, biểu thức căn được biểu diễn dưới dạng tích trong đó một hoặc nhiều thừa số là bình phương của các số không âm. Định lý tích số sau đó được áp dụng và lấy gốc của mỗi thừa số. Xét một ví dụ: Đơn giản biểu thức A = √8 + √18 - 4√2 bằng cách lấy thừa số dưới dấu căn trong
hai số hạng đầu, ta được:. Chúng tôi nhấn mạnh rằng sự bình đẳng Bài học và cách trình bày về chủ đề: "Tính chất của căn bậc hai. Công thức. Ví dụ về giải pháp, nhiệm vụ có đáp án"Tài liệu bổ sung Máy trợ giảng và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến "Tích phân" dành cho lớp 8 Thuộc tính căn bậc haiChúng ta tiếp tục nghiên cứu về căn bậc hai. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét các thuộc tính chính của rễ. Tất cả các thuộc tính chính đều trực quan và phù hợp với tất cả các thao tác mà chúng tôi đã thực hiện trước đây. Tính chất 1. Căn bậc hai của tích của hai số không âm bằng tích của căn bậc hai của những số này: $ \ sqrt (a * b) = \ sqrt (a) * \ sqrt (b) $. Theo thói quen để chứng minh bất kỳ tài sản nào, chúng ta hãy làm điều đó. Từ thuộc tính của chúng tôi, ví dụ: $ \ sqrt (5) * \ sqrt (3) = \ sqrt (15) $. Nhận xét 1. Thuộc tính cũng có giá trị đối với trường hợp có nhiều hơn hai yếu tố không tiêu
cực dưới gốc. Tức là thương của gốc bằng thương của các gốc. Ví dụ về sử dụng thuộc tính căn bậc haiví dụ 1 Quyết định. Ví dụ 2. Tính: $ \ sqrt (11 \ frac (14) (25)) $. Quyết định. Ví dụ 3 Quyết định. Các bạn lưu ý rằng không
có công thức nào cho các phép tính cộng trừ các biểu thức căn và các biểu thức dưới đây không đúng. Ví dụ 4 B) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) = \ sqrt (\ frac (32) (8)) = \ sqrt (4) = 2 $. Đáp số: a) 16; b) 2. Thuộc tính 3. Nếu $ a≥0 $ và n là số tự nhiên thì đẳng thức sau đây: $ \ sqrt (a ^ (2n)) = a ^ n $. Ví dụ. $ \ sqrt (a ^ (16)) = a ^ 8 $, $ \ sqrt (a ^ (24)) = a ^ (12) $, v.v. Ví dụ
5 Quyết định. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập1. Tính: $ \ sqrt (144 * 36 * 64) $. Toán học ra đời khi một người nhận thức được bản thân và bắt đầu tự định vị mình như một đơn vị tự trị của thế giới. Mong muốn đo lường, so sánh, tính toán những gì xung quanh bạn là điều làm nền tảng cho một trong những ngành khoa học cơ bản của thời đại chúng ta. Lúc đầu, đây là những phần của toán học sơ cấp, có thể liên kết các con số với các biểu thức vật lý của chúng, sau đó các kết luận bắt đầu chỉ được trình bày về mặt lý thuyết (do tính trừu tượng của chúng), nhưng sau một thời gian, như một nhà khoa học đã nói, " toán học đạt đến mức độ phức tạp khi tất cả các con số. " Khái niệm "căn bậc hai" xuất hiện vào thời điểm mà nó có thể dễ dàng được hỗ trợ bởi dữ liệu thực nghiệm, vượt ra ngoài bình diện tính toán. Tất cả bắt đầu như thế nàoLần đầu tiên đề cập đến căn, hiện được ký hiệu là √, đã được ghi lại trong các bài viết của các nhà toán học Babylon, người đã đặt nền móng cho số học hiện đại. Tất nhiên, chúng trông hơi giống với hình thức hiện tại - các nhà khoa học của những năm đó lần đầu tiên sử dụng những chiếc máy tính bảng cồng kềnh. Nhưng vào thiên niên kỷ thứ hai trước Công nguyên. e. họ đã đưa ra một công thức tính toán gần đúng chỉ ra cách lấy căn bậc hai. Bức ảnh dưới đây cho thấy một phiến đá mà các nhà khoa học Babylon đã khắc quá trình đầu ra √2, và nó chính xác đến mức sự khác biệt trong câu trả lời chỉ được tìm thấy ở chữ số thập phân thứ mười. Ngoài ra, căn bậc nhất được sử dụng nếu cần tìm cạnh của một tam giác, với điều kiện là biết hai cạnh còn lại. Vâng, khi giải phương trình bậc hai, không có thoát khỏi việc trích xuất các căn. Cùng với các tác phẩm của người Babylon, chủ đề của bài báo cũng được nghiên cứu trong tác phẩm "Toán học trong chín cuốn sách" của Trung Quốc, và người Hy Lạp cổ đại đã đi đến kết luận rằng bất kỳ số nào mà từ gốc không bị rút ra thì không có phần dư đều cho kết quả vô tỉ. . Nguồn gốc của thuật ngữ này gắn liền với cách biểu diễn số trong tiếng Ả Rập: các nhà khoa học cổ đại tin rằng bình phương của một số tùy ý phát triển từ gốc, giống như một cái cây. Trong tiếng Latinh, từ này nghe giống như cơ số (người ta có thể theo dõi một mẫu - mọi thứ có tải ngữ nghĩa "gốc" đều là phụ âm, có thể là củ cải hoặc đau thần kinh tọa). Các nhà khoa học của các thế hệ tiếp theo đã tiếp thu ý tưởng này, đặt tên cho nó là Rx. Ví dụ, vào thế kỷ 15, để chỉ ra rằng căn bậc hai được lấy từ một số a tùy ý, họ đã viết R 2 a. Dấu “tick” √, quen thuộc với kiểu dáng hiện đại, chỉ xuất hiện vào thế kỷ 17 nhờ Rene Descartes. Ngày của chúng taVề mặt toán học, căn bậc hai của y là số z có bình phương là y. Nói cách khác, z 2 = y tương đương với √y = z. Tuy nhiên, định nghĩa này chỉ phù hợp với căn số học, vì nó ngụ ý một giá trị không âm của biểu thức. Nói cách khác, √y = z, trong đó z lớn hơn hoặc bằng 0. Nói chung, giá trị xác định một căn đại số, giá trị của một biểu thức có thể dương hoặc âm. Như vậy, do z 2 = y và (-z) 2 = y nên ta có: √y = ± z hay √y = | z |. Thực tế là tình yêu đối với toán học chỉ tăng lên theo sự phát triển của khoa học, gắn bó với nó có nhiều biểu hiện khác nhau chứ không thể hiện bằng những phép tính khô khan. Ví dụ, cùng với các sự kiện thú vị như ngày của số Pi, ngày lễ của căn bậc hai cũng được tổ chức. Chúng được kỷ niệm chín lần trong một trăm năm, và được xác định theo nguyên tắc sau: các con số biểu thị ngày và tháng theo thứ tự phải là căn bậc hai của năm. Vì vậy, thời gian tới ngày lễ này sẽ được tổ chức vào ngày 4 tháng 4 năm 2016. Tính chất của căn bậc hai trên trường RHầu hết tất cả các biểu thức toán học đều có cơ sở hình học, số phận này đã không vượt qua và √y, được định nghĩa là cạnh của một hình vuông có diện tích y. Làm thế nào để tìm gốc của một số?Có một số thuật toán tính toán. Đơn giản nhất, nhưng đồng thời cũng khá phức tạp, là phép tính số học thông thường, như sau: 1) từ số có gốc mà chúng ta cần, các số lẻ lần lượt bị trừ - cho đến khi phần dư của đầu ra nhỏ hơn số bị trừ một hoặc thậm chí bằng không. Số lần di chuyển cuối cùng sẽ trở thành số lượng mong muốn. Ví dụ, tính căn bậc hai của 25: Số lẻ tiếp theo là 11, số dư là: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769? Đối với những trường hợp như vậy, có một mở rộng chuỗi Taylor: √ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, trong đó n nhận các giá trị từ 0 đến + ∞ và | y | ≤1. Biểu diễn đồ thị của hàm z = √yXét một hàm cơ bản z = √y trên trường số thực R, trong đó y lớn hơn hoặc bằng không. Biểu đồ của cô ấy trông như thế này: Đường cong phát triển từ điểm gốc và nhất thiết phải đi qua điểm (1; 1). Tính chất của hàm z = √y trên trường số thực R1. Miền xác định của hàm đã xét là khoảng từ 0 đến cộng vô cùng (bao gồm cả 0). 2. Khoảng giá trị của hàm số đang xét là khoảng từ 0 đến cộng vô cùng (lại đưa thêm 0). 3. Hàm số nhận giá trị nhỏ nhất (0) duy nhất tại điểm (0; 0). Không có giá trị lớn nhất. 4. Hàm z = √y không chẵn cũng không lẻ. 5. Hàm số z = √y không tuần hoàn. 6. Có một giao điểm duy nhất của đồ thị hàm số z = √y với các trục tọa độ: (0; 0). 7. Giao điểm của đồ thị hàm số z = √y cũng là hoành độ của hàm số này. 8. Hàm z = √y liên tục tăng trưởng. 9. Hàm z = √y chỉ nhận các giá trị dương nên đồ thị của nó chiếm góc tọa độ thứ nhất. Các tùy chọn để hiển thị hàm z = √yTrong toán học, để thuận tiện cho việc tính toán các biểu thức phức tạp, đôi khi các em sử dụng dạng lũy thừa để viết căn bậc hai: √y = y 1/2. Tùy chọn này thuận tiện, chẳng hạn, trong việc nâng một hàm lên lũy thừa: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2. Phương pháp này cũng là một biểu diễn tốt để phân biệt với tích phân, vì nhờ nó mà căn bậc hai được biểu diễn bằng một hàm lũy thừa thông thường. Và trong lập trình, sự thay thế cho ký hiệu √ là sự kết hợp của các chữ cái sqrt. Cần lưu ý rằng trong lĩnh vực này, căn bậc hai rất được yêu cầu, vì nó là một phần của hầu hết các công thức hình học cần thiết cho các phép tính. Bản thân thuật toán đếm khá phức tạp và dựa trên đệ quy (một hàm gọi chính nó). Căn bậc hai trong trường phức CNói chung, chủ đề của bài báo này đã kích thích sự khám phá ra lĩnh vực số phức C, vì các nhà toán học bị ám ảnh bởi câu hỏi về việc lấy căn bậc chẵn từ một số âm. Đây là cách đơn vị tưởng tượng i xuất hiện, được đặc trưng bởi một tính chất rất thú vị: bình phương của nó là -1. Nhờ đó, phương trình bậc hai và với một phân biệt âm có một nghiệm. Trong C, đối với căn bậc hai, các thuộc tính tương tự có liên quan như trong R, điều duy nhất là các hạn chế đối với biểu thức căn được loại bỏ. Các công thức gốc. tính chất của căn bậc hai.Chú ý! Ở bài học trước, chúng ta đã tìm hiểu căn bậc hai là gì. Đã đến lúc tìm ra những gì là công thức cho rễ, là gì thuộc tính gốc và những gì có thể được thực hiện với tất cả. Công thức gốc, thuộc tính gốc và quy tắc cho hành động với rễ- về cơ bản nó giống nhau. Có rất ít công thức cho căn bậc hai một cách đáng ngạc nhiên. Mà, tất nhiên, làm hài lòng! Thay vào đó, bạn có thể viết rất nhiều loại công thức, nhưng chỉ ba công thức là đủ để làm việc thực tế và tự tin với gốc rễ. Mọi thứ khác đều chảy ra từ ba thứ này. Mặc dù nhiều người đi lạc trong ba công thức của rễ, có ... Hãy bắt đầu với những gì đơn giản nhất. Cô ấy đây rồi: Nếu bạn thích trang web này ...Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.) Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh tức thì. Học tập - với sự quan tâm!) bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm. |
