Phương trình 42−x−2−x=2 có bao nhiêu nghiệm?
Show
A. 1 Đáp án chính xác
B.2
C.3
D. 4
Xem lời giải Giải tích Các ví dụRút gọn cả hai vế của phương trình. Bấm để xem thêm các bước...Rút gọn mỗi số hạng. Bấm để xem thêm các bước...Viết lại ở dạng . Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, ta tách nhân tử bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương, với và . Rút gọn mẫu số. Bấm để xem thêm các bước...Viết lại ở dạng . Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, ta tách nhân tử bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương, với và . Nhân với . Kết hợp và rút gọn mẫu số. Bấm để xem thêm các bước...Nhân và . Nâng lên lũy thừa của . Nâng lên lũy thừa của . Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ. Cộng và . Viết lại ở dạng . Bấm để xem thêm các bước...Viết lại ở dạng . Áp dụng quy tắc mũ và nhân các số mũ với nhau, . Kết hợp và . Bỏ các thừa số chúng của . Bấm để xem thêm các bước...Bỏ thừa số chung. Chia cho . Rút gọn. Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, nhân với . Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là , bằng cách nhân từng biểu thức với một hệ số thích hợp của . Bấm để xem thêm các bước...Kết Hợp. Nhân với . Kết hợp các tử số trên mẫu số chung. Rút gọn tử số. Bấm để xem thêm các bước...Thừa số trong . Bấm để xem thêm các bước...Thừa số trong . Thừa số trong . Khai triển bằng cách sử dụng phương pháp FOIL. Bấm để xem thêm các bước...Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng lại. Bấm để xem thêm các bước...Rút gọn mỗi số hạng. Bấm để xem thêm các bước...Nhân với . Nhân với . Di chuyển sang phía bên trái của . Viết lại bằng cách sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân. Nhân với bằng cách cộng các số mũ. Bấm để xem thêm các bước...Di chuyển . Nhân với . Cộng và . Cộng và . Sắp xếp lại các số hạng. Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Viết lại ở dạng . Thừa số trong . Viết lại ở dạng . Di chuyển dấu âm ra phía trước của phân số. Sắp xếp lại các thừa số trong . Viết lại với các số mũ hữu tỉ. Bấm để xem thêm các bước...Nếu là một số nguyên dương lớn hơn và là số thực hoặc một thừa số, thì . Rút gọn biểu thức. Bấm để xem thêm các bước...Khai triển bằng cách sử dụng phương pháp FOIL. Bấm để xem thêm các bước...Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng lại. Bấm để xem thêm các bước...Rút gọn mỗi số hạng. Bấm để xem thêm các bước...Nhân với . Nhân với . Di chuyển sang phía bên trái của . Viết lại bằng cách sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân. Nhân với bằng cách cộng các số mũ. Bấm để xem thêm các bước...Di chuyển . Nhân với . Cộng và . Cộng và . Áp dụng thuộc tính phân phối. Rút gọn biểu thức. Bấm để xem thêm các bước...Di chuyển sang phía bên trái của . Sắp xếp lại các thừa số trong . Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, nhân với . Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là , bằng cách nhân từng biểu thức với một hệ số thích hợp của . Bấm để xem thêm các bước...Kết Hợp. Nhân với . Kết hợp các tử số trên mẫu số chung. Rút gọn mỗi số hạng. Bấm để xem thêm các bước...Rút gọn tử số. Bấm để xem thêm các bước...Thừa số trong . Bấm để xem thêm các bước...Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Khai triển bằng cách sử dụng phương pháp FOIL. Bấm để xem thêm các bước...Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng lại. Bấm để xem thêm các bước...Rút gọn mỗi số hạng. Bấm để xem thêm các bước...Nhân với . Nhân với . Di chuyển sang phía bên trái của . Viết lại bằng cách sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân. Nhân với bằng cách cộng các số mũ. Bấm để xem thêm các bước...Di chuyển . Nhân với . Cộng và . Cộng và . Áp dụng thuộc tính phân phối. Di chuyển sang phía bên trái của . Viết lại bằng cách sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân. Nhân với bằng cách cộng các số mũ. Bấm để xem thêm các bước...Di chuyển . Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ. Cộng và . Sắp xếp lại các số hạng. Viết lại ở dạng đã được phân tích nhân tử. Bấm để xem thêm các bước...Viết lại ở dạng . Giả sử . Thay thế cho tất cả các lần xuất hiện của . Thừa số bằng cách nhóm. Bấm để xem thêm các bước...Đối với đa thức có dạng , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là và có tổng là . Bấm để xem thêm các bước...Thừa số trong . Viết lại ở dạng cộng Áp dụng thuộc tính phân phối. Rút nhân tử chung là ước chung lớn nhất ra ngoài từ mỗi nhóm. Bấm để xem thêm các bước...Nhóm hai số hạng đầu và hai số hạng cuối lại. Rút nhân tử chung là ước chung lớn nhất (ƯCLN) ra ngoài từ mỗi nhóm. Phân tích nhân tử đa thức bằng cách rút nhân tử chung là ước chung lớn nhất ra ngoài, . Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với . Kết hợp các số mũ. Bấm để xem thêm các bước...Thừa số trong . Viết lại ở dạng . Thừa số trong . Viết lại ở dạng . Nâng lên lũy thừa của . Nâng lên lũy thừa của . Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ. Cộng và . Tách dấu trừ ra ngoài. Di chuyển dấu âm ra phía trước của phân số. Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, nhân với . Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là , bằng cách nhân từng biểu thức với một hệ số thích hợp của . Bấm để xem thêm các bước...Kết Hợp. Nhân với . Kết hợp các tử số trên mẫu số chung. Rút gọn tử số. Bấm để xem thêm các bước...Thừa số trong . Bấm để xem thêm các bước...Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Khai triển bằng cách sử dụng phương pháp FOIL. Bấm để xem thêm các bước...Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng lại. Bấm để xem thêm các bước...Rút gọn mỗi số hạng. Bấm để xem thêm các bước...Nhân với . Nhân với . Di chuyển sang phía bên trái của . Viết lại bằng cách sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân. Nhân với bằng cách cộng các số mũ. Bấm để xem thêm các bước...Di chuyển . Nhân với . Cộng và . Cộng và . Áp dụng thuộc tính phân phối. Di chuyển sang phía bên trái của . Viết lại bằng cách sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân. Nhân với bằng cách cộng các số mũ. Bấm để xem thêm các bước...Di chuyển . Nhân với . Bấm để xem thêm các bước...Nâng lên lũy thừa của . Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ. Cộng và . Viết lại ở dạng . Sắp xếp lại các số hạng. Rút gọn bằng cách đưa các nhân tử chung ra ngoài. Bấm để xem thêm các bước...Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Rút gọn biểu thức. Bấm để xem thêm các bước...Viết lại ở dạng . Di chuyển dấu âm ra phía trước của phân số. Rút gọn mỗi số hạng. Bấm để xem thêm các bước...Viết lại ở dạng . Khai triển bằng cách sử dụng phương pháp FOIL. Bấm để xem thêm các bước...Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng lại. Bấm để xem thêm các bước...Rút gọn mỗi số hạng. Bấm để xem thêm các bước...Nhân với bằng cách cộng các số mũ. Bấm để xem thêm các bước...Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ. Cộng và . Di chuyển sang phía bên trái của . Nhân với . Trừ từ . Sắp xếp lại các số hạng. Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của mỗi số hạng trong phương trình. Bấm để xem thêm các bước...Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó. BCNN là số nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó. 1. Liệt kê các thừa số nguyên tố cho từng số. Nhân mỗi nhân tử với số lần xuất hiện nhiều nhất ở một trong các số. Số không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó. Không phải là số nguyên tố BCNN của là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số. Thừa số cho là chính nó . xảy ra lần. Thừa số cho là chính nó . xảy ra lần. BCNN của là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng. Nhân mỗi số hạng với và rút gọn. Bấm để xem thêm các bước...Nhân mỗi số hạng trong với để loại bỏ tất cả các mẫu số từ phương trình. Rút gọn vế trái của phương trình bằng việc loại bỏ những nhân tử chung. Bấm để xem thêm các bước...Bỏ các thừa số chúng của . Bấm để xem thêm các bước...Di chuyển dấu âm đầu tiên trong vào tử số. Bỏ thừa số chung. Viết lại biểu thức. Áp dụng thuộc tính phân phối. Rút gọn. Bấm để xem thêm các bước...Viết lại bằng cách sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân. Viết lại bằng cách sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân. Nhân với . Rút gọn mỗi số hạng. Bấm để xem thêm các bước...Nhân với . Nhân với . Sắp xếp lại các thừa số trong . Rút gọn . Bấm để xem thêm các bước...Khai triển bằng cách sử dụng phương pháp FOIL. Bấm để xem thêm các bước...Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Áp dụng thuộc tính phân phối. Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng lại. Bấm để xem thêm các bước...Rút gọn mỗi số hạng. Bấm để xem thêm các bước...Nhân với . Nhân với . Di chuyển sang phía bên trái của . Viết lại bằng cách sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân. Nhân với bằng cách cộng các số mũ. Bấm để xem thêm các bước...Di chuyển . Nhân với . Cộng và . Cộng và . Nhân với . Giải phương trình. Bấm để xem thêm các bước...Thừa số trong . Bấm để xem thêm các bước...Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Thừa số trong . Đặt bằng và giải để tìm . Bấm để xem thêm các bước...Đặt nhân tử bằng . Trừ từ cả hai vế của phương trình. Nhân mỗi số hạng trong với Bấm để xem thêm các bước...Nhân mỗi số hạng trong với . Nhân . Bấm để xem thêm các bước...Nhân với . Nhân với . Nhân với . Lấy căn bậc của cả hai vế của để loại bỏ số mũ ở vế trái. Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án. Bấm để xem thêm các bước...Rút gọn vế phải của phương trình. Bấm để xem thêm các bước...Viết lại ở dạng . Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương. Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án. Bấm để xem thêm các bước...Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của để tìm đáp án đầu tiên. Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của để tìm đáp án thứ hai. Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án. Đặt bằng và giải để tìm . Bấm để xem thêm các bước...Đặt nhân tử bằng . Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. Nghiệm là giá trị x của giao điểm. Đáp án là kết quả của và . Loại bỏ đáp án mà không làm cho đúng. Không có đáp án Phương trình căn (2x) + căn (x - 2) = căn (2 - x) + 2 có bao nhiêu nghiệm?Câu 10981 Vận dụng Phương trình $\sqrt {2x} + \sqrt {x - 2} = \sqrt {2 - x} + 2$ có bao nhiêu nghiệm? Đáp án đúng: b Phương pháp giải - Tìm ĐKXĐ của phương trình. - Từ ĐKXĐ suy ra tập nghiệm của phương trình Đại cương về phương trình --- Xem chi tiết ...Phương trình (căn 2 (x^4) - 2( (căn 2 + căn 3 ) )(x^2) + căn (12) = 0 )Câu 11160 Vận dụng Phương trình \(\sqrt 2 {x^4} - 2\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right){x^2} + \sqrt {12} = 0\) Đáp án đúng: d Phương pháp giải - Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)\) đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn \(t\) - Giải phương trình bậc hai với ẩn \(t\) rồi suy ra đáp số. Phương pháp giải phương trình bậc ba, bậc bốn đặc biệt --- Xem chi tiết ...Mục lục
Giải phương trình bậc haiSửa đổiHình 1. Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c với mỗi hệ số biến đổi trong khi các hệ số khác giữ nguyên tại giá trị a=1, b=0, c=0. Ví dụ, đồ thị bên phải là của hàm số y = ax2 (b = c = 0 không đổi) ứng với các giá trị a thay đổi là −4/3, −1/2, 0, 1/3, và 3/2 (màu sắc tương ứng); tương tự đồ thị ở giữa là của hàm số y = x2 + bx và đồ thị bên trái là của hàm số y = x2 + c. Một phương trình bậc hai với các hệ số thực hoặc phức có hai đáp số, gọi là các nghiệm. Hai nghiệm này có thế phân biệt hoặc không, và có thể là thực hoặc không. Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm traSửa đổiPhương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có thể viết được thành (px + q)(rx + s) = 0. Trong một vài trường hợp, điều này có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn giản để xác định các giá trị p, q, r, và s sao cho phù hợp với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu px + q = 0 hoặc rx + s = 0. Giải hai phương trình bậc nhất này ta sẽ tìm ra được nghiệm. Với hầu hết học sinh, phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậc hai đầu tiên mà họ được tiếp cận.[2]:202–207 Nếu phương trình bậc hai ở dạng x2 + bx + c = 0 (a = 1) thì có thể tìm cách phân tích vế trái thành (x + q)(x + s), trong đó q và s có tổng là -b và tích là c (đây đôi khi được gọi là "quy tắc Viet"[3]) Ví dụ, x2 + 5x + 6 viết thành (x + 3)(x + 2). Trường hợp tổng quát hơn khi a ≠ 1 đòi hỏi nỗ lực lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằng hoàn toàn có thể làm được như vậy. Trừ những trường hợp đặc biệt như khi b = 0 hay c = 0, phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là đa phần các phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này.[2]:207 Phần bù bình phươngSửa đổiHình 2. Đồ thị hàm số bậc hai y = x2 − x − 2. Các hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành x = −1 và x = 2 là nghiệm của phương trình bậc hai x2 − x − 2 = 0. Trong quá trình hoàn thành bình phương ta sử dụng hằng đẳng thức: một thuật toán rạch ròi có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.[2]:207 Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát ax2 + bx + c = 0
Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán này. Giải phương trình 2x2 + 4x − 4 = 0 αx² + bx + c = 0 αx² + bx = -c x² + bx⁄α = -c⁄α x² + bx⁄α + (b⁄2α)² = -c⁄α + (b⁄2α)² (x + b/2α)² = -c/α + b²/4α² (x + b/2α)² = (b² - 4αc)⁄4α² x + b/2α = ±√(b² - 4αc)⁄±√4α² x + b/2α = ±√(b² - 4αc)⁄2a x = (-b ± √(b² - 4αc))⁄2α Đây là lời giải. Dấu cộng-trừ "±" biểu thị rằng cả x = −1 + √3 và x = −1 − √3 đều là nghiệm của phương trình.[4] Công thức nghiệmSửa đổiCó thể áp dụng phương pháp phần bù bình phương để rút ra một công thức tổng quát cho việc giải phương trình bậc hai, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai.[5] Giờ là phần chứng minh tóm tắt.[6] Bằng khai triển đa thức, dễ thấy phương trình dưới đây tương đương với phương trình đầu: Lấy căn bậc hai của hai vế rồi chuyển x về một bên, ta được: Một số nguồn tài liệu, đặc biệt là tài liệu cũ, sử dụng tham số hóa phương trình bậc hai thay thế như ax2 + 2bx + c = 0 hoặc ax2 − 2bx + c = 0,[7] ở đây b có độ lớn bằng một nửa và có thể mang dấu ngược lại. Các dạng nghiệm là hơi khác, còn lại thì tương đương. Còn một số cách rút ra công thức nghiệm có thể tìm thấy trong tài liệu. Các cách chứng minh này là đơn giản hơn phương pháp phần bù bình phương tiêu chuẩn. Một công thức ít phổ biến hơn, như dùng trong phương pháp Muller và có thể tìm được từ công thức Viet: Một tính chất của công thức này là khi a = 0 nó sẽ cho ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn lại có chứa phép chia cho 0, bởi khi a = 0 thì phương trình bậc hai sẽ chuyển về bậc nhất có một nghiệm. Ngược lại, công thức phổ biến chứa phép chia cho 0 ở cả hai trường hợp. Phương trình bậc hai rút gọnSửa đổiViệc rút gọn phương trình bậc hai để cho hệ số lớn nhất bằng một đôi khi là tiện lợi. Cách làm là chia cả hai vế cho a, điều này luôn thực hiện được bởi a khác 0, ta được phương trình bậc hai rút gọn:[8] trong đó p = b/a và q = c/a. Công thức nghiệm của phương trình này là: Biệt thứcSửa đổiHình 3. Ảnh hưởng của dấu của biệt thức đến số nghiệm [thực] của phương trình bậc hai. Khi Δ > 0, đường parabol cắt trục hoành tại hai điểm; Δ = 0, đỉnh của parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất; Δ < 0, parabol không giao trục hoành tại bất kỳ điểm nào. (đường parabol là đồ thị của hàm số bậc hai) Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là biệt thức và thường được biểu diễn bằng chữ D hoa hoặc chữ delta hoa (Δ) trong bảng chữ cái Hy Lạp:[9] Ngoài ra, với b = 2b' thì ta có biệt thức thu gọn: với Δ = 4Δ'Phương trình bậc hai với các hệ số thực có thể có một hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức phân biệt. Trong trường hợp này biệt thức quyết định số lượng và bản chất của nghiệm. Có ba trường hợp:
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ khác 0, có nghiệm thực khi và chỉ khi Δ không âm (Δ ≥ 0) . Diễn giải bằng hình họcSửa đổiHàm số f(x) = ax2 + bx + c là hàm số bậc hai.[11] Đồ thị của bất kỳ hàm bậc hai nào cũng đều có một dạng chung được gọi là parabol. Vị trí, hình dạng, kích cỡ của parabol phụ thuộc vào giá trị của a, b, và c. Nếu a > 0, prabol có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên; nếu a < 0, parabol có một điểm cực đại và bề lõm hướng xuống dưới (xem hình 1, a). Cực điểm của parabol ứng với đỉnh của nó; điểm này có hoành độ , tính x rồi thế vào hàm số ta sẽ tìm được giá trị tung độ. Đồ thị giao trục tung tại điểm có tọa độ (0, c). Các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 tương ứng là các nghiệm của hàm số f(x) = ax2 + bx + c bởi chúng là những giá trị của x để cho f(x) = 0. Nếu a, b, và c là những số thực và miền xác định của hàm f là tập hợp số thực thì nghiệm của f là hoành độ của giao/tiếp điểm của đồ thị với trục hoành (xem hình 3). Nhân tử hóa đa thức bậc haiSửa đổiBiểu thức là nhân tử của đa thức khi và chỉ khi r là một nghiệm của phương trình bậc hai Từ công thức nghiệm ta có Trong trường hợp đặc biệt b2 = 4ac (hay Δ = 0) phương trình chỉ có một nghiệm phân biệt, có thể nhân tử hóa đa thức bậc hai thành |
