Câu hỏi: Từ các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
A. 124.
B. 120.
C. 136.
D. 132.
Lời giải Số cần lập là $\overline{abcd}$ chia hết cho 15 khi và chỉ khi vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5.
$\overline{abcd}\vdots 5\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& d=0 \\
& d=5 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi $d=0$, các số còn lại được phân thành ba nhóm:
Các số chia cho 3 dư 1: $\left\{ 1,4,7 \right\}$ ; chia cho 3 dư 2: $\left\{ 2,\text{ 5}\text{, }8 \right\}$ ; chia cho 3 dư 0: $\left\{ 9 \right\}$.
Ta có $\overline{abc0}\vdots 15\Leftrightarrow a+b+c\vdots 3$. Khi đó xảy ra một trong các trường hợp:
+ $a$, $b$, $c$ là một hoán vị của 1, 4, 7
+ $a$, $b$, $c$ là một hoán vị của 2, 5, 8
+ $a$, $b$, $c$ là một hoán vị của $x$, $y$, $z$ với $x\in \left\{ 1 , 4 , 7 \right\}$ ; $y\in \left\{ 2 , 5 , 8 \right\}$ và $z=9$.
Vậy khi $d=0$ ta có $\left( 1+1+3.3.1 \right).3!=66$ số.
Khi $d=5$. Các số còn lại được phân thành ba nhóm:
Các số chia cho 3 dư 1: $\left\{ 1 ; 4 ; 7 \right\}$ ; chia cho 3 dư 2: $\left\{ 2,8 \right\}$ ; chia cho 3 dư 0: $\left\{ 0,9 \right\}$.
Ta có $\overline{abc5}\vdots 15$ khi và chỉ khi $a\ne 0$ và $a+b+c$ chia cho $3$ dư $1$. Xét các trường hợp:
* $b=0$ thì $a$, $c$ phải là hoán vị của $x$, $y$ ; trong đó $\left\{ x ; y \right\}=\left\{ 2 ; 8 \right\}$ hoặc $x=9$ ; $y\in \left\{ 1 ; 4 ; 7 \right\}$. Trường hợp này có $(1+3).2!=8$ số.
* $c=0$, tương tự ta có $8$ số.
* $a$, $b$ và $c$ đều khác $0$. Khi đó xảy ra một trong các trường hợp:
+ $a$, $b$, $c$ là một hoán vị của 2, 8, 9
+ $a$, $b$, $c$ là một hoán vị của $x$, $y$, $z$ với $\left\{ x,y \right\}\subset \left\{ 1,4,7 \right\}$ và $z\in \left\{ 2,8 \right\}$.
Trường hợp này có $\left( 1+C_{3}^{2}.C_{2}^{1} \right)3!=42$ số.
Vậy khi $d=5$ ta có $8+8+42=58$ số.
Tổng cộng ta lập được: $66+58=124$ số thỏa điều kiện bài toán. Đáp án A. Phương pháp giải: - Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5. - Xét các trường hợp sau: TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \). + \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\). + \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\). + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2. TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \). + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1. + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3. + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2. Lời giải chi tiết: Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5. \( \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\). TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \). Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c\,\, \vdots \,\,3\). Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {0;9} \right\}\,\, \equiv \,\,3\left( {\bmod 0} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right)\\\left\{ {2;8} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right)\end{array} \right.\) adsense Câu hỏi:
Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
A. 124
B. 132
C. 136
D. 120
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm. Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(
\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\) Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.⇒ d∈{0;5} TH1: d=0, số cần tìm có dạng \(
\overline {abc0}\) Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c⋮3 Ta có các nhóm: \(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\{ 2;5;8\} \equiv 3(mod2)\\
\{ 9 \equiv 3(mod0)\\
\{ 1;4;7\} \equiv 3(mod1)
\end{array} \right.\\
a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\bmod 1} \right) \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {1;4;7} \right\}
\end{array}\) ⇒ Có 3! cách chọn. +) \(
a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\)⇒ Có 3! cách chọn. + Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2. ⇒ Có\(
1.C_3^1.C_3^1.3!\) cách chọn ⇒ Có \(
3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\) số adsense TH2: d=5, số cần tìm có dạng \(
\overline {abc5} \) Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c+5⋮3, trong đó 5≡3(mod2) Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}
\{ 0;9\} \equiv 3(mod0)\\
\{ 1;4;7\} \equiv 3(mod1)\\
\{ 2;8\} \equiv 3(mod2)
\end{array} \right.\) + Trong 3 số a,b,c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1. ⇒ Có \(
C_3^1.3! – C_1^3.2! = 12\) cách chọn. + Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3. ⇒ Có \(C^1_2.3!−2!=10\) cách chọn. + Trong 3 số a,b,ccó 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2 ⇒ Có \(C^2_3.C^1_2.3!=36\) cách chọn. Vậy có tất cả 66+12+10+36=124 số thỏa mãn =============== ====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp | 
