Toán cấp 2 gửi tới các em một số bài bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các dạng đã được học ở bài Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Show
Ứng dụng :Tính nhanh, giải các bài toán về tìm x, giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức.
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chungPhương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó. A + B = C.A1 + C.B1 = C(A1 + B1) Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử. a) 20x – 5y e) 4x2y – 8xy2 + 10x2y2 b) 5x(x – 1) – 3x(x – 1) g) 20x2y – 12x3 c) x(x + y) – 6x – 6y h) 8x4 + 12x2y4 – 16x3y4 d) 6x3 – 9x2 k) 4xy2 + 8xyz Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a) 3x(x +1) – 5y(x + 1) h) 3x3(2y – 3z) – 15x(2y – 3z)2 b) 3x(x – 6) – 2(x – 6) k) 3x(z + 2) + 5(-x – 2) c) 4y(x – 1) – (1 – x) l) 18x2(3 + x) + 3(x + 3) d) (x – 3)3 + 3 – x m) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 e) 7x(x – y) – (y – x) n) 10x(x – y) – 8y(y – x) Bài toán 3 : Tìm x biết. a) 4x(x + 1) = 8(x + 1) g) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0 b) x(x – 1) – 2(1 – x) = 0 h) x2 – 4x = 0 c) 2x(x – 2) – (2 – x)2 = 0 k) (1 – x)2 – 1 + x = 0 d) (x – 3)3 + 3 – x = 0 m) x + 6x2 = 0 e) 5x(x – 2) – (2 – x) = 0 n) (x + 1) = (x + 1)2 Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thứcPhương pháp : Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung. Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 4x2 – 1 b) 25x2 – 0,09 c) 9x2 –$ \displaystyle \frac{1}{4}$ d) (x – y)2 – 4 e) 9 – (x – y)2 f) (x2 + 4)2 – 16x2 Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x4 – y4 b) x2 – 3y2 c) (3x – 2y)2 – (2x – 3y)2 d) 9(x – y)2 – 4(x + y)2 e) (4x2 – 4x + 1) – (x + 1)2 f) x3 + 27 g) 27x3 – 0,001 h) 125x3 – 1 Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a) x4 + 2x2 + 1 b) 4x2 – 12xy + 9y2 c) -x2 – 2xy – y2 d) (x + y)2 – 2(x + y) + 1 e) x3 – 3x2 + 3x – 1 g) x3 + 6x2 + 12x + 8 h) x3 + 1 – x2 – x k) (x + y)3 – x3 – y3 Bài toán 4 : Tìm x biết. a) 4x2 – 49 = 0 b) x2 + 36 = 12x c) $ \displaystyle \frac{1}{16}$x2 – x + 4 = 0 d) x3 -3√3x2 + 9x – 3√3 = 0 Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tửBài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a) x2 – x – y2 – y b) x2 – 2xy + y2 – z2 c) 5x – 5y + ax – ay d) a3 – a2x – ay + xy e) 4x2 – y2 + 4x + 1 f) x3 – x + y3 – y Bài toán 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 10(- y) – 8y(y – ) b) 2y + 3z + 6y + y Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – y2 – 2x + 2y b) 2x + 2y – x2 – xy c) 3a2 – 6ab + 3b2 – 12c2 d) x2 – 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 – ac – bc f) x2 – 2x – 4y2 – 4y g) x2y – x3 – 9y + 9x h) x2(x -1) + 16(1- x) Dạng 4 : Phương pháp thêm, bớt một hạng tửVí dụ : a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 – 16y2 = (y2 + 8)2 – (4y)2 = (y2 + 8 – 4y)(y2 + 8 + 4y) b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 – 4x = (x + 2)2 – 4x = (x + 2)2 – $ \displaystyle {{\left( 2\sqrt{x} \right)}^{2}}$ = $ \displaystyle \left( x-2\sqrt{x}+2 \right)\left( x+2\sqrt{x}+2 \right)$ Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử: a) x4 + 16 b) x4y4 + 64 c) x4y4 + 4 d) 4x4y4 + 1 e) x4 + 1 f) x8 + x + 1 g) x8 + x7 + 1 h) x8 + 3x4 + 1 k) x4 + 4y4 Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử : a) a2 – b2 – 2x(a – b) b) a2 – b2 – 2x(a + b) Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x4y4 + 4 b) 4x4 + 1 c) 64x4 + 1 d) x4 + 64 Dạng 5 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương cách phối hợp nhiều phương phápBài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử : a) 16x4(x – y) – x + y b) 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy c) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) Bài toán 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 16x3 – 54y3 b) 5x2 – 5y2 c) 16x3y + yz3 d) 2x4 – 32 Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 4x – 4y + x2 – 2xy + y2 b) x4 – 4x3 – 8x2 + 8x c) x3 + x2 – 4x – 4 d) x4 – x2 + 2x – 1 e) x4 + x3 + x2 + 1 f) x3 – 4x2 + 4x – 1 Bài toán 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x3 + x2y – xy2 – y3 b) x2y2 + 1 – x2 – y2 c) x2 – y2 – 4x + 4y d) x2 – y2 – 2x – 2y e) x2 – y2 – 2x – 2y f) x3 – y3 – 3x + 3y Bài toán 5 : Tìm x, biết. a) x3 – x2 – x + 1 = 0 b) (2x3 – 3)2 – (4x2 – 9) = 0 c) x4 + 2x3 – 6x – 9 = 0 d) 2(x + 5) – x2 – 5x = 0 Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a) A = x2 – x + 1 d) D = x2 + y2 – 4(x + y) + 16 b) B = 4x2 + y2 – 4x – 2y + 3 e) E = x2 + 5x + 8 c) C = x2 + x + 1 g) G = 2x2 + 8x + 9 Bài toán 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : a) A = -4x2 – 12x b) B = 3 – 4x – x2 c) C = x2 + 2y2 + 2xy – 2y d) D = 2x – 2 – 3x2 e) E = 7 – x2 – y2 – 2(x + y) Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. Chính vì vậy trong bài viết hôm nay Download.vn xin giới thiệu đến các bạn phương pháp giải và một số bài tập kèm theo. Hi vọng qua tài liệu này các bạn nhanh chóng biết cách giải các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử. Phân tích đa thức thành nhân tử1. Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Ví dụ: a) 2x2+ 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3) b) x - 2  = = ( II. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tửa) Phương pháp đặt nhân tử chung: Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác. Công thức: AB + AC = A(B + C) Ví dụ: 1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2) 2. 3x + 12 b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức. *Những hằng đẳng thức đáng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A + B)(A - B) (A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3 A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) c) Phương pháp nhóm hạng tử: Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. Ví dụ: 1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2– 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y) = (x – 2y)(x + 5) 2. x - 3+ y – 3y = (x - 3) + (y – 3y) = ( - 3) + y( - 3)= (- 3)( + y) d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm) Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c () nếu Ví dụ: a) 2x2-3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1) e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử: Ví dụ: a) y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2 = (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y) b) x2+ 4 = x2+ 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x = (x + 2)2 - = f. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ: a) a3-a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b) =(a - b) (a2 - b2) = (a - b) (a - b) (a + b) = (a - b)2(a + b) III. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tửBài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 14x2– 21xy2+ 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2) b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x) c) x2+ 4x – y2+ 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y) Bài 2: Giải phương trình sau : 2(x + 3) – x(x + 3) = 0 Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)8x3+ 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) b) x2+ 5x -6 = x2 + 6x - x - 6 = x(x + 6) - (x + 6) = (x + 6)(x - 1) c. a4 + 16 = a4+ 8a2 + 16 - 8a2 = (a2 + 4)2 - (a)2 = (a2 + 4 +a)( a2 + 4 - a) Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a) (x5+ x3+ x2 + 1):(x3 + 1) b) (x2-5x + 6):(x - 3) Giải: a) Vì x5+ x3+ x2 + 1 = x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1) nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1) b)Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2) nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2) Bài 5 Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: Giải: nên nên Bài 6 IV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tửBài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2- y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2- 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2+ 2ab + b2 - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3- 9y + 9x h) x2(x -1) + 16(1- x) Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x) 2) 3(x+ 4) – x2 – 4x 3) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y 4) x2 – xy + x – y 5) ax – bx – a2 + 2ab – b2 \ 6) x2 + 4x – y2 + 4 7) x3 – x2 – x + 1 8) x4 + 6x2y + 9y2 - 1 9) x3 + x2y – 4x – 4y 10) x3 – 3x2 + 1 – 3x 11) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2 12) x2 – 2x – 15 13) 2x2 + 3x – 5 14) 2x2 – 18 15) x2 – 7xy + 10y2 16) x3 – 2x2 + x – xy2 Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. x2+ 2xy – 8y2+ 2xz + 14yz – 3z2 2. 3x2– 22xy – 4x + 8y + 7y2+ 1 3. 12x2+ 5x – 12y2+ 12y – 10xy – 3 4. 2x2– 7xy + 3y2+ 5xz – 5yz + 2z2 5. x2+ 3xy + 2y2+ 3xz + 5yz + 2z2 6. x2– 8xy + 15y2+ 2x – 4y – 3 7. x4– 13x2+ 36 8. x4+ 3x2– 2x + 3 9. x4+ 2x3+ 3x2 + 2x + 1 Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1. (a – b)3+ (b – c)3+ (c – a)3 2. (a – x)y3– (a – y)x3– (x – y)a3 3. x(y2– z2) + y(z2– x2) + z(x2 – y2) 4. (x + y + z)3– x3– y3 – z3 5. 3x5– 10x4– 8x3 – 3x2 + 10x + 8 6. 5x4+ 24x3– 15x2 – 118x + 24 7. 15x3+ 29x2– 8x – 12 8. x4– 6x3+ 7x2 + 6x – 8 9. x3+ 9x2+ 26x + 24 Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. a(b + c)(b2– c2) + b(a + c)(a2– c2) + c(a + b)(a2 – b2) 2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) 3. a(b2– c2) – b(a2– c2) + c(a2 – b2) 4. (x – y)5+ (y – z)5+ (z – x)5 5. (x + y)7– x7– y7 6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc 7. (x + y + z)5– x5– y5 – z5 8. a(b2+ c2) + b(c2+ a2) + c(a2 + b2) + 2abc 9. a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b) 10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1 Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. (x2+ x)2+ 4x2 + 4x – 12 2. (x2+ 4x + 8)2+ 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 3. (x2+ x + 1)(x2+ x + 2) – 12 4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 5. (x2+ 2x)2+ 9x2 + 18x + 20 6. x2– 4xy + 4y2– 2x + 4y – 35 7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 8. (x2+ x)2+ 4(x2 + x) – 12 9. 4(x2+ 15x + 50)(x2+ 18x + 72) – 3x2 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử.
|
