- 1. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÕNG ----- NGUYỄN ĐỔNG CHI TÍNH TOÁN DẦM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP MÃ SỐ: 60.58.02.08 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS. TRẦN HỮU NGHỊ Hải Phòng, 2017
- 2. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU...........................................................................................Error! Bookmark not defined. CHƢƠNG 1: PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN - CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VÀ PHƢƠNG TRÌNH EULER................................................................................2 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN [ 2].................................................................2 1.2.CỰC TRỊ CỦA PHIẾM HÀM - PHƢƠNG TRÌNH EULER. [ 2,3,12,13]....3 1.3. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN - PHƢƠNG PHÁP THỪA SỐ LAGRANGE..........................................................................................................5 I.4. PHƢƠNG PHÁP TRỰC TIẾP TRONG BÀI TOÁN BIẾN PHÂN............5 PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA EULER [ 13]............................5 CHƢƠNG 2: CÁC PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG BÀI TOÁN CƠ HỌC CÔNG TRÌNH......................................................................................................8 2.1. CÁC PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG BÀI TOÁN CƠ HỌC CÔNG TRÌNH 8 2.1.1. PHƢƠNG PHÁP XÉT CÂN BẰNG PHÂN TỐ........................................8 2.1.2. CÁC PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN NĂNG LƢỢNG...........................15 2.1.2.1.Nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu [5,tr60].......................................16 2.1.2.2. Nguyên lý công bù cực đại [5,tr62] ........................................................17 2.1.3. NGUYÊN LÝ CHUYỂN VỊ ẢO [12].......................................................19 2.1.4. PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE [1,12] ...................................................22 2.2. DÙNG BIẾN PHÂN DỰA TRÊN NGUYÊN LÝ CHUYỂN VỊ ẢO ĐỂ ĐƢA RA ĐIỀU KIỆN BIÊN CỦA TẤM CHỮ NHẬT CHỊU UỐN .........................24 CHƢƠNG 3: PHƢƠNG PHÁP MỚI TÍNH DẦM HỮU HẠN TRÊN NỀN ĐÀN HỒI ............................................................................................................30 3.1. GIỚI THIỆU LỜI GIẢI DẦM DÀI VÔ HẠN TRÊN NỀN ĐÀN HỒI ......30 3.2. PHƢƠNG PHÁP MỚI TÍNH DẦM HỮU HẠN TRÊN NỀN ĐÀN HỒI . 32 3.3. MỘT VÀI VÍ DỤ..........................................................................................34 KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN...............................................................................50 2
- 3. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO CHÍNH...................................................................51 PHỤ LỤC TÍNH TOÁN....................................................................................52 3
- 4. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS. TS. NGƢT. Trần Hữu Nghị, đã hƣớng dẫn và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tác giả hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn toàn thể quý Thầy Cô trong Khoa xây dựng của Trƣờng Đại Học Dân lập Hải Phòng đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng nhƣ tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và cho đến khi thực hiện đề tài luận văn này. Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng cảm ơn đến các anh chị và các bạn đồng nghiệp đã hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và cung cấp những tài liệu cũng nhƣ những góp ý quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn! Hải Phòng, tháng 4 năm 2017 Tác giả Nguyễn Đổng Chi 4
- 5. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 LỜI CAM ĐOAN Họ và tên học viên: Nguyễn Đổng Chi Ngày sinh: 18/7/1981 Mã số: 60.58.02.08 Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của bản thân tôi, các số liệu nêu trong Luận văn là trung thực. Những kiến nghị đề xuất trong Luận văn là của cá nhân không sao chép của bất kỳ tác giả nào. Nguyễn Đổng Chi 5
- 6. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 MỞ ĐẦU Bài toán kết cấu dầm trên nền đàn hồi có tầm quan trọng đặc biệt trong lĩnh vực cơ học công trình, đòi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm. Vấn đề nội lực và chuyển vị của kết cấu dầm trên nền đàn hồi đƣợc nhiều nhà khoa học trong và ngoài nƣớc quan tâm nghiên cứu theo nhiều hƣớng khác nhau. Tựu chung lại, phƣơng pháp gồm: Phƣơng trình vi phân cân bằng phân tố; Phƣơng pháp năng lƣợng; Phƣơng pháp nguyên lý công ảo và Phƣơng pháp sử dụng trực tiếp Phƣơng trình Lagrange. Trong các tài liệu có trình bày cách tính dầm trên nền đàn hồi và đã giải quyết bài toán dầm vô hạn trên nền đàn hồi, dầm bán vô hạn trên nền đàn hồi, dầm hữu hạn trên nền đàn hồi với mô hình nền Winkler. Bài toán dầm dài hữu hạn đƣợc giải theo phƣơng pháp thông số ban đầu. Đối tƣợng, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, dựa trên nguyên lý chuyển vị ảo và nguyên lý giải phóng liên kết tác giả đƣa ra phƣơng pháp để tính dầm hữu hạn đặt trên nền đàn hồi dựa trên kết quả của dầm vô hạn đặt trên nền đàn hồi. Mục đích nghiên cứu của đề tài “Xác định nội lực và chuyển vị của dầm hữu hạn trên nền đàn hồi” Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài - Tìm hiểu và giới thiệu các phƣơng pháp chung nhất để xây dựng và giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay. - Trình bày các định nghĩa cơ bản của phép tính biến phân và phƣơng trình EuLer của phép tính biến phân - Sử dụng nguyên lý chuyển vị ảo và tƣ tƣởng giải phóng liên kết, trình bày phƣơng pháp tính dầm hữu hạn trên nền đàn hồi. - Lập chƣơng trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên. 1
- 7. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 CHƢƠNG 1 PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN - CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VÀ PHƢƠNG TRÌNH EULER Các vấn đề về phép tính biến phân rất phong phú, trong luận văn chỉ trình bày các khái niệm cơ bản ; phƣơng trình EuLer và bài toán cực trị có ràng buộc (phƣơng pháp thừa số lagrange). Đây là những vấn đề cần thiết dùng trong luận văn. 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN [ 2] Biến phâny của hàm y(x) của biến độc lập x là một hàm của x đƣợc xác định tại mỗi giá trị của x và bằng hiệu của một hàm mới Y(x) và hàm đã có y(x): y Y ( x ) y ( x) .y gây ra sự thay đổi quan hệ hàm giữa y và x và không đƣợc nhầm lẫn với số giay khi có số giax. Nếu cho hàm F y1 ( x), y2 ( x),.. yn ( x); x thì số gia của hàm đó khi có các biến phân yi của các hàm yi đƣợc viết nhƣ sau: F Fy y , y y ,.., y y ; x Fy , y ,.. y ; x 1 12 2 n n 12 n Nếu hàm y(x) và y là khả vi thì y ' của y '( x) do y (1.1) gây ra đƣợc xác định y 'dy d y Y ( x ) y( x) nhƣ sau: ' ' (1.2) dx dx Nếu cho hàm Fy1 ( x), y2 ( x),.. yn ( x ); y , 1 ( x ), y , 2 ( x ),.. y , n ( x ); x thì gia số của nó tƣơng ứng với các biến phân yi là: FF y y , y y,.., y y ; y , y , , y , y , ,.., y , y , , x 2 n 1 1 2 2 n n 1 1 2 n F y, y ,.. y ; y, , y , ,.. y, , x 1 2 n 1 2 n (1.3) Nếu hàm F có đạo hàm riêng liên tục bậc 2 thì số gia của nó đƣợc xác định theo (1.3) có thể viết dƣới dạng chuỗi Tay-lo nhƣ sau: n F F 1 n n F i i y y' i1 y y ' 2 i1 k1 i i 2 F yy i k yi yk 2 F yy ' i k yi yk'2'F yi' yk yi yk R2 (1.4) R2 là đại lƣợng vô cùng bé bậc cao với y12 Tổng đầu tiên trong (1.4) tƣơng ứng với bậc một phân bậc một của hàm F có ký hiệuF, tổng thứ và bằng một nửa biến phân bậc hai 2 F của F. y '2 y 2 y '2 ... y 2 y '2 (1.5) 1 2 2 n n của yi và y 'i đƣợc gọi là biến hai tƣơng ứng với tích của chúng
- 8. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 2
- 9. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 1.2.CỰC TRỊ CỦA PHIẾM HÀM - PHƢƠNG TRÌNH EULER. [ 2,3,12,13] Nhƣ đã nói ở trên, đối tƣợng của phép tính biến phân là tìm những hàm chƣa biết y(x) để đảm bảo cực trị cho tích phân xác định sau: hoặc là x 2 I F y ( x ), y' ( x ), x .dx x1 x 2 I F y ( x ), y ( x ),.., y ( x ), y '( x ), y '( x ),.., y ' ( x ), x.dx 2 n 2 n 1 1 x1 (1.6a) (1.6b) [Phép ánh xạ đặt mỗi hàm (hệ hàm) nào đó xác định trên một tập nào đó tƣơng ứng với một đại lƣợng vô hƣớng (scalar) đƣợc gọi là phiếm hàm]. Phiếm hàm I có cực tiểu (địa phƣơng ) đối với hàm y(x) hoặc hệ hàm yi(x) nếu nhƣ tồn tại số dƣơng để số giaZ. x 2 x 2 ZFdxFdx 0 x1 x1 (1.7) Đối với tất cả các biến phân y hoặc tất cả hệ biến phân yithỏa mãn điều kiện hoặc 0 y 2 y ' 2 i i 0 y 2 y ' y 2 y ' ... y 2 y ' 2 2 2 1 1 2 2 n n khi x1 x x2 . Cực đại (địa phƣơng) của Z khiZ < 0. Có hai phƣơng pháp để tìm cực trị của(1.6): Giải trực tiếp trên phiếm hàm hoặc đƣa phiếm hàm về phƣơng trình vi phân. Khi đƣa phiếm hàm (1.6a) về phƣơng trình vi phân thì từ (1.4) ta có điều kiện cần để phiếm hàm có cực trị là: I x F ( y , y ', x ) dx 0 2 x 1 Với I là biến phân bậc nhất xác định theo (1.4): 2 F F I x y y ' dx 0 y y ' x 1 (a) (b) Tích phân từng phần biểu thức (b) ta sẽ có: F x 2 2 F d F I y x ydx 0 y ' x y x dx y ' 1 1 (c) Khi các điểm biên là cố định thì số hạng thứ nhất của (c) bằng không x F y y 2 0 x1 Và do y tùy ý cho nên từ (c) suy ra điều kiện cần để phiếm hàm (1.6a) đạt cực trị là: 3
- 10. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 F d F 0 y dxy ' (1.8) Phƣơng trình (1.8) đƣợc gọi là phƣơng trình Euler của phiếm hàm (1.6a). Trong một số tài liệu, phƣơng trình Euler thƣờng đƣợc suy ra từ bổ đề sau: Bổ đề: Cho phiếm hàm tuyến tính trong không gian D1 (Gồm các hàm xác định được trên đoạn [x1,x2] liên tục cùng với đạo hàm cấp 1 của nó). Nếu x2 ax y ( x ) b ( x ) y '( x ) dx 0 x1 Với mọi hàm yD1 sao cho y b’(x)=0 Nhƣ vậy, bài toán tìm cực trị (1.8) với các điều kiện biên đã cho. (x1 ) y (x2 ) 0 thì b(x) vi phân đƣợc và a(x) - của phiếm hàm(1.6a) dẫn về giải phƣơng trình Khi phiếm hàm (1.6b) có hệ hàm yi(i=1..n) cần tìm thì ứng với mỗi yi sẽ có một phƣơng trình Euler dạng (1.8). Trong trƣờng hợp giá trị của hàm y tại x1 hoặc x2 hoặc tại cả hai cận x1 và x2 không xác định (trƣờng hợp các biên di động) thì ứng với mỗi trƣờng hợp nhƣ vậy, ngoài phƣơng trình Euler (1.8) còn phải xét thêm các điều kiện biên. Trong trƣờng hợp hàm F dƣới dấu tích phân chứa các đạo hàm cấp cao x 2 I F y, y ,.., y , y ', y ',.., y ', y '', y '',.., y '' ,.., x.dx 2 n 2 n 2 n 1 1 1 x1 thì sử dụng biến phân bậc nhất của F: (1.9) Fn F y F y ' F y ''... i1 y i y ' i y '' i i i i (1.10) vào điều kiện cần (a) và bằng cách tích phân từng phần 2 lần, 3 lần … ta sẽ nhận đƣợc hệ phƣơng trình EuLer: F d F d 2 F d 3 F .... 0 y dx y ' dx 2 y '' dx 3 y ''' i i i i (1.11) Hệ phƣơng trình (1.11) đƣợc giải với các điều kiện biên của yi và các đạo hàm đến bậc (ri-1) của nó (ri là bậc đạo hàm của yi). Các công thức trên có thể mở rộng cho trƣờng hợp hàm nhiều biến độc lập xi. Chú ý rằng các phƣơng trình Euler (1.8) và (1.11) là điều kiện cần để các phiếm hàm (1.6)và (1.9) tƣơng ứng với chúng đạt cực trị. Đối với các bài toán cơ 4
- 11. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 các phƣơng trình Euler chính là các phƣơng trình cân bằng (sẽ thấy trong phần tiếp theo) nên chúng cũng là điều kiện đủ. 1.3. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN - PHƢƠNG PHÁP THỪA SỐ LAGRANGE Bài toán đặt ra là: Cần tìm hệ hàm y , 1 I x2 F 1 2 n , y x1 y , y,..., y Với điều kiện ràng buộc y2 '1 , ,.., y '2 yn làm ,.., y 'n cực trị cho phiếm hàm , xdx (a) j y , y ,..., y , x 0 1 2 n (Với j = 1, 2, …, m; m < n) (b) n: Số hàm cần tìm ; m: số ràng buộc Ta có định lý sau: Phiếm hàm (a) đạt cực trị trên hệ hàm cần tìm y, y ,.., 1 2 (b) thì hệ hàm đó cần thỏa mãn hệ phƣơng trình Euler sau: yn với điều kiện ràng buộc d 0 dx y ' y i i i =1,2,…n (c) Với Fi ( x).jm j1 đƣợc gọi là phiếm hàm Lagrange mở rộng. Các hàmi ( x) đƣợc gọi là thừa số Lagrange. Nếu bài toán có nghiệm thì (m+n) hàm i x i ( x) đƣợc xác định từ phƣơng trình (c) và (b) với các điều kiện biên y , đã cho. (c) là điều kiện cần chứ chƣa đủ.j chứa cả yi ' vẫn dùng đƣợc. I.4. PHƢƠNG PHÁP TRỰC TIẾP TRONG BÀI TOÁN BIẾN PHÂN PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA EULER [ 13] Tƣ tƣởng của phƣơng pháp sai phân hữu hạn là xét giá trị của phiếm hàm I yx Ix1 F ' , x dx y (x) a , y ( x1 ) b Chẳng hạn y , y ; 0 x0 Không phải trên các đƣờng cong có thể nhận bất kỳ trong một bài toán biến phân cho trƣớc, mà chỉ xét các giá trị của phiếm hàm trên các đƣờng gãy khúc thiết lập từ n đỉnh cho trƣớc có hoành độ là: 0 x , x0 2x , ..., 0 x . x x n 1 Ở đây x x1 x0 n
- 12. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 5
- 13. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Trên các đƣờng gấp khúc này, phiếm hàm I y x trở thành hàm y1 , y2 ,..., yn1 của các tung độ y, y ,..., y 1 2 n1 của các đỉnh đƣờng gấp khúc, bởi vì đƣờng y gấp khúc hoàn toàn đƣợc xác định bởi các tung độ này. Ta sẽ chọn các tung độ y , y ,..., y y(x0 ) y(x ) 1 1 2 n1 để hàm y1 , y2 ,..., yn1 đạt cực trị, tức là xác x x +x x + (n-1)x x 0 0 0 định y , y ,..., y từ hệ phƣơng trình 0 , 1 2 n1 y 1 0 . Sau đó chuyển qua giới hạn khi n . y2 0, … , yn1 Trong phạm vi của một số điều kiện nào đó của hàm F, ta sẽ nhận đƣợc nghiệm của bài toán biến phân. Nhƣng để thuận tiện hơn nữa, giá trị của phiếm hàm I đƣợc tính gần đúng trên các đƣờng gấp khúc nêu trên, chẳng hạn, trong bài toán x n1 x ( k1)x y y 1 0 k đơn giản nhất, thay tích phân: F ( x, y , y ') dx F ( x , y , k1 ).dx x k0 x x kx 0 0 bằng tổng tích phân n y F x , y , i i i x i1 i .x . Với tƣ cách là thí dụ, ta đƣa ra phƣơng trình Euler đối với phiếm hàm I x1 Fy , y' , xdx x0 Trong trƣờng hợp này trên đƣờng gấp khúc đang xét: n1 y y I yx y , y ,..., y n1 F x , y , i1 i .x 1 2 i i x i0 Vì chỉ có hai số hạng thứ i và thứ (i-1) của tổng này phụ thuộc vào yi: F x , y , y y x i1 i i i x và F x , y , y i y i1 x i1 i1 x nên phƣơng trình 0 (i = 1,2,.., n - 1) có dạng: yi y y i y y 1 F y x i , yi , i1 x Fy ' xi , yi , i1 i . x x x x F x , y , y y 1 x 0 i i1 y ' i1 i1 x x ( i =1,2,..,(n-1) ) y Fy ' y yi F y ' x i , yi , i x i1 , yi1, i1 x Hay là: F x , y , x 0 y ii x x 6
- 14. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 y F Hay: F x , y , i y ' 0 y i i x x Chuyển qua giới hạn khi n ta có phƣơng trình Euler: F d F 0 y dxy ' Đó là phƣơng trình mà ẩn hàm y(x) phải tìm cần thỏa mãn. Tƣơng tự, có thể nhận đƣợc điều kiện cần cơ bản của cực trị trong các bài toán biến phân khác. Nếu không thực hiện quá trình quá giới hạn thì từ hệ phƣơng trình 0 y i có thể xác định đƣợc các tung độ cần tìm y , y,..., y , và do đó nhận đƣợc 1 2 n1 đƣờng gấp khúc là nghiệm gần đúng của bài toán biến phân. Chính Euler đã dùng sai phân hữu hạn nêu trên khi đƣa ra phƣơng trình mang tên ông ( phƣơng trình Euler của phép tính biến phân ).
- 15. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 7
- 16. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 CHƢƠNG 2 CÁC PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG BÀI TOÁN CƠ HỌC CÔNG TRÌNH Trong chƣơng này, Luận văn sẽ trình bày bốn đƣờng lối chung để xây dựng bài toán cơ nói chung và bài toán cơ học công trình nói riêng,dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa. Cũng trong chƣơng này, tác giả dùng nguyên lý chuyển vị ảo để giải thích điều kiện biên của tấm chữ nhật chịu uốn. 2.1. CÁC PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG BÀI TOÁN CƠ HỌC CÔNG TRÌNH 2.1.1. PHƢƠNG PHÁP XÉT CÂN BẰNG PHÂN TỐ (Differential Formulation). Phƣơng trình vi phân cân bằng đƣợc xây dựng trực tiếp từ việc xét các điều kiện cân bằng lực phân tố đƣợc tách ra khỏi kết cấu. Dƣới đây ta xét bài toán dầm chịu uốn: Trong sức bền vật liệu, khi nghiên cứu dầm chịu uốn ngang đã dùng các giả thiết sau: Không xét lực nén giữa các thớ theo chiều cao dầm. Trục dầm không bị biến dạng nên không có ứng suất. Mặt cắt thẳng góc với trục dầm sau khi biến dạng vẫn phẳng và thẳng góc với trục dầm (giả thiết Bernoulli). Với các giả thiết nêu trên thì trục dầm chỉ có chuyển vị thẳng đứng y(x) đƣợc gọi là độ võng hay đƣờng đàn hồi dầm. d z dx M M + dM Q Q + dQ (a) (b) (c) H2.1.Dầm đơn giản chịu uốn. a. Dầm chịu tải phân bố b. Phân tố dầm chịu uốn c. Các nội lực phân tố dầm Đặt 1/ là độ cong tại một điểm nào đó của đƣờng độ võng ( là bán kính cong). Xem độ cong là bằng nhau theo chiều rộng dầm. Độ cong dƣơng khi mặt lồi của đƣờng đàn hồi hƣớng xuống. 8
- 17. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Biến dạng dài của thớ dầm cách trục dầm (trục trung hoà) một đoạn z sẽ bằng: x zd d z (1.5) d Theo hình học vi phân độ cong của đƣờng đàn hồi đƣợc tính d 2 y 1 dx2 3/ 2 dy 2 1 dx Với giả thiết chuyển vị nhỏ nên độ cong tính gần đúng 1 d 2 y (1.6) dx2 Vật liệu đàn hồi với mô đun đàn hồi E nên ứng suất bằng x Ex E zE. z d 2 y dx2 Nội lực mômen tác dụng lên tiết diện dầm đƣợc xác định bằng tích phân theo h h d 2 y 2 2 chiều cao M x .b ( z ). z.dz b ( z )E . z 2 2 h x h dx 2 2 Hay EJ d 2 y M dx 2 J là mômen quán tính tiết diện đối với trục dầm h bh 3 2 Với tiết diện chữ nhật ta có J b. z .dz 2 12 h 2 d 2 y h 2 dzE b ( z ). z 2 .dz dx 2 h 2 (1.7) h J 2 b (z ).z 2 .dz h 2 Tích EJ gọi là độ cứng uốn (chống uốn) của dầm. Tính toán trên cho thấy độ võng của dầm chỉ do mômen uốn gây ra cho nên coi giả thiết về dầm chịu uốn ở trên (giả thiết tiết diện thẳng góc) chỉ dùng khi tỉ lệ chiều cao h và chiều dài dầm h/L < 1/5:1/10 Căn cứ vào độ giãn của các thớ dầm và độ võng của trục dầm ta biết đƣợc trên tiết diện dầm còn có tác dụng của ứng suất tiếp phân bố theo chiều cao dầm. Tổng cộng các ứng suất tiếp sẽ cho ta lƣc cắt Q tác dụng lên trục dầm. Các lực tác dụng lên phân tố là các nội lực M, Q và các ngoại lực phân bố đều q ( H1.1c) Từ điều kiện tổng hình chiếu các lực lên trục Z phải bằng 0 cho ta phƣơng trình: dQ q 0 (1.8) dx 9
- 18. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Từ điều kiện tổng mômen của tất cả các lực đối với trục dầm bên trái phân tố phải bằng không, bỏ qua vô cùng bé bậc cao ta đƣợc: dM Q (1.9) dx Đƣa (1.9) vào (1.8) ta đƣợc: d2 M q (1.10) dx 2 Các phƣơng trình (1.8), (1.9), (1.10) là các phƣơng trình cân bằng lực phân tố. Thay M từ (1.7) vào (1.10) ta đƣợc phƣơng trình: EJ d 4 y q (1.11) dx 4 Phƣơng trình (1.11) là phƣơng trình vi phân cân bằng của dầm viết theo chuyển vị. Đây là phƣơng trình vi phân cấp 4, đƣợc giải với các điều kiện biên ở hai đầu dầm Đầu dầm là liên kết khớp : yx 0, xl 0; M x 0, xl 0 Đầu dầm là liên kết ngàm: yx 0, xl 0; y 'x 0, xl 0 Đầu dầm tự do : Q 0 ; M x 0, xl 0 x 0, xl Đối với bài toán động lực học thì theo Nguyên lý D’lambert cần phải xét lực quán tính. Dầm có chuyển vị thẳng đứng y là hàm theo toạ độ x và thời gian t: y(x,t). Lực quán tính trong trƣờng hợp này bằng m chiều dài dầm. Phƣơng trình cân bằng(1.11) sẽ là phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng có dạng: EJ 4 y m 2 y q (1.12) x 4 t 2 Để giải (1.12) cần biết thêm điều kiện ban đầu y (x , t)t0 và y '(x , t)t0 Xây dựng phương trình vi phân tấm chịu uốn theo phương pháp xét cân bằng phân tố Tấm mỏng là một vật thể hình trụ có chiều cao nhỏ so với kích thƣớc của hai mặt đáy. Chiều cao h gọi là bề dày của tấm. Mặt trung gian là mặt chia đôi bề dày của tấm.Mặt đàn hồi là mặt trung gian bị uốn cong dƣới tác dụng của ngoại lực. Trong trƣờng hợp độ võng w của tấm nhỏ hơn chiều dày h của nó thì có thể lập đƣợc lý thuyết gần đúng thích hợp hoàn toàn với tấm chịu uốn do tải trọng ngang dựa trên những giả thiết sau: 1.Tại mặt trung hoà tấm không hề bị biến dạng khi uốn, mặt phẳng này vẫn là mặt trung hoà. 10
- 19. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 2. Những điểm của tấm trƣớc khi chịu lực nằm trên đƣờng vuông góc với mặt phẳng trung bình, thì trong quá trình chịu uốn vẫn nằm trên đƣờng vuông góc với mặt trung bình (Giả thiết Kirchoff). 3. Ứng suất pháp theo phƣơng vuông góc với mặt trung bình của tấm đƣợc phép bỏ qua. Ta hãy xét một phân tố đƣợc cắt ra khỏi tấm bằng các mặt phẳng song song với các mặt phằng xz và yz. dx dy h/2 x h/2 x z xy dz xz yx y y yz z H2.2. Phân tố tấm và các thành phần ứng suất Tại một điểm có toạ độ z trên mặt vuông góc với trục x có x ,xy ,xz tác dụng, trên mặt vuông góc với trục y có các ứng suất y ,yx ,yz thiết 2 (giả thiết Kirchoff) nên ta suy raxzyz 0 . Theo định luật Húc và từ giả thiết thứ 3 ta có: tác dụng. Nhƣng do giả E 2 y; x x y 1 ( là hệ số poát xông) Ta hãy biểu diễn các ứng E y x;xy E 2 21 xy 1 suất này qua chuyển vị (1.13) w u 0 u w xz x z z x w v v w 0 y z z y yz Lấy tích phân theo z ta có: w u z1( x , y) x 1 ,2 là các hằng số tích phân đối với z w v z( x , y) y 2 11
- 20. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Từ giả thiết 1, tại mặt trung bình tấm k có biến dạng nên u = v = 0 khi z = 0 Suy ra12 0 Do vậy: u w z x w v z y (1.14) Từ đó ta có: E u v Ez w w x 2 2 2 x 2 x 2 y 2 1 y 1 E v u Ez w w y 2 2 2 y 2 y 2 x 2 1 x 1 w E u v Ez 2 xy y x xy 2(1 ) 1 (1.15) Nội lực mô men uốn trên một đơn vị dài đƣợc xác định bằng tích phân theo chiều cao Trong đó h w 2 2 Mx x .zdz x 2 h 2 h 2 Ez 2 D 2 dz 1 h 2 wh 2 2 y 2 h 2 Eh3 12(12 Ez 2 w w dz D 2 2 1 2 x 2 y 2 gọi là độ cứng trụ ) (1.16) Tƣơng tự ta cũng có M D 2 w2 w yy 2x2 (1.17) Các ứng suất tiếp xy và yx sẽ gây ra các mômen xoắn trên đơn vị chiều dài M h .zdz w h Ez dzD 1 w 2 2 2 2 2 xy xy xy 1 xy (1.18) h h 2 2 Do xy = yx nên M xy M yx Ngoài ra còn có các lực cắt thẳng đứng tác dụng lên mặt bên phân tố. Độ lớn của chúng trên một đơn vị chiều dài song song với các trục y và trục x lần lƣợt là: h / 2 Qx xz dz h / 2 h/ 2 và Q y yz dz Vì mômen và lực cắt là các hàm của tọa độ x và y nên khi nghiên cứu điều kiện cân bằng của D1 x2 w y phân tố, ta phải chú ý tới sự biến thiên của các đại lƣợng này khi x và y thay đổi một lƣợng nhỏ dx, dy. Mặt trung bình của phân tố
- 21. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 12
- 22. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 đƣợc biểu diễn nhƣ hình dƣới dây. (Chiều dƣơng của mômen lực cắt nhƣ hình vẽ). My Qy Myx x x Mxy Qx Mx Mx dx x M Myx Mxy M xy Mxy dx xy y dy x Qx Qx dx dx x My My dy y Qy Qy dy y y y Z H2.3. Mặt trung bình của phân tố và các thành phần nội lực Chiếu tất cả các lực đặt vào phân tố lên trục Z, ta đƣợc phƣơng trình cân bằng sau: Q Q y dydx x dxdy q.dxdy 0 y x Q Q q 0 Rút ra: y x y x Lấy mô men đối với trục x của tất cả các lực tác dụng vào phân tố : M y M xy Q dydx dxdy (Q y dy ) dxdy 0 y x y y Bỏ đi vô cùng bé bậc cao và rút gọn ta đƣợc Mxy M y Q x y y (1.19) (1.20) Tƣơng tự lấy mômen đối với trục y tất cả các lực tác dụng vào phân tố ta đƣợc: M yx M x Q y x x Đƣa các phƣơng trình (1.20), (1.21) vào phƣơng trình (1.19) (1.21) Ta đƣợc phƣơng trình sau: M M M M yx 2 2 xy 2 y q 0 x x y yx 2 xy 2 Do M xy M yx nên ta thu đƣợc phƣơng trình sau: 2 Mx2 My 22 Mxyq x2y2xy (1.22) Các phƣơng trình từ (1.19.. 1.22) là các phƣơng trình cân bằng lực phân tố. Để biểu diễn phƣơng trình (1.22) theo chuyển vị ta đƣa các phƣơng trình (1.16), (1.17), (1.18) vào phƣơng trình (1.22). Sau khi rút gọn ta đƣợc:
- 23. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 13
- 24. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 w w w qx, y 4 4 2 4 x 4 y 4 xy 2 D 2 (1.23) Biểu thức (1.23) là phƣơng trình cân bằng của tấm viết theo chuyển vị. Phƣơng trình này do Lagrange tìm ra năm 1811 khi ông nghiên cứu bản báo cáo của Xô phi - Giec manh trình bày ở Viện hàn lâm khoa học Pháp. Sau này nó đƣợc mang tên là phƣơng trình Xôphi- Giéc manh. Các điều kiện biên Điều kiện biên là những điều kiện trên bề mặt ngoài của tấm mà ta cần cho trƣớc để nghiệm phƣơng trình (1.23) tƣơng ứng với từng bài toán cụ thể. Trong các điều kiện biên có cả tải trọng q(x,y) tác động ở mặt trên và mặt dƣới của tấm. Khi đặt bài toán tổng quát của tấm đã tính đến nó và nó đã có mặt ở một số hạng tự do của phƣơng trình (1.23). Do đó ta chỉ còn điều kiện biên trên các cạnh tấm. O b ng µm nh C¹ Gèi b ¶ n lÒ B x a d o tù nh C¹ A C y Z H2.4. Tấm chữ nhật với các liên kết khác nhau ở chu vi 1. Cạnh tấm bị ngàm. Tại ngàm độ võng và góc xoay bằng không. Tại x=0 ta có w=0 và w x 0 2. Cạnh của tấm liên kết khớp: Tại đó mômen uốn bằng không và độ võng bằng không. Cũng nhận thấy độ cong theo phƣơng còn lại bằng không nên điều kiện biên viết nhƣ sau: w xa 0 Chẳng hạn tại cạnh x=a tựa khớp2 w 0 x2 xa 3. Cạnh tự do: Nếu một cạnh của tấm , chẳng hạn x = a hoàn toàn tự do thì rõ ràng là dọc theo cạnh này mômen uốn, mômen xoắn và lực cắt thẳng đứng bằng không.M xxa 0 M xyxa 0 Q xxa 0 14
- 25. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Điều kiện biên của cạnh tự do dƣới dạng này do Poatxông nêu ra. Sau đó Kirchhoff đã chứng minh rằng ba điều kiện biên này là thừa và chỉ cần hai điều kiện biên. Kirchhoff cũng chứng tỏ rằng hai yêu cầu của Poatxong đối với mômen xoắn Mxy và lực cắt ngang Qx phải đƣợc thay bằng một điều kiện thống nhất. Hai nhà khoa học Thomson và Tait đã giải thích ý nghĩa vật lý của vấn đề giảm số điều kiện biên đó. Các tác giả này chỉ rõ ràng sự uốn của tấm sẽ không đổi nếu trên cạnh x=a ta thay lực ngang hợp thành ngẫu lực xoắn Mxy đặt lên phân tố chiều dài dy bằng hai lực có chiều thẳng đứng với cánh tay đòn dy nhƣ hình dƣới đây. M xy M M xy dy xy y M xy dy dy M xy y M M xy dy xy y H2.5 Kết quả là sự phân bố ngẫu lực xoắn phân bố đƣợc biến đổi thành lực phân bố đều có cƣờng độ Mxy y và hai lực tập trung ở hai đầu cạnh x = a nhƣ trên hình H2.2. Lực phân bố này cùng chiều với lực cắt Qx. Do đó trên cạnh biên tự do của tấm hai điều kiện Qx = 0 , Mxy= 0 đƣợc viết gộp lại thành điều kiện Qx M xy 0 . y Vậy điều kiện biên của cạnh tự do M x 0 M xy 0 Q x y Giống nhƣ dầm, cơ sở của điều kiện biên tại ngàm cũng dựa trên cơ sở của cơ học chất điểm và cơ học vật rắn tuyệt đối 2.1.2. CÁC PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN NĂNG LƢỢNG Trong mục này, luận văn sẽ trình bày cách xây dựng bài toán cơ theo phƣơng pháp năng lƣợng (Energy Method) Năng lƣợng của cơ hệ bao gồm động năng T và thế năng. Động năng T đƣợc xác định theo khối lƣợng và vận tốc chuyển động, còn thế năng bao gồm thế năng biến dạng và công của các lực không thế (non-potential forces) (lực có thế chẳng hạn nhƣ lực trọng trƣờng). 15
- 26. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Đối với hệ bảo toàn, năng lƣợng là không đổi T + Do đó tốc độ thay đổi năng lƣợng phải bằng không: = const d (T)0 dt Với bài toán tĩnh T = 0 do đó = const Thế năng biểu diễn qua ứng suất và nội lực ; cũng có thể biểu diễn qua biến dạng và chuyển vị. Vì vậy có hai nguyên lý năng lƣợng sau: 2.1.2.1.Nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu [5,tr60]. Khi phƣơng trình cân bằng đƣợc biểu diễn qua ứng suất hoặc nội lực và do đó thế năng biến dạng cũng biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực ta có nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castigliano (1847-1884). Nguyên lý phát biểu nhƣ sau: Trong tất cả các trạng thái cân bằng lực có thể thì trạng thái cân bằng thực xảy ra khi thế năng biến dạng là cực tiểu. Trạng thái cân bằng lực có thể là trạng thái mà nội lực thỏa mãn các điều kiện liên kết. Ta viết nguyên lý dƣới dạng sau: (ứng suất) Min Ràng buộc là các phương trình cân bằng viết dưới dạng lực Áp dụng với bài toán dầm chịu uốn Thế năng biến dạng của dầm: 1 l 2 0 M 2 (x) EJ dx ; Phƣơng trình cân bằng lực d 2 M q dx2 Theo nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu, Dầm ở trạng thái cân bằng thực thì ta có 1 l M 2 (x) dx Min 2 0 EJ Với ràng buộc d 2 M q dx2 Nội lực mômen uốn là hàm phân bố theo chiều dài dầm M(x) phải thỏa mãn các điều kiện liên kết ở hai đầu thanh (đƣợc xác định ở hai đầu thanh). Đây là bài toán biến phân Lagrange ( Bài toán cực trị có điều kiện). Theo đó nếu hàm M(x) là đƣờng cực trị của phiếm hàm 1 l M 2 (x) dx 2 EJ 0 1 l M 2 ( x ) l d 2 M ( x) thì tồn tại một hàm(x) sao cho phiếm hàm Z= dx( x ). q dx 2 EJ dx2 0 0 16
- 27. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 nhận M(x) là đƣờng cực trị. Phiếm hàm Z phụ thuộc 2 hàm M(x),(x) cùng với các đạo hàm cấp 2. Lấy biến phânZta có: l M l d 2M d 2 M Z M .dx . q q..dx EJ dx 2 dx2 0 0 l M l d 2 M l d 2 Z EJ M .dx dx 2 q. .dx dx 2 Mdx 0 0 0 M l M l d 2M l d Z EJ M .dx dx 2 q. .dxd dx 0 0 0 Tích phân từng phần số hạng thứ 3 trong biểu thức trên ta đƣợc l M l Z M .dx EJ 0 0 Tích phân từng phần lần thứ 2: l M Cuối cùng ta có Z EJ 0 d 2M d M l d M 2 q. .dx d dx dx dx 0 l d M dl l d 2 M 2 dx d M dx dx 0 0 0 d 2 l d 2 M dM l d . .dx M dx 2 M .dx dx 2 q dx 0 dx0 l 0 ta có điều kiện cần để Z cực tiểu làZ = 0. Do đó ta có hệ phƣơng trình Euler sau: Mx d 2 ( x) 0 EJ dx2 2 M ( x) d q 0 dx 2 dM l dl Cùng với điều kiện 0; M 0 . Điều kiện này chính là dx dx 0 0 các điều kiện biên ở hai đầu dầm.Nó luôn đƣợc thỏa mãn . (x) có thứ nguyên là chuyển vị cho nên phƣơng trình thứ nhất của hệ phƣơng trình trên biểu thị quan hệ giữa M(x) và chuyển vị. Thế vào phƣơng trình thứ 2 ta thu đƣợc EJ d4 ( x) q (*) d 4 x (x) là độ võng của dầm và phƣơng trình (*) là phƣơng trình vi phân cân bằng của dầm viết theo chuyển vị nhận đƣợc ở chƣơng 1. 2.1.2.2. Nguyên lý công bù cực đại [5,tr62] Khi dùng ẩn là các chuyển vị và biến dạng thì có nguyên lý công bù cực đại. Nguyên lý phát biểu nhƣ sau:
- 28. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 17
- 29. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Trong tất cả các chuyển vị động học (kinetic) có thể (khả dĩ) thì chuyển vị thực là chuyển vị có công bù cực đại. Chuyển vị động học có thể là chuyển vị thỏa mãn các phƣơng trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng và thỏa mãn các điều kiện biên. Công bù bằng tích của ngoại lực và chuyển vị trừ đi thế năng biến dạng [Công ngoại lực - thế năng biến dạng] Max Ràng buộc là các phương trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng Áp dụng với dầm đã nêu: Công của ngoại lựcW l 0 q ( x ). y ( x )dx . Thế năng biến dạng 1 l EJ. 2dx 2 0 với là biến dạng uốn cũng là độ cong của đƣờng độ võng Theo nguyên lý trên: Z0 l q. y.dx Ràng buộc 1 l 0 EJ 2 dx Max (a) 2 d 2 y (b) dx2 Thay (b) vào (a) ta có : l 1 l d 2 y 2 Zq. y.dx 2 EJ dx 2 dx 0 0 Max (c) Thay dấu của (c) ta có 1 l d 2 y 2 l I dx 2 EJ dx 2 q. y.dx 0 0 Max (d) Lấy biến phân (d), sử dụng công thức tích phân từng phần và biến đổi ta đƣợc: I I I I I I l d 2 y d 2 y l 0 EJ dx0 q. y.dx 2 2 dx dx l d 2 y d y l 0 EJ d 0 q. y.dx 2 dx dx d 2 y d y l d y d 3 y l EJ 0 EJ dx 0 q. y.dx dx 2 3 dx dx dx d 2 y d y l l d 3 y l EJ 0 EJ d y 0 q. y.dx 2 3 dx dx 0 dx d 2 y dy l d 3 y l l d 4 y EJ EJ y0 EJ q . ydx dx 2 dx 3 dx 4 dx 0 0 dy l l l d 4 y EJ.M . EJ .Q. y 0 0 EJ q . ydx ( e) dx 4 dx 0 18
- 30. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Từ (e) ta thu đƣợc phƣơng trình cân bằng: Và các điều kiện biên: d 4 y q EJ dx 4 Nếu đầu dầm là liên kết ngàm: + Góc xoay bằng không vì thế dy 0 dx + Không có chuyển vị thẳng nên y 0 Nếu đầu dầm là liên kết ngàm trƣợt: Nếu đầu dầm là liên kết khớp: M=0 và dy dx y 0 0 ; y0 và do đó Q =0 Nếu đầu dầm tự do thì: dy 0 ; y 0 do đó M = 0, Q = 0 . dx Nguyên lý công bù cực đại dƣới dạng biểu thức (d) đƣợc sử dụng rộng rãi trong tính toán công trình theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn và đƣợc gọi là nguyên lý năng lƣợng tối thiểu mặc dù khi tính công của ngoại lực không dùng hệ số 1/2 2.1.3. NGUYÊN LÝ CHUYỂN VỊ ẢO [12] Nguyên lý chuyển vị ảo hoặc nguyên lý công ảo đƣợc sử dụng rất rộng rãi trong cơ học. Theo K.F Gauss (1777-1855) thì mọi nguyên lý trong cơ học hoặc trực tiếp hoặc gián tiếp đều rút ra từ nguyên lý vị ảo (vận tốc ảo). Xét cơ hệ chất điểm ở trạng thái cân bằng ta có: X 0 ; Y0; Z0 (a) X ,Y ,Z : là tổng hình chiếu của tất cả các lực tác dụng lên 3 trục của hệ tọa độ đề các. Ta viết biểu thức:XUYVZW0 (b) Ở đây xem U,V ,W là các thừa số bất kỳ Từ (a) ta có (b) và ngƣợc lai từ (b) ta sẽ nhận đƣợc (a) bởi vì U ,V ,W là những thừa số bất kỳ. Bây giờ ta xem U , V ,W là chuyển vị ảo theo 3 chiều của hệ tọa độ vuông góc. Chuyển vị ảo là chuyển vị do nguyên nhân bất kỳ bên ngoài nào đó gây ra. Các chuyển vị ảo này phải thỏa mãn các điều kiện liên kết của hệ. Khi có chuyển vị ảo thì vị trí của các lực tác dụng trên hệ có thể thay đổi phƣơng chiều và độ lớn của nó vẫn giữ nguyên không thay đổi. Và từ 2 biểu thức (a) và (b) ta có nguyên lý vị ảo( nguyên lý công ảo): Nếu như tổng cộng của các lực tác dụng của hệ thực hiện trên các chuyển vị ảo bằng không thì hệ ở trạng thái cân bằng. 19
- 31. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Đối với đàn hồi ( hệ biến dạng) thì ngoài ngoại lực còn có nội lực. Vấn đề đặt ra ở đây là cách tính công của nội lực nhƣ thế nào? Trƣớc hết ta phai đƣa thêm yêu cầu đối với chuyển vị ảo nhƣ sau: Các chuyển vị ảo phải thỏa mãn các liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng. Nếu nhƣ các chuyển vị có biến dạng x u , y v , …thì các chuyển vị ảoU,V, x y W cũng phải có các biến dạng ảo tƣơng ứng x u , y v,.... x y Thông thƣờng công của nội lực (hoặc ứng suất) đƣợc tính qua thế năng biến dạng. Khi có các chuyển vị ảoU,V,W thế năng biến dạng sẽ thay đổi bằng đại lƣợng biến phân. P 1 w 2 H2.6. Sơ đồ dầm ở hai trạng thái năng lƣợng Nhƣ vậy nguyên lý chuyển vị ảo đối với hệ biến dạng đƣợc viết nhƣ sau: XUYVZW 0 (c) Các đại lƣợng biến phân trong (c) đều là chuyển vị cho nên nếu xem nội lực (ứng suất) trong quá trình chuyển vị ảo cũng không đổi thì dấu biến phân trong (c) có thể viết lại nhƣ sau: XU YV ZW 0 (d) Hai biểu thức (c) và (d) dƣới dạng chi tiết hơn đƣợc trình bày trong cuốn sách [Timoshenko. LTĐH. Tr.261] Bởi vì ngoại lực trong quá trình chuyển vị ảo không thay đổi (lực bảo toàn) thì nội lực cũng không thay đổi cho nên có thể phát biểu nguyên lý chuyển vị ảo đối với hệ biến dạng một cách trực tiếp và rõ ràng nhƣ sau: Nếu như cộng của các lực tác dụng thực hiện trên các chuyển vị ảo bằng cộng của nội lực thực hiện trên các biến dạng ảo thì hệ ở trạng thái cân bằng . Áp dụng với bài toán dầm đang xét ta có: l Cộng của ngoại lực thực hiện trên các chuyển vị ảo là0 q. y.dx Cộng của nội lực thực hiện trên các biến dạng ảo là: l l d 2 y 2 y d 2 y 0 M . .dx 0 EJ . d .dx ( là biến dạng uốn của dầm) dx 2 2 dx dx2 20
- 32. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Theo nguyên lý chuyển vị ảo thì hệ cân bằng nếu thỏa mãn phƣơng trình l d 2y d 2 y .dx l q. y.dx 0 EJ dx2 .dx 2 0 0 (e) Để nhận đƣợc phƣơng trình vi phân cân bằng của dầm ta tích phân từng phần l d 2 y dy hai lần phƣơng trình (e): EJ .d dx2 dx 0 d 2 y dy l EJ . dx 2 dx0 Tích phần từng phần lần thứ hai ta có d 2 y dy l l EJ . EJ 0 dx 2 dx 0 d 2 y dy l d3 y EJ . EJ dx 2 dx 3 dx 0 dy l M. Q. y l 0 dx0 2 1 l q. y.dx 0 0 l dy d 3 y l EJ 0 . dx0 q. y.dx 0 dx 3 dx d 3 y d y 0 l q. y.dx 0 3 dx l l d 4y l y EJ q. y.dx 0 dx 4 y 0 0 0 d EJ l 4 y q y.dx 0 4 (f) 0 dx 3 Từ biểu thức (f) ta suy ra các phƣơng trình sau phải đƣợc thỏa mãn: (1) : (2) : (3) : dy l M . 0 dx0 Q y l 0 0 y EJ l d 4 q y.dx 0 dx 4 0 Biểu thức (3) cho ta phƣơng trình cân bằng của dầm: d 4 y q EJ dx4 Còn biểu thức (1) và (2) sẽ là các điều kiện biên Nếu đầu dầm là liên kết ngàm : dy + Góc xoay bằng không vì thế 0 dx + Không có chuyển vị thẳng nên y 0 dy Nếu đầu dầm là liên kết ngàm trƣợt: 0 (1) thỏa mãn ; dx 21
- 33. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 y 0 nên từ (2) ta có Q =0 vậy điều kiện biên của liên kết ngàm trƣợt là góc xoay bằng 0 lực cắt bằng 0 Nếu đầu dầm là liên kết khớp y 0 (2) thỏa mãn ; dy 0 nên từ (1) cho ta điều kiện biên của đầu khớp M = 0 dx Nếu đầu dầm tự do thì: y 0 , dy 0 dx nên từ (1), (2) ta có điều kiện biên của đầu tự do: M =0 ; Q = 0 . 2.1.4. PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE [1,12] Phƣơng trình Lagrange là phƣơng trình vi phân của chuyển động đƣợc biểu thị qua các tọa độ tổng quát (các chuyển vị tổng quát) của hệ chất điểm. Gọi T là động năng và là thế năng của hệ, các qi là các chuyển vị tổng quát thì phƣơng trình Lagrange có dạng d T T Q dt q q q i i i i (i=1,2,3….,n) (a) Trong đó: qi là vận tốc của chuyển động Qi là lực không có thế (nonpotential forces) đƣợc hiểu là các lực ngoài tác dụng lên hệ (Lực tổng quát). Đối với bài toán dầm đang xét, phƣơng trình chuyển động đƣợc viết nhƣ sau d T T qi (b) dt y y y i i i 1 y Động năng của dầm n myi dx ( yi ) (c) T 2 i 2 t i1 n 1 2 y2 Thế năng biến dạng của dầm chịu uốn EJ (d) 2 x 2 i1 i Ta tính hai thành phần đầu của phƣơng trình (b) T T 0 y i m y m y t iiii (e) Để tính thế năng biến dạng có thể dùng phƣơng pháp sai phân hữu hạn (H 2.6) 22
- 34. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 i-2 i-1 i i+1 i+2 Hình H2.6 Bởi vì độ võng yi của dầm chỉ có mặt trong ba điểm liên tiếp i-1, i và i+1 cho nên chỉ cần tính thế năng biến dạng của dầm cho ba điểm này với 1 2 y2 1 y 2 y y 2 EJ EJ i1 i i1 2 x 2 2 x 2 i 2y2 2 y y 2 1 1 y i 2 i1 EJ EJ i 2 x 2 2 x 2 i1 1 2y2 1 y 2 y y 2 i1 i2 EJ EJ i 2 x2 2 x 2 i 1 Tổng cộng ba phƣơng trình trên cho ta thế năng của dầm để tính yi. Ta tính của phƣơng trình (b). y i EJ 2 y 4 y 2 y y 2 y y y 2 y y i1 i i1 i 2 i1 i i i1 i2 y x4 i y 4 y 6 y 4 y 1 y 4 EJ i 2 i1 i i i2 EJ i yi x 4 x 4 y i 4 Phƣơng trình (g) biểu thị sai phân hữu hạn của EJ x 4 (f) (g) Cộng (e) và (g) nhận đƣợc phƣơng trình Lagrange đối với chuyển vị yi 2y EJ 4y q m i t 2 x 4 i Điểm i là bất kỳ nên nhận đƣợc phƣơng trình vi phân cân bằng dầm (h) 2 y EJ 4y q m t 2 x 4 Với bài toán tĩnh T = 0 ta có EJ 4 y q x4 (i) (k) Cách sử dụng phương trình Lagrange để xây dựng bài toán dầm chịu uốn nêu trên không tìm thấy trong các tài liệu cơ học. Kết quả trên cho thấy có thể sử dụng trực tiếp phương trình Lagrange để xây dựng các bài toán cơ học công trình. Kết luận vừa nêu xoá nhoà ranh giới giữa cơ học giải tích và cơ học công trình. 23
- 35. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 2.2. DÙNG BIẾN PHÂN DỰA TRÊN NGUYÊN LÝ CHUYỂN VỊ ẢO ĐỂ ĐƢA RA ĐIỀU KIỆN BIÊN CỦA TẤM CHỮ NHẬT CHỊU UỐN Nhƣ đã trình bày ở mục 2.1.1, Kirhhoff đã dùng phƣơng pháp biến phân năng lƣợng để chỉ ra rằng chỉ cần thoả mãn 2 điều kiện biên trên mỗi cạnh tấm [10,tr98] Ở đây tác giả dùng nguyên lý chuyển vị ảo cũng đi đến kết quả tƣơng tự. Theo nguyên lý chuyển vị ảo tấm ở trạng thái cân bằng khi: 2 w2 w2 w M xx 2 dxdy M yy 2 dxdy M xyxydxdyq.wdxdy. 0 Ta biến đổi từng số hạng của (a) Số hạng thứ nhất (a) 2w w a b w x 2 x x x M dxdy M dxdy M .d .dy x x x x 0 0 Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có a b w b wa wM x x x x M .d .dy M dy dxdy x x x x 0 0 0 0 Tích phân từng phần lần thứ 2 w M b a M b M a a b 2 M x dxdy dy x dx w x w dy w 2x dxdy x x 0 0 x 0 x 0 0 0 x Cuối cùng số hạng thứ nhất trong (a) sẽ trở thành w b wa b M a M x 2 2 x 2 2 x x M dxdy M dy w dy w.dxdy x 0 x 0 x x 0 0 Tiến hành tƣơng tự ta biến đổi đƣợc số hạng thứ hai trong (a) 2 w a wb a M b M M y 2 w dx 2 2 w.dxdy dxdy M y dx y y y 0 y0 0 y 0 y Với số hạng thƣ 3 ta biến đổi nhƣ sau w w 2Mxy 2 dxdyMxy 2 xy xy 2 wab M xy xy dxdy dx M xyy 00 Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có 2 w dxdyMxy xy dxdy w a b dy dx M xy d y x 0 0 (b) w x
- 36. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 24
- 37. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 a b w a wb a b wMxy dx M d M dxdx dy xy y xy y 0 0 x 0 x0 0 0 x Tích phân từng phần lần thứ 2 w Mxy Mxy a b wMxy a b b a dx w dx dy dx dydy x y x y y 0 0 00 0 0 b a M xy b M xy a b a 2 M xy dy d x w w dy w dxdy y yx 0 0 y 0 0 0 0 Nhƣ vậy Mxy 2 w dxdy xy a - Mxy 0 w x b 0 dx b M a b a M 2 + xy w dy w xy dxdy 0y 0 yx 0 0 Ta cũng có w b a w b a w xy 2 xy xy x M dxdy dy M dx dy M d xy y 0 0 xy 0 0 Ta biến đổi nhƣ sau(sử dụng công thức tích phân từng phần) b a dy 0 0 b a dy 0 0 b dya M xy d 0 0 wM xy xy wM xy x y w x y M xy 0b a b w dy M dx xy 0 0 y x aM b dx xy w dx 0 x 0 w a b a wM xy dy dy dx y x 0 0 0 y a b w M dx dxd y xy 0 0 x a b M 2 w xy dydx xy 0 0 Ta thu đƣợc 2 w Mxyxy dxdy b wa a M b a b M 2 M xy . dy xy w dx w xy dydx 0 y0 0x 0 0 0 xy Thay vào (b) ta có kết quả cho số hạng thứ ba trong (a) nhƣ sau 2 w 2 w 2 w 2 M xy dxdy M xy dxdy M xy dxdy xy xy xy a wb b M xy a b a 2 M xy = - M xy dx + w dy w dxdy y yx 0 x0 0 0 0 0 b wa a M xy b a b M 2 xy M xy . dy w dx w dydx x xy 0 y 0 0 0 0 0
- 38. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 25
- 39. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Sau khi đã biến đổi các số hạng ta thay lại vào (a) thu đƣợc I M x 2 w dxdy x 2 M y 2 w y2 dxdy M 2 w xyxydxdyq. wdxdy. b = M x 0 a My 0 a xy M 0 b M xy . 0 wa b w a 2 M dy dy w 2 x w.dxdy x 0 0x 0 x wb a w b M w dx 2 2 w.dxdy dx y y0 0y 0 y b b M a b a M w 2 dx + xy w xy y w dy yx dxdy x 0 0 0 0 0 w a a M b a b M 2 dydxq. w.dxdy dy xy w dx w xy y0 0 x 0 0 0 xy Sau khi nhóm lại ta có b wa b M a 2 M x x 2 x I M dy w dy w.dxdy 0 x0 0 x x 0 a wb a M y b 2 M y M y dx w dx w.dxdy y y 2 0 y 0 0 0 a wb b M xy a b a 2 M xy M xy dx + w dy w dxdy y yx 0 x0 0 0 0 0 q. wdxdy. Ta nhận thấy rằng các số hạng a w b Mxy dx 0 x0 và b wa M xy . dy 0 y0 Lại có thể tiếp tục biến đổi để nhóm lại cùng các số hạng khác Sử dụng công thức tích phân từng phần ta thu đƣợc a b a Mxy w x a , y 0 x a , yb yb M dx M w M w w dx xy xy x 0, y 0 xy x 0, yb x y0 0 x0 0 b w a x 0, y b x a , yb b M xy xa M xy dy M xy w M xy w x a , y0 w x0 dy x 0, y 0 y 0 y 0 0 Và cuối cùng ta thu đƣợc b w a a wb b M M xy M xy a I = M x dy M y dx x w. dy x y y 0 x 0 0 y 0 0 0 26
- 40. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Mà a M M M b x a , y 0 x a , yb y xy xy . w.dx + M xy w M xy w y x x x 0, y 0 x 0, yb 0 0 M M 2 2 + xy x 0, y b xy x a , yb Mx 2 y 2 x0, y0 xa, y0 2 M w M w xy q . w.dxdy x y xy Q Mx M xy và Q M y Mxy x x y y y x 2M 2 M y M xy cho nên I= x 2 q. w.dxdy b 0 + I wa a w b b M xya M x dy M y dx + Q x w. dy y x0 0 y0 0 0 M xy w x a , y 0 Mxy w x a , yb + M xy w x 0, y b Mxy w x 0, y 0 x 0, yb x 0, y 0 = 0 khi các phƣơng trình sau thỏa mãn a M xy b + 0 Q y . w.dx x 0 x a , yb x a , y0 M M M 2 2 2 2 y 2 xy x q . w.dxdy 0 x y xy b w a M dy 0 x 0 x 0 a w b My dx 0 y 0 0 b M a Q xy w. dy = 0 x y 0 0 a M b Q xy . w.dx = 0 y x 0 0 M wx a , y0 0 xy x 0, y0 M w x a , yb 0 xy x 0, yb M xy w x 0, y b 0 x 0, y0 (d) (e) (f) (g) (h) (i) (k) (l) Mxy wx a , yb 0 (m) x a , y0 Phƣơng trình (d) chỉ thỏa mãn nếu tại mỗi điểm trên mặt tấm thỏa mãn hệ thức 27
- 41. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 2 M x 2 M y 2M xy q 0x 2 y 2 xy Đây chính là phƣơng trình vi phân cân bằng mặt trung bình của tấm. Các phƣơng trình từ (e-m) là các điều kiện biên. Nếu nhƣ tấm bị ngàm ở cạnh thì độ võng và góc xoay bằng 0, do đó các phƣơng trình từ (e-k) đƣợc thỏa mãn và điều kiện biên là w= 0 ; w’ = 0 . Nếu cạnh tấm liên kết khớp chuyển vị w= 0 ; w x , w 0y do đó từ (e) hoặc (f) ta phải có Mx = 0 hoặc My = 0. Nhƣ vậy, điều kiện biên của cạnh tấm liên kết khớp là w = 0 và Mx = 0 Nếu cạnh tấm tự do thì biến phân độ võng w và góc xoay w x , w y khác không và từ (e, f, g, h) ta phải có: M x 0 M xy 0 Q x y M y 0 M Qy 0 xy x nếu cạnh x= a tự do nếu cạnh y= b tự do Đây chính là các điều kiện biên của cạnh tấm tự do. Tại góc của tấm nếu tự do thì ta có w 0 và ta có điều kiện biên Mxy= 0 từ phƣơng trình (i-l) Các điều kiện biên của tấm đƣợc biểu diễn tóm tắt qua hình vẽ dƣới đây: w = 0 w' = 0 x A w = 0 My = 0 O B x M x M xy Q x y 0 0 M y 0 y M xy 0 Q y Mxy = 0 x
- 42. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 28
- 43. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Ở đây nhận đƣợc các điêu kiện biên của tấm chữ nhật chịu uốn giống nhƣ điều kiện của Kirchhoff. 29
- 44. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 CHƢƠNG 3 PHƢƠNG PHÁP MỚI TÍNH DẦM HỮU HẠN TRÊN NỀN ĐÀN HỒI Trong các tài liệu [6,16] có trình bày cách tính dầm trên nền đàn hồi và đã giải quyết bài toán dầm vô hạn trên nền đàn hồi, dầm bán vô hạn trên nền đàn hồi, dầm hữu hạn trên nền đàn hồi với mô hình nền Winkler. Bài toán dầm dài hữu hạn đƣợc giải theo phƣơng pháp thông số ban đầu, cũng là một cách làm hay. Trong chƣơng này, tác giả tìm một phƣơng pháp giải khác với phƣơng pháp thông số ban đầu. Nội dung phương pháp là dùng lời giải của dầm vô hạn tính dầm hữu hạn 3.1. GIỚI THIỆU LỜI GIẢI DẦM DÀI VÔ HẠN TRÊN NỀN ĐÀN HỒI P -x +x y(x) M(x) Q(x) Xây dựng phƣơng trình vi phân cân bằng của dầm vô hạn đặt trên nền đàn hồi theo nguyên lý chuyển vị ảo. Khi P tác dụng lên dầm sẽ sinh ra phản lực từ nền phân bố với cƣờng độ ky. Theo nguyên lý chuyển vị ảo ta có d 2 y d 2 y 2 dx 2ky. y dx P. yx0 0 EJ dx 2 . dx 2 0 0 Áp dụng công thức tích phân từng phần d 2 y d 2 y d 2 y dy d 2 y dy dxEJ EJ . EJ dx 2 . dx 2 dx 2 .d dx dx 2 dx 0 0 Tích phân từng phần lần thứ hai ta có dy d d 2 y EJ. dx dx 2 dx 0 0 dx 30
- 45. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 dy d d 2 y d 3 y d d 3 y dx EJ . y EJ . y EJ. dx dx 2 dx 3 0 dx 3 dx 0 dx 0 dx d 4 y Q. y EJ. y.dx 0 dx 4 0 Nhƣ vậy ta có d 2 y d 2 y d 2 y EJ dx EJ . dx 2 . 2 dx 2 0 dx d 2 y d 2 y d 2 y dy EJ . dx EJ . dx 2 dx 2 dx 2 dx 0 x dy dx EJ Q. y 0 d 2 y . dy dx2 dx d 4 y EJ. y.dx 0 dx 4 0 d 4 y Q. yx Q. y0 EJ . y.dx dx4 x0 0 Cuối cùng ta có d 2 y 2EJ . dx2 0 2.Q. y x d 2 y 2 dx 2.Q. dx 2 y x0 ky. 0 2EJ 0 y dx d 4 y . dx4 P. yx0 y.dx + = 2 0 d 2 y . dy 2EJ d 2 y . dy 2 EJ dx2 dx dx2 dx x ky. y dx P. y x0 x0 Khi x+ ảnh hƣởng của lực P không còn nữa và vì thế d 2 y . dy EJ dx2 dx 0 ; x Q. y x 0 Do tính chất đối xứng nên ta cũng phải có dy dx 0 , vì vậy x0 d 2 y . dy 0 EJ dx 2 dx x0 d 2 y d 2 y Cho nên 2EJ . dxky. y dx P. y 0 dx 2 dx 2 x0 0 0 d 4 y 2Q P. yx0 0 2 EJ dx 4 ky y .dx 0 (a) Phƣơng trình (a) thoả mãn khi các phƣơng trình sau đây thoả mãn d 4 y ky 0 EJ dx4 2Q x0 P0 (b) (c) (b) là phƣơng trình vi phân cân bằng của dầm; (c) là điều kiện biên. Ta nhận đƣợc điều kiện biên tƣơng tự nhƣ của Timoshenko. Đặt4 k thì phƣơng trình ( b) có nghiệm 4EJ 31
- 46. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 y ( z ) e z (C cos z C sin z ) e z (C cos z C sin z) 2 4 1 3 Các hằng số C1, C2, C3, C4 đƣợc xác định từ các điều kiện biên. Cuối cùng ta có phƣơng trình trục võng và nội lực trong trƣờng hợp dầm vô hạn chịu tải tập trung y ( z ) P e z (cos z sin z) 2k M ( z ) P e z (cos z sin z) 4 Q ( z ) P e z cos z 2 Theo Timoshenko [6,tr26] nếu: 0.6 : Đƣợc coi là dầm cứng 0.6 5 : Dầm hữu hạn 6 : Dầm vô hạn (3.1) 3.2. PHƢƠNG PHÁP MỚI TÍNH DẦM HỮU HẠN TRÊN NỀN ĐÀN HỒI Bài toán đặt ra là cần tính dầm hữu hạn sau: (H3.2) L1 P L2 L y Ta có thể xây dựng bài toán trực tiếp trên dầm bằng cách sử dụng Nguyên lý chuyển vị ảo đã trình bày ở chƣơng 2: l d 2 y l ky. y. dx P. yxL1 0 M x dx 0 0 (3.2 ) dx 2 Ta có thể giả định hàm độ võng là hàm sin, cos, hoặc dƣới dạng đa thứ c, từ điều kiện dừng của phiếm hàm ta sẽ tìm đƣợc biểu thức đƣờng đàn hồi. Dƣới đây sẽ trình bày một cách tính khác đối với dầm hữu hạn trên nền đàn hồi mà nội dung của nó là dùng lời giải của dầm vô hạn để tính. Thay bằng việc cho lực P tác dụng trực tiếp lên dầm hữu hạn nhƣ hình h3.3a thì ta cho lực P tác dụng lên dầm dài vô hạn nhƣ hình h3.3b: 32
- 47. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 L1 P L2 L P -x +x y(x) M Q01 M 0 M M 0 01 M 02 01 M 02 Q02 Q01 Q02 ky ky 0 0 H3.3 - a) Dầm hữu hạn. b) Dầm vô hạn. c) Đoạn dầm đƣợc giải phóng liên kết Khi tác dụng lục P lên dầm vô hạn thì dầm bị biến dạng và trong dầm xuất hiện nội lực. Chuyển vị và nội lực trong dầm đƣợc tính theo công thức (3.1). Ta giải phóng liên kết một đoạn dầm có chiều dài bằng dầm hữu hạn từ dầm vô hạn nhƣ trên hình H3.3.c. Lực P sinh ra mô men nội lực trong dầm M0. Các phản lực liên kết M01 ,Q01, M02, Q02 , phản lực nền ky0 ; Các lực này đã tính đƣợc từ lời giải của dầm vô hạn, giả sử chúng có chiều nhƣ hình vẽ H3.3.c . Thay cho lực P thì ta đem các lực này - M0 , M01 , Q01, M02, Q02 , phản lực nền ky0 (với chiều ngƣợc lại nhƣ hình H3.3.d) cho tác dụng lên dầm hữu hạn cần tính. L1 L2 M 0 M 0 M 02 01 x R02 R01 ky 0 H3.4. Các lực tác dụng lên dầm hữu hạn cần tính Ta xây dựng bài toán theo nguyên lý công ảo nhƣ sau: l l 2 1 M x. ( d 2 y 2 ) dx l l 2 1 M x0 . ( d 2 y 2 ) dx l l 2 1 ky. y dx l l 2 1 ky 0 . y dx dx dx (3.3) M 01 . y x l 1 R 01 . y x l 1 M 02 . y x l 2 R 02 . y xl 2 0 Với ràng buộc là điều kiện biên tại hai đầu dầm Hàm độ võng và nội lực Mx là ẩn số cần tìm. Ta giả thiết đƣờng độ võng là hai đa thức bậc 9 tƣơng ứng với hai đoạn dầm nằm bên trái và phải lực P. y1 a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 a4 x 4 a5 x 5 a6 x 6 a7 x 7 a8 x 8 a9 x9 (3.5a)
- 48. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 33
- 49. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 y b b x b x 2 b x 3 b x 4 b x 5 b x 6 b x 7 b x 8 b x 9 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Đƣa về bài toán cực trị không ràng buộc: (3.5b) l 2 Mx . ( d 2 y l 2 Mx0 . ( d 2 y ) dxl 2 ky. y. dx l 2 . y. dx ) dx ky0 dx 2 dx 2 l 1 l 1 l 1 l1 M . y R . y M . y R . y 6 . g 0 01 x l 1 x l 1 02 x l 2 xl 2 k 01 02 1 k (3.6) k là các thừa số lagrange và cũng là các ẩn cần tìm Có 6 ràng buộc gk là các điều kiện biên hai đầu dầm và điều kiện liên tục về độ võng, góc xoay tại điểm đặt lực. Từ điều kiện = 0 ta thu đƣợc hệ gồm 26 phƣơng trình 26 ẩn số: 0 a i 0 i 1:10 ; 1: 6 b i 0 k (3.8) Ta giải hệ phƣơng trình (3.8) bằng phần mềm Matlab 7.0 và dƣới đây là lời giải cho một vài bài toán. 3.3. MỘT VÀI VÍ DỤ Ví dụ 1: Bài toán dầm hai đầu tự do P L1 L2 L Hệ số4 k trong công thức (3.1) đƣợc ký hiệu là k1 trong chƣơng trình 4EJ [k1] = [ chiều dài] -1 . Các thừa số Lagrangek ký hiệu là ld k g1, g2, g3, g4, g5, g6 là các ràng buộc Lời giải đƣợc viết nhƣ sau: syms x l k k1 ej; syms a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9; syms b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9; syms ld1 ld2 ld3 ld4 ld5 ld6 ld7; 34
- 50. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 l=3/k1; l1=0.3*l; l2=l-l1; y0=k1/k/2 *exp(-k1*x)*(cos(k1*x)+sin(k1*x)); m0=-1/4/k1*exp(-k1*x)*(sin(k1*x)-cos(k1*x)); %m0=1/4/k1*exp(-k1*x)*(sin(k1*x)-cos(k1*x)); q0=diff(m0,x);f0=k*y0; rm2=subs(m0,x,l2); rq2=subs(q0,x,l2); y01=subs(y0,x,l1-x); m01=subs(m0,x,l1-x); q01=subs(q0,x,l1-x);f01=k*y01; rm1=subs(m01,x,0);vpa(rm1) rq1=subs(q01,x,0);vpa(rq1) vpa(rm2) vpa(rq2) s1=double(subs(rm1,k1,1)); if s1>0;sigm1=1;else sigm1=-1;end; s1=double(subs(rm2,k1,1)); if s1>0;sigm2=-1;else sigm2=1;end; s1=double(rq1); if s1>0;sigq1=-1;else sigq1=1;end; s1=double(rq2); if s1>0;sigq2=-1;else sigq2=1;end; y1=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4+a5*x^5+a6*x^6+a7*x^7+a8*x^8+a9*x^9; y2=b0+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+b4*x^4+b5*x^5+b6*x^6+b7*x^7+b8*x^8+b9*x^9; y11=diff(y1,x);y12=diff(y11,x);bd1=-y12; y21=diff(y2,x);y22=diff(y21,x);bd2=- y22; mx1=k/4/k1^4*bd1;f1=k*y1;q1=diff(mx1,x); mx2=k/4/k1^4*bd2;f2=k*y2;q2=diff(mx2,x); g1=subs(mx1,x,0); g2=subs(q1,x,0); g3=subs(mx2,x,l2); 35
- 51. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 g4=subs(q2,x,l2); g5=subs(y1,x,l1)-subs(y2,x,0); g6=subs(y11,x,l1)-subs(y21,x,0); z11=g1*ld1+g2*ld2+g3*ld3+g4*ld4+g5*ld5+g6*ld6; z12= sigm1*rm1*subs(y11,x,0)+sigq1*rq1*subs(y1,x,0)+sigm2*rm2*subs(y21,x,l)+sigq2*rq2*su bs(y2,x,l2); z1=z11+z12; s1=diff(bd1,a0);s2=diff(y1,a0);s3=diff(z1,a0); h1=int((mx1- m01)*s1,x,0,l1)+int((f1-f01)*s2,x,0,l1)+s3; s1=diff(bd1,a1);s2=diff(y1,a1);s3=diff(z1,a1); h2=int((mx1- m01)*s1,x,0,l1)+int((f1-f01)*s2,x,0,l1)+s3; s1=diff(bd1,a2);s2=diff(y1,a2);s3=diff(z1,a2); h3=int((mx1- m01)*s1,x,0,l1)+int((f1-f01)*s2,x,0,l1)+s3; s1=diff(bd1,a3);s2=diff(y1,a3);s3=diff(z1,a3); h4=int((mx1- m01)*s1,x,0,l1)+int((f1-f01)*s2,x,0,l1)+s3; s1=diff(bd1,a4);s2=diff(y1,a4);s3=diff(z1,a4); h5=int((mx1- m01)*s1,x,0,l1)+int((f1-f01)*s2,x,0,l1)+s3; s1=diff(bd1,a5);s2=diff(y1,a5);s3=diff(z1,a5); h6=int((mx1- m01)*s1,x,0,l1)+int((f1-f01)*s2,x,0,l1)+s3; s1=diff(bd1,a6);s2=diff(y1,a6);s3=diff(z1,a6); h7=int((mx1- m01)*s1,x,0,l1)+int((f1-f01)*s2,x,0,l1)+s3; s1=diff(bd1,a7);s2=diff(y1,a7);s3=diff(z1,a7); h8=int((mx1- m01)*s1,x,0,l1)+int((f1-f01)*s2,x,0,l1)+s3; s1=diff(bd1,a8);s2=diff(y1,a8);s3=diff(z1,a8); h9=int((mx1- m01)*s1,x,0,l1)+int((f1-f01)*s2,x,0,l1)+s3; s1=diff(bd1,a9);s2=diff(y1,a9);s3=diff(z1,a9); h10=int((mx1-m01)*s1,x,0,l1)+int((f1-f01)*s2,x,0,l1)+s3; s1=diff(bd2,b0);s2=diff(y2,b0);s3=diff(z1,b0); h21=int((mx2-m0)*s1,x,0,l2)+int((f2-f0)*s2,x,0,l2)+s3; s1=diff(bd2,b1);s2=diff(y2,b1);s3=diff(z1,b1); 36
- 52. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 h22=int((mx2-m0)*s1,x,0,l2)+int((f2-f0)*s2,x,0,l2)+s3; s1=diff(bd2,b2);s2=diff(y2,b2);s3=diff(z1,b2); h23=int((mx2-m0)*s1,x,0,l2)+int((f2-f0)*s2,x,0,l2)+s3; s1=diff(bd2,b3);s2=diff(y2,b3);s3=diff(z1,b3); h24=int((mx2-m0)*s1,x,0,l2)+int((f2-f0)*s2,x,0,l2)+s3; s1=diff(bd2,b4);s2=diff(y2,b4);s3=diff(z1,b4); h25=int((mx2-m0)*s1,x,0,l2)+int((f2-f0)*s2,x,0,l2)+s3; s1=diff(bd2,b5);s2=diff(y2,b5);s3=diff(z1,b5); h26=int((mx2-m0)*s1,x,0,l2)+int((f2-f0)*s2,x,0,l2)+s3; s1=diff(bd2,b6);s2=diff(y2,b6);s3=diff(z1,b6); h27=int((mx2-m0)*s1,x,0,l2)+int((f2-f0)*s2,x,0,l2)+s3; s1=diff(bd2,b7);s2=diff(y2,b7);s3=diff(z1,b7); h28=int((mx2-m0)*s1,x,0,l2)+int((f2-f0)*s2,x,0,l2)+s3; s1=diff(bd2,b8);s2=diff(y2,b8);s3=diff(z1,b8); h29=int((mx2-m0)*s1,x,0,l2)+int((f2-f0)*s2,x,0,l2)+s3; s1=diff(bd2,b9);s2=diff(y2,b9);s3=diff(z1,b9); h30=int((mx2-m0)*s1,x,0,l2)+int((f2-f0)*s2,x,0,l2)+s3; h41=diff(z1,ld1); h42=diff(z1,ld2); h43=diff(z1,ld3); h44=diff(z1,ld4); h45=diff(z1,ld5); h46=diff(z1,ld6); r=solve(h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7,h8,h9,h10,... h21,h22,h23,h24,h25,h26,h27,h28,h29,h30,... h41,h42,h43,h44,h45,h46,... 'a0','a1','a2','a3','a4','a5','a6','a7','a8','a9',... 'b0','b1','b2','b3','b4','b5','b6','b7','b8','b9',... 'ld1','ld2','ld3','ld4','ld5','ld6') a0=vpa(r.a0) a1=vpa(r.a1) a2=vpa(r.a2) a3=vpa(r.a3) 37
- 53. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 a4=vpa(r.a4) a5=vpa(r.a5) a6=vpa(r.a6) a7=vpa(r.a7) a8=vpa(r.a8) a9=vpa(r.a9) b0=vpa(r.b0) b1=vpa(r.b1) b2=vpa(r.b2) b3=vpa(r.b3) b4=vpa(r.b4) b5=vpa(r.b5) b6=vpa(r.b6) b7=vpa(r.b7) b8=vpa(r.b8) b9=vpa(r.b9) y1=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4+a5*x^5+a6*x^6+a7*x^7+a8*x^8+a9*x^9; y2=b0+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+b4*x^4+b5*x^5+b6*x^6+b7*x^7+b8*x^8+b9*x^9; y11=diff(y1,x);y12=diff(y11,x);bd1=-y12; y21=diff(y2,x);y22=diff(y21,x);bd2=- y22; mx1=k/4/k1^4*bd1;f1=k*y1;q1=diff(mx1,x); mx2=k/4/k1^4*bd2;f2=k*y2;q2=diff(mx2,x); s1=subs(y1,x,0) s2=subs(y2,x,l2) s3=subs(y1,x,l1) s4=subs(mx1,x,l1) s5=subs(mx2,x,0) k=1;k1=1; s1=subs(s1);s2=subs(s2); s1=double(s1);s2=double(s2); x2=[s1 s2];t2=[1 101]; l=subs(l);l1=subs(l1);l2=subs(l2); y1=subs(y1);y2=subs(y2);mx1=subs(mx1);mx2=subs(mx2); 38
- 54. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 w=zeros(101,1); s1=l/100; n1=l1/s1+1; x1(1)=0; for n=2:n1 x1(n)=x1(n-1)+s1; end for n=1:n1 s2=x1(n); s3=subs(y1,x,s2); w(n)=double(s3); end n2=l2/s1+1;x1(1)=0; for n=2:n2 x1(n)=x1(n-1)+s1; s3=subs(y2,x,x1(n)); w(n+n1-1)=double(s3); end figure t1=1:101; plot(t1,-w,t2,-x2);grid; figure for n=2:n1 x1(n)=x1(n-1)+s1; end for n=1:n1 s2=x1(n); s3=subs(mx1,x,s2); w(n)=double(s3); end n2=l2/s1+1;x1(1)=0; for n=2:n2 x1(n)=x1(n-1)+s1; s3=subs(mx2,x,x1(n)); 39
- 55. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 w(n+n1-1)=double(s3); end plot(t1,w);grid; Ta thu đƣợc biểu đồ mômen và chuyển vị nhƣ sau: BIEU DO MOMEN 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 20 40 60 80 100 120 0 BIEU DO CHUYEN VI -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.3 -0.35 -0.4 -0.45 -0.5 -0.55 -0.60 20 40 60 80 100 120 40
- 56. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 s1 =0.56337117440860014699684515809287*k1/k s2 =0.13617326992492418892873080174984*k1/k s3 =0.54361050295122443941842815148704*k1/k s4 =0.20395045428855588931493949775000/k1 s5 =0.21822793906859620420297344922173/k1 Khảo sát trƣờng hợp dầm cứng và dầm dài vô hạn 1.Dầm cứng Khi (l < 0,6) ta có dầm cứng, ta giải bài toán trong trƣờng hợp này: Xét trƣờng hợpl = 0,05 và lực tập trung đặt giữa dầm, dầm hai đầu tự do; kết quả của bài toán nhƣ sau: S1 =19.999997656250121128405883166681/k*k1 S2 =19.999997656250121128405883166681/k*k1 S3 =20.000001562499926154999824185280/k*k1 S4 =0.62499997829861218756757109725922e-2/k1 S5 =0.62499997829861218756757109725925e-2/k1 Ta thấy S1 S2 S3 : chuyển vị tại hai đầu dầm bằng nhau và xấp xỉ chuyển vị tại điểm đặt lực (giữa dầm). Lời giải cụ thể của bài toán đƣợc đƣa vào phụ lục. Dƣới đây là biểu đồ mô men và chuyển vị 41
- 57. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 -3 BIEU DO MOMEN - L=0.05/K1 x 10 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 20 40 60 80 100 120 0 BIEU DO CHUYEN VI L=0.05/K1 -20 -20 -20 -20 -20 -20 -20 -20 -20 -20 0 20 40 60 80 100 120 42
- 58. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 1.Dầm dài vô hạn Ta giải bài toán khil > 6: Trƣờng hợp dầm vô hạn Chol = 100 ta có kết quả bài toán nhƣ sau (lời giải đƣợc cho vào phụ lục) -3 BIEU DO MOMEN DAM DAI VO HAN x 10 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 20 40 60 80 100 120 0 BIEU DO CHUYEN VI 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.250 20 40 60 80 100 120 43
- 59. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Ví dụ 2: Dầm hai đầu ngàm 0.3 L P 0.7 L L Các điều kiện biên: Độ võng và góc xoay tại hai đầu ngàm bằng không; điều kiện liên tục về chuyển vị tại điểm đặt lực P: y x0 1 0, y '1 x0 0 ; y 2 xl 2 0, y '2 xl2 0 ; y1 x l y 2 1 x0 ; y ' x l y ' x0 1 2 1 Lời giải đƣợc cho ở phụ lục. Dƣới đây là biểu đồ mô men và chuyển vị. 44
- 60. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 BIEU DO MOMEN - 2 DAU NGAM 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 20 40 60 80 100 120 0 BIEU DO CHUYEN VI 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 -0.120 20 40 60 80 100 120 s1 = 0.897553e-1*k1/k (chuyển vị tại điểm đặt lực P) s2 =-0.2700752/k1 (Mômen đầu ngàm trái) s3 =-0.1052732/k1 (Mômen đầu ngàm phải) s4 = 0.1692232/k1 (Mômen tại điểm đặt lực) s5 = 0.1692235/k1 45
- 61. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Ví dụ 3: Bài toán dầm đầu ngàm- đầu tự do L1=0.7L P L2 L Điều kiện biên của bài toán: Độ võng và góc xoay tại đầu ngàm bằng không; do bằng không. Điều kiện liên tục về chuyển vị tại Mô men và lực cắt ở đầu tự điểm đặt lực P: y x0 1 0, y '1 x0 0 ; M 2 xl 2 0 , Q xl 2 2 0; y x l 1 1 y 2 x0 ; y ' x l y ' x0 1 2 1 Lời giải đƣợc cho ở phụ lục. Dƣới đây là biểu đồ mô men và chuyển vị. Kết quả thu đƣợc S1 =-0.119324639097627330188685/k1 (Mômen tại ngàm) s2 =0.2495621602762602405929929/k1 (Mômen tại điểm đặt lực) s3 =0.4634019763033390099999*k1/k (chuyển vị tại điểm đặt lực) s4 =0.463401976303339009999*k1/k (chuyển vị tại điểm đặt lực) s5 =0.184895047409585750498*k1/k (chuyển vị tại đầu tự do) 46
- 62. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 BIEU DO MO MEN - DAU NGAM DAU TU DO 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 20 40 60 80 100 120 0 BIEU DO CHUYEN VI 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.3 -0.35 -0.4 -0.45 -0.50 20 40 60 80 100 120 47
- 63. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 Ví dụ 4: Dầm đầu ngàm đầu khớp P L1=0.5L L2 Điều kiện biên của bài toán: Độ võng và góc xoay tại đầu ngàm bằng không; Mô men và chuyển vị ở đầu khớp bằng không. Điều kiện liên tục về chuyển vị tại điểm đặt lực P: y x0 1 0, y '1 x0 0 ; M 2 xl 2 0 , y 2 xl 2 0 ; y x l 1 1 y 2 x0 ; y ' x l y ' x0 1 2 1 Lời giải đƣợc cho ở phụ lục. Dƣới đây là biểu đồ mô men và chuyển vị Kết quả thu đƣợc: s1 = - 0.1241618/k1 ( Mômen tại ngàm) s2 =0.4731959*k1/k ( Chuyển vị tại điểm đặt lực) s3 =0.4731956*k1/k ( Chuyển vị tại điểm đặt lực) s4 =0.2614220/k1 ( Mô men tại điểm đặt lực) s5 =0.2502090/k1 ( Mô men vị tại điểm đặt lực) 48
- 64. tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20– Luanvanmaster.com TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20 BIEU DO MO MEN - DAU NGAM DAU KHOP - l =4/K1 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.3 20 40 60 80 100 120 0 BIEU DO CHUYEN VI 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0 20 40 60 80 100 120 49
|
