Đối tượng cơ bản của hình học không gian là: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Show
Điểm được ký hiệu A, B, C, … Đường thẳng được ký hiệu a, b, c, d, … Mặt phẳng được ký hiệu (P), (Q), (R), … hay \((\alpha), (\beta), (\gamma)\)… Quan hệ cơ bản của hình học không gian: Thuộc: ký hiệu \(\in\). Ví dụ: A \(\in\) A; M \(\in (\alpha)\). Chứa trong, nằm trong: ký hiệu \(\subset\). Ví dụ: a \(\subset\) (P), b \(\subset (\beta)\). Hình biểu diễn của một hình trong không gian Qui tắc: Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng. Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau). Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng song song và bằng nhau. Dùng nét vẽ liền (__) để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- – -) để biểu diễn cho những đường bị khuất.  Các tính chất thừa nhận của hình học không gianTính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước. Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Định nghĩa: Đường thẳng chung của hai mặt phẳng được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng. *Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳngVị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳngTrong không gian cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Có ba vị trí tương đối giữa a và (P).
Kí hiệu: a \(\subset\) (P), khi đó thì mọi điểm thuộc a đều thuộc (P). (hình 3). Vị trí tương đối của hai mặt phẳngTrong không gian, cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Có ba vị trí tương đối giữa (P) và (Q).
Vị trí tương đối của hai đường thẳngTrong không gian cho hai đường thẳng a, b. Có bốn vị trí tương đối giữa a và b.
Chú ý:
Định lí: Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một và ba giao tuyến của chúng không trùng nhau thì ba giao tuyến đó hoặc song song hoặc đồng quy. Điều kiện xác định mặt phẳng1. Ba điểm A,B,C không thẳng hàng xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp(ABC). 2. Một đường thẳng d và một điểm A \(\in\) d xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp(A,d). 3. Hai đường thẳng cắt nhau a,b xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp(a,b). 4. Hai đường thẳng song song xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp(a,b). Hình chóp và hình tứ diệnHình chópCho đa giác A1A2…An,nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\) và điểm S \(\notin (\alpha)\). Nối S với các đỉnh A1A2 ta được n tam giác SA1A2, SA2A3,…, SAnA1. Hình tạo bởi n tam giác đó và đa giác A1A2…An được gọi là hình chóp. Ký hiệu là S.A1A2…An. Tứ diệnHình tạo bởi bốn tam giác ABC, ACD, ADB và BCD được gọi là hình tứ diện. Các điểm A, B, C, D gọi là đỉnh. Các đoạn AB, AC, AD, BC, CD và DA gọi là cạnh của tứ diện. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ADB, ABC gọi là các mặt của tứ diện. Tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là tứ diện đều.
Để biết cách chứng minh hai mặt phẳng song song, chúng ta cần phải xem thế nào là hai mặt phẳng song song, và từ đó sẽ có các phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng song song trong không gian. 1. Thế nào là hai mặt phẳng song song?1.1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.Trong không gian, cho hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $ thì có ba khả năng về vị trí của chúng:
Từ đó, người ta định nghĩa hai mặt phẳng song song như sau:
1.2. Định lý về hai mặt phẳng song songXem thêm: Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
1.3. Tính chất hai mặt phẳng song song
1.4. Hình lăng trụ, hình chóp cụt
2. Cách chứng minh hai mặt phẳng song songPhương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: Để chứng minh hai mặt phẳng song song chúng ta có thể sử dụng một trong ba cách:
3. Ví dụ về cách chứng minh hai mặt phẳng song songVí dụ 1. Cho hai hình bình hành $ ABCD $ và $ ABEF $ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
Ví dụ 2. Cho tứ diện $ ABCD $ có $ M,N,P $ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ ABC, ABD, ACD $. Chứng minh rằng $ (MNP)\parallel(BCD) $. Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ ABCD.$ Từ $ A $ và $ C $ kẻ hai tia $ Ax $ và $ Cy $ song song, cùng chiều và không nằm trong mặt phẳng $ (ABCD). $ Chứng minh mặt phẳng $ (BAx)\parallel (DCy). $ Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ với $ ABCD $ là hình bình hành. Gọi $ I $ là trung điểm của $ SD. $
Hướng dẫn. Chỉ ra $ K $ là trọng tâm tam giác $ SBD. $ Ví dụ 5. Cho lăng trụ tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có $ I ,K ,G $ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ ABC, A’B’C’ $ và $ ACC’ $. Chứng minh rằng: $ (IKG) \parallel (BB’C’C), (A’KG)\parallel(AIB’) $. Hướng dẫn. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC $ và $ B’C’ $ thì mặt phẳng $ (A’KG) $ chính là mặt phẳng $ (A’CN) $, còn mặt phẳng $ (AIB’) $ chính là mặt phẳng $ (AMB’). $ Hai mặt phẳng này song song vì có $ AM\parallel A’N $ và $ B’M\parallel CN. $ 4. Bài tập chứng minh 2 mặt phẳng song songBài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $SA, SD, AB, ON.$ Chứng minh: $(OMN) \parallel (SBC)$. Chứng minh: $PQ \parallel (SBC)$. Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm $SA, CD, AD.$ Chứng minh $(OMN) \parallel (SBC)$. Gọi $I$ là điểm trên $MP$. Chứng minh: $OI \parallel (SCD)$. Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $BC, AB, SB, AD.$ Chứng minh $(MNP) \parallel (SAC)$, $PQ \parallel (SCD)$. Gọi $I$ là giao điểm $AM$ và $BD, JSA$ sao cho $AJ = 2JS$, chứng minh $IJ \parallel (SBC)$. Gọi $K$ là một điểm trên $AC$, tìm giao tuyến $(SKM)$ và $(MNC)$. Bài 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $I, J, G, P, Q$ là trung điểm $DC, AB, SB, BG, BI.$ Chứng minh $(IJG) \parallel (SAD)$, $PQ \parallel (SAD)$. Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(IJG)$; $(ACG)$ và $(SAD)$. Bài 5. Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không đồng phẳng. Gọi $I, J, K$ là trung điểm $AB, CD, EF.$ Chứng minh $(ADF) \parallel (BCE)$; $(DIK) \parallel (JBE)$. |
