| Astroid lần đầu tiên được Johann Bernoulli đề cập đến vào khoảng 1691-1692. Nó cũng xuất hiện trong các công trình của Leibniz của năm 1715. Đôi khi được gọi là tetracuspid vì lý do nó có 4 chỏm.
Astroid chỉ chính thức có tên gọi vào năm 1836 trong một cuốn sách xuất bản ở Vienna. Astroid được biết đến dưới các tên gọi khác nhau bao gồm cả cubocycloid và paracycle vào sau năm 1836. Chu vi của astroid là 6a và diện tích của nó là Gradient của tiếp tuyến (T) từ một điểm với tham số p là: (T) cắt trục Ox và Oy tại X và Y tương ứng thỏa mãn
Astroid là điểm tụ quang của hình delta với tia song song theo hướng bất kỳ. 3. Cardioid (đường hình tim) Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes
Phương trình đường cong trong tọa độ cực:
Cardioid là tên gọi đầu tiên của một đường cong được de Castillon viết trong một bài báo đăng ở tuyển tập Philosophical Transactions of the Royal Society 1741. Đó là quỹ tích của một điểm trên chu vi của đường tròn lăn không trượt trên chu vi của một đường tròn khác có cùng bán kính. Tên của phương trình này còn có nghĩa là "hình trái tim”. Năm 1708 La Hire đã tìm ra công thức tính chu vi của nó, và do đó ông tuyên bố là người đầu tiên phát hiện ra các đường cong Cardioid. Theo công thức nêu trên chu vi của nó là 16a. Cardioid thật ra là một trường hợp đặc biệt của đường cong Limacon
Pascal (Etienne Pascal) và như vậy, nếu nói một cách hợp lý, những nghiên cứu về đường cong này đã có từ rất lâu trước khi Castillon La Hire công bố. Với bất kỳ gradient nào cho trước trên cardioid luôn luôn có chính xác ba tiếp tuyến song song với nhau. Chiều dài của bất kỳ dây nhau thông qua các điểm đỉnh là 4a và diện tích của cardioid là
Có một số đường cong khác, hình trái tim được do Kurt Eisemann (San Diego State University, USA) cung cấp: Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
4. Cartesian Oval (đường oval Descartes) Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
Đường cong này bao gồm 2 đường oval lồng nhau, là quỹ tích của một điểm P có khoảng cách là s và t từ hai điểm cố định S và T thỏa mãn: Các đường cong này lần đầu tiên được Descartes nghiên cứu vào năm 1637 và đôi khi được gọi là "Hình bầu dục Descartes ".Đường cong cũng được nghiên cứu bởi Newton khi phân loại các đường cong bậc 3 (cubic). Oval Cartesian có phương trình lưỡng cực: Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
Các hình bầu dục Cassinian là quỹ tích của một điểm P di chuyển sao cho tích của 2 khoảng cách từ P đến hai điểm cố định S và T [ trong trường hợp này điểm
Cassinian ovals lần đầu tiên được Giovanni Cassini khảo sát vào năm 1680 khi ông đang nghiên cứu các chuyển động tương đối của Trái đất và Mặt trời. Cassini tin rằng mặt trời đi vòng quanh trái đất trên một trong các hình bầu dục, với Trái đất tại một tiêu điểm của hình bầu dục đó. Cassini đã giới thiệu các đường cong của mình 14 năm trước khi Jacob Bernoulli mô tả các lemniscate của mình. Hình bầu dục Cassinian là đường cong anallagmatic. Họ đường cong này được xác định bởi phương trình lưỡng cực:
6. Catenary (đường dây xích) Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
Dây xích có hình dạng hoàn hảo của một chuỗi, cố định ở 2 đầu và chịu tác động bởi lực hấp dẫn. Phương trình của nó do Leibniz, Huygens và Johann Bernoulli đưa ra năm 1691, nhằm giải quyết các thách thức của vấn đề đặt ra bởi Jacob Bernoulli với mục đích là đi tìm phương trình của chuỗi đường cong. Huygens là người đầu tiên sử dụng tên gọi dây xích trong một bức thư cho Leibniz năm 1690 và David Gregory đã trình bày lý thuyết về dây xích vào năm 1690. Năm 1669 Jungius đã bác bỏ ý tưởng của Galileo cho rằng đường cong của một chuỗi treo dưới tác dụng lực hấp dẫn sẽ là một parabol. Dây xích là quỹ tích của tiêu điểm thuộc một parabol lăn không trượt dọc theo một đường thẳng. Năm 1744 Euler chỉ ra rằng, một dây xích khi quay quanh tiệm cận của nó sẽ tạo ra mặt cực tiểu duy nhất. 8. Circle (đường tròn) Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
Phương trình đường cong tham số:
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
Các nghiên cứu về đường tròn được lịch sử ghi lại từ rất lâu. Việc phát minh ra bánh xe là một phát hiện cơ bản và có giá trị nhất về đường tròn. Người Hy Lạp vẫn xem người Ai Cập như là những người tiên phong phát minh về hình học. Ahmes tác giả của bản văn papyrus Rhind, đã đưa ra một quy tắc để xác định diện tích của một vòng tròn tương ứng với số π = 256/81 hoặc khoảng 3,16.
Các định lý đầu tiên liên quan đến vòng tròn do Thales khoảng năm 650 trước Công nguyên. Sách III về các yếu tố của hình học Euclid đã đề cập đến tínhchất của đường tròn và các bài toán liên quan đến đa giác. Một trong những bài toán cổ Hy Lạp là tìm kiếm một hình vuông có diện tích bằng với một đường tròn cho trước và Anaxagoras (450 BC) được ghi nhận là nhà toán học đầu tiên nghiên cứu vấn đề này. Diện tích của đường tròn là 9. Cissoid of Diocles (đường cissoid Diocles) Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
Đường cong này (có nghĩa là " hình ivy ") được Diocles phát hiện khoảng 180 trước Công nguyên khi ông giải quyết bài toán nhân đôi một khối lập phương bằng phương pháp hình học. Tên gọi đầu tiên của nó xuất hiện trong công trình của Geminus khoảng 100 năm sau, Fermat và Roberval giải quyết bài toán tiếp tuyến vào năm 1634. Đến năm 1658, Huygens và Wallis tìm thấy diện tích giới hạn bởi đường cong và tiệm cận của nó là Cissoid của Diocles là đường quay của đỉnh của một parabol trên một parabol bằng với chính nó. Newton đã đưa ra một phương pháp vẽ các Cissoid Diocles bằng cách sử dụng hai đoạn thẳng vuông góc bằng nhau. Nếu di chuyển cặp đoạn thẳng này sao cho một đoạn luôn luôn đi qua một điểm cố định và điểm cuối của đoạn kia trượt dọc theo một đường thẳng thì quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng trượt này tạo ra Cissoid Diocles. Diocles là nhân vật cùng thời với Nicomedes. Ông đã nghiên cứu cissoid trong khi giải quyết bài toán tìm cạnh của một khối lập phương có thể tích gấp đôi của một khối lập phương cho trước. Ông cũng nghiên cứu các vấn đề của Archimedes khi cắt một hình cầu bằng một mặt phẳng thành hai phần theo một tỷ lệ nhất định. Trong bài bình luận về công trình của Archimedes về hình cầu và hình trụ, khái niệm vê cissoid xuất hiện và được cho là của Diocles đề xuất.
11. Conchoid (đường vỏ sò Conchoid) Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
Tên gọi này có nghĩa là dạng vỏ sò do Nicomedes và các nhà toán học Hy Lạp nghiên khoảng 200 trước Công nguyên, liên quan đến bài toán gấp đôi thể tích của khối lập phương. Nicomedes đã xác định được ba dạng khác biệt trong họ đường cong này. Nicomedes là một nhà hình học trẻ tuổi, khoảng 180 trước Công nguyên. Đường cong vỏ sò do là Pappus đặt tên và xem như là phát minh chính của Nicomedes. Như Nicomedes đã tiên đoán, vào thế kỷ 17 các nhà toán học rất quan tâm đến đường vỏ sò Conchoid và có nhiều ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán về nhân đôi khối lập phương và chia một góc làm 3 phần. Newton đã từng nói rằng nó phải là một đường cong 'chính tắc'. Conchoid có x = b là một tiệm cận đứng và diện tích giới hạn bởi nhánh và tiệm cận là vô hạn. Diện tích của vòng lặp là:
Đường conchoid có nhiều ứng dụng trong việc xây dựng các tòa nhà thời cổ, phần thân của các cột thẳng đứng thường được thực hiện theo hình dạng của các vòng lặp của đường cong này. 13. Cycloid (đường bánh xe cycloid) Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
Lấy một đường tròn bán kính = 1, đặt nó lên trục Ox. Lấy một điểm A cố định trên đường tròn đó. Khi đường tròn lăn (không trượt) trên trục Ox, điểm A quay/lăn theo và sẽ vẽ một hình cung, mang tên đường cycloid.
Nếu thay vì lấy một điểm trên đường tròn mà lấy một điểm bên trong đường tròn, sẽ được đường cong gọi tên là curtate cycloid. Năm 1658 Christopher Wren chứng minh rằng nếu đường tròn có chu vi là C thì một chu kỳ đường cycloid có chiều dài 4 C.
Cycloid là quỹ tích của một điểm có khoảng cách h từ tâm của một đường tròn bán kính a có thể lăn không trượt dọc theo một đường thẳng.
Cusa lần đầu tiên nghiên cứu cycloid khi ông đã cố gắng để tìm diện tích của một vòng tròn bằng cách tích phân. Mersenne đã đưa ra định nghĩa thích hợp của cycloid và nêu các tính chất rõ ràng , chẳng hạn như độ dài của các bán kính cơ sở tương đương với chu vi của vòng tròn lăn. Mersenne cũng đã cố gắng để tìm diện tích giới hạn bởi đường cong cycloid nhưng không thành công. Ông đặt ra các câu hỏi để các nhà toán học khác tiếp tục nghiên cứu . Galileo đặt tên cho đường cong này vào năm 1599. Năm 1639, ông đã viết cho Torricelli về cycloid, nói rằng ông đã nghiên cứu các thuộc tính của nó trong suốt 40 năm. Galileo đã cố gắng để tìm diện tích cycloid bằng cách so sánh diện tích của vòng tròn tạo ra nhưng đã không thành công. Mersenne đưa ra bài toán diện tích cycloid cho Roberval năm 1628, và mặc dù ông đã thất bại lúc đầu, bài toán này đã được Roberval giải quyết năm 1634. Nếu h = a diện tích giới hạn bởi một cung cycloid là Năm 1696 Johann Bernoulli, trong Acta eruditorum, đã đưa ra bài toán xét xem những đường cong nào đáp ứng các tính chất brachistochrone. Ông tìm được các tính chất brachistochrone của cycloid và công bố lời giải của mình vào năm 1697. Leibniz, Newton, Bernoulli và de L'Hôpital cũng tập trung nghiên cứu về vấn đề này. Đây là một trong những bài toán biến phân đầu tiên và việc khảo sát này là khởi điểm cho sự phát triển phép tính biến phân (the calculus of variations).Cả hai đường pháp bao ngoài (evolute) và trong (involute) của cycloid đều là một cycloid đồng dạng. Trong thực tế bài toán về đường pháp bao ngoài (evolute) được nghiên cứu bởi Huygens, và cũng từ công trình về cycloid Huygens đã phát triển lý thuyết chung của đường pháp bao ngoài (evolute) của các đường cong.
18. Ellipse (đường Ellipse) Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
Ellipse lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Menaechmus. Euclid cũng đã viết về hình elip và Apollonius đặt tên cho đường cong này như hiện tại. Pappus cũng có những đóng góp về tiêu điểm và đường chuẩn của Ellipse.Năm 1602 Kepler cho biết ông tin rằng quỹ đạo của sao Hỏa là hình bầu dục, sau đó ông mới phát hiện ra rằng đó là một hình elip với mặt trời là một trong những tiêu điểm. Thực ra, chính Kepler đã giới thiệu từ "tiêu điểm" và công bố phát hiện của ông vào năm 1609. Độ lệch tâm (còn gọi là tâm sai) của quỹ đạo hành tinh khá nhỏ (tức là chúng gần với vòng tròn). Tâm sai của sao Hỏa là 1/11 và của Trái đất là 1/60. Năm 1705, Halley đã cho thấy rằng các sao chổi, mà bây giờ được đặt tên của ông, di chuyển trong một quỹ đạo hình elip mặt trời. Tâm saicủa sao chổi Halley là 0,9675 do đó, nó gần giống một parabol (có tâm sai là 1). Diện tích của hình elip là Đường pháp bao ngoài của ellipse với phương trình ở trên là đường cong Lamé.
19. Epicycloid (đường Epicycloid) Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ đến Epicycloid gồm có Epicycloid, Epitrochoid, Hypocycloid và Hypotrochoid là quỹ tích một điểm P trên đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính a cố định. Đối với Epicycloid, một trong số ví dụ được hiển thị ở trên, đường tròn bán kính b lăn bên ngoài của đường tròn bán kính a. P là điểm trên chu vi của đường tròn bán kính b.
Đối với ví dụ ở đây ta có a = 8 và b = 5. Một số nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu đến epicycloid như Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (năm 1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781). Trường hợp đặc biệt a = b ta có đường cardioid. Nếu a = 2b ta thu được đường cong nephroid. Nếu a = (m - 1) b với m là một số nguyên, chu vi của epicycloid là 8bm và diện tích của nó là
20. Epitrochoid (đường Epitrochoid) Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ với Epitrochoid gồm Epicycloid, Epitrochoid, Hypocycloid và Hypotrochoid. Epitrochoid là quỹ tích điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính a cố định.
Đối với epitrochoid, một trong số ví dụ nêu trên, đường tròn bán kính b lăn không trượt bên ngoài đường tròn bán kính a. P là điểm có khoảng cách là c tính từ tâm của đường tròn bán kính b. Đối với ví dụ này ta có a = 5, b = 3 và c = 5 (P chuyển động bên trong vòng tròn bán kính a). Một ví dụ về epitrochoid xuất hiện trong công trình của Dürer - Những kiến thức về đo lường bằng compa và thước kẻ (năm 1525). Ông gọi chúng là đường cong nhện. Những đường cong epitrochoid cũng được nghiên cứu bởi la Hire, Desargues, Leibniz, Newton và nhiều người khác. |
