Từ các chữ số 1 2 4 5 7 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và số lẻ

Tính số các số có 7 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán (kể cả chữ số 0 đứng đầu) và số các số có 7 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán mà số 0 bắt buộc đứng đầu sau đó trừ cho nhau.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Lập số có 7 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán (kể cả số 0 đứng đầu).

7 chữ số có 3 chữ số chẵn, tức là gồm 3 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ.

Cách chọn 3 chữ số chẵn từ 5 chữ số chẵn \(\left( {\left\{ {0;2;4;6;8} \right\}} \right)\) là \(C_5^3 = 10\) cách.

Số cách chọn 4 chữ số lẻ từ 5 số lẻ \(\left( {\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}} \right)\) là \(C_5^4 = 5\) cách.

Vì số đứng sau lớn hơn số đứng trước nên các chữ số được xếp theo chiều tăng dần từ trái qua phải, do đó có 1 cách xếp 7 chữ số vừa chọn được, do đó có 10.5 = 50 số có 7 chữ số thỏa mãn số đó có 3 số chẵn và số đứng sau lớn hơn số đứng trước. (Tính cả số có số 0 đứng đầu).

Bước 2: Lập số có 7 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán mà số 0 bắt buộc đứng đầu.

Số 0 đứng đầu nên chữ số hàng triệu có 1 cách chọn.

6 chữ số còn lại bao gồm 2 số chẵn được chọn từ 4 số chẵn \(\left( {\left\{ {2;4;6;8} \right\}} \right)\) và 4 chữ số lẻ được chọn từ 5 số lẻ \(\left( {\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}} \right)\).

Cách chọn 2 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn \(\left( {\left\{ {2;4;6;8} \right\}} \right)\) là \(C_4^2 = 6\) cách.

Số cách chọn 4 chữ số lẻ từ 5 số lẻ \(\left( {\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}} \right)\) là \(C_5^4 = 5\) cách.

Vì số đứng sau lớn hơn số đứng trước nên các chữ số được xếp theo chiều tăng dần từ trái qua phải, do đó có 1 cách xếp 7 chữ số vừa chọn được, do đó có 6.5 = 30 số có 7 chữ số thỏa mãn số đó có 3 số chẵn và số đứng sau lớn hơn số đứng trước và chữ số 0 bắt buộc đứng đầu.

Vậy có 50 – 30 = 20 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Cách khác:

Gọi số thỏa mãn là \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \left( {{a_1} \ne 0} \right)\)

Vì chữ số \(0\) không thể đứng đầu và cũng không thể đứng phía sau (do các chữ số được sắp xếp tăng dần) nên ta bỏ chữ số \(0\).

Với các chữ số \(2;\;3;\;4;\;5;\;6\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số \(2;\;3\) không đứng cạnh nhau?

A. 120
B. 96
C. 48
D. 72

Số cần tìm có dạng \(\overline {abcde} \).

Ta xét có bao nhiêu số dạng \(\overline {abcde} \) lập từ các chữ số \(2,3,4,5,6\) :

– Chọn a : có 5 cách

– Chọn b : có 4 cách

– Chọn c : có 3 cách

– Chọn d : có 2 cách

– Chọn e : có 1 cách

Có \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) số lập từ 5 chữ số trên.

adsense

Ta xét có bao nhiêu số dạng \(\overline {abcde} \) lập từ các chữ số \(2,3,4,5,6\), mà chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.

Nhận xét : có 4 vị trí gần nhau là \(\overline {ab} ,\,\,\overline {\,bc\,\,} \,,\,\,\,\overline {cd} ,\,\,\,\overline {de} \).

Với mỗi vị trí đứng gần nhau, chữ số 2 có thể đứng trước hoặc sau chữ số 3, vậy có 2 cách sắp xếp vị trí cho 2 và 3.

Với 3 vị trí còn lại để xếp các chữ số 4, 5, 6.

– Chữ số 4 có 3 cách xếp

– Chữ số 5 có 2 cách xếp

– Chữ số 6 có 1 cách xếp

Vậy sẽ có \(3 \times 2\, \times 1 = 6\) cách để xếp 3 chữ số 4, 5, 6.

Vậy có tất cả : \(4 \times 2 \times 6 = 48\) số dạng \(\overline {abcde} \) lập từ các chữ số \(2,3,4,5,6\), mà chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.

a) Việc lập số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau từ 6 chữ số đã cho là chỉnh hợp chập 4 của 6. Do đó số số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là: \(A_6^4 = 360\) (số).

Vậy có tất cả 360 số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho.

b) Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abcd} \), trong đó a, b, c, d là các chữ số khác nhau từng đôi một lấy từ các chữ số đã cho, a ≠ 0.

Vì bốn chữ số được lấy từ các 6 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5. Do trong dãy số này có chứa số 0 nên việc lập số có bốn chữ số cần tìm được chia thành 4 giai đoạn:

Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) Bốn chữ số b) Bốn chữ số khác nhau
c) Bốn chữ số khác nhau lẻ d) 4 chữ số chẵn khác nhau
e) 5 chữ số chẵn f) 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5