Phương Trình Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng trong không gian Oxyz
Phương Trình Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng trong không gian Oxyz
(1). Phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P),$ với $d$ cắt $(P).$ Gọi $Q$ là mặt phẳng chứa $d$ và $Q\bot (P),$ do đó $\Delta =(P)\cap (Q)$ và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right],$ tìm một điểm thuộc $\Delta $ là $A=d\cap (P).$ (2). Nếu đường thẳng $d//(P),$ thì $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}$ và điểm $B\in \Delta $ là hình chiếu của điểm $A\in d$ lên mặt phẳng $(P).$ Ví dụ 1.Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{-1}=\frac{z-3}{4}.$ Phương trình nào dưới đây là phương trình của hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $x+3=0?$
Gọi $Q$ là mặt phẳng chứa $d$ và $Q\bot (P),$ do đó $\Delta =(P)\cap (Q)$ và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right]=(0;1;-4)$ và dễ có $d\cap (P)=A(-3;-3;-5)\in \Delta ,$ Vậy $d\cap (P)=A(-3;-3;-5)\in \Delta ,$ đối chiếu đáp án nhận D. Bài tập tự luyện: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):x+y-3z-3=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{1}.$ Gọi ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $(P).$ Tìm một véctơ chỉ phương của ${d}'.$
Bài viết gợi ý:
CÔNG THỨC GIẢI NHANH HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ Công thức tính nhanh 1: Cách xác định nhanh tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác trong không gian Oxyz Chú ý với I là tâm nội tiếp tam giác ABC ta có đẳng thức véctơ sau đây: $BC.\overrightarrow{IA}+CA.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ Chuyển qua tọa độ trong không gian Oxyz, ta có thể xác định được nhanh tọa độ điểm I như sau:  Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với tọa độ các đỉnh $A\left( 1;1;1 \right),\,B\left( 4;1;1 \right),\,C\left( 1;1;5 \right)$. Tìm tọa độ điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. A. $I\left( -2;-1;-2 \right).$ B. $I\left( 2;-1;2 \right).$ C. $I\left( 2;1;2 \right).$ D. $I\left( 1;2;2 \right).$ Lời giải: Ta có $BC=5,\,CA=4,\,AB=3$. Do đó Vậy $I\left( 2;1;2 \right)\,\,\,\left( C \right).$ Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;2;1 \right),\,B\left( -\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right)$. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AOB$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( AOB \right)$ có phương trình là A. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{2}.$ B. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-8}{-2}=\frac{z-4}{2}.$ C. $\frac{x+\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{5}{3}}{-2}=\frac{z-\frac{11}{6}}{2}.$ D. $\frac{x+\frac{2}{9}}{1}=\frac{y-\frac{2}{9}}{-2}=\frac{z+\frac{5}{9}}{2}.$ Lời giải chi tiết: Ta có $OA=3,\,OB=4,\,AB=5.$ Do đó tâm nội tiếp $I$ của tam giác $AOB$ có tọa độ là ${{x}_{I}}=\frac{3{{x}_{B}}+4{{x}_{A}}+5{{x}_{O}}}{3+4+5}=\frac{-8+8+0}{12}=0$ ${{y}_{I}}=\frac{3{{y}_{B}}+4{{y}_{A}}+5{{y}_{O}}}{3+4+5}=\frac{4+8+0}{12}=1$ ${{z}_{I}}=\frac{3{{z}_{B}}+4{{z}_{A}}+5{{z}_{O}}}{3+4+5}=\frac{8+4+0}{12}=1$ Véctơ chỉ phương của đường thẳng này là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]//\left( 1;-2;2 \right)$. Do đó đường thẳng cần tìm là qua điểm $\left( -1;3;-1 \right)$. Đối chiếu các đáp án chọn A. Công thức tính nhanh 2: Xác định bán kính ngoại tiếp tam giác Ta đã biết công thức từ chương trình hệ thức lượng Hình học Toán 10 như sau: Ta biết được rằng $R=\frac{abc}{4S},$ trong đó $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh tam giác và $S$ là diện tích tam giác. Áp dụng trong hình tọa độ không gian $Oxyz$, ta được $R=\frac{AB.BC.CA}{2\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|}.$ trong đó tất cả các phép toán có trong công thức trên hoàn toàn bấm trực tiếp bằng máy tính. Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;0;-1 \right),\,B\left( 1;-2;3 \right),\,C\left( 0;1;2 \right)$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. A. $\frac{7\sqrt{11}}{10}.$ B. $\frac{7\sqrt{11}}{5}.$ C. $\frac{11\sqrt{7}}{10}.$ D. $\frac{11\sqrt{7}}{5}.$ Lời giải: Ta có $AB=\sqrt{21},\,BC=\sqrt{11},\,CA=\sqrt{14},\,{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=5\sqrt{\frac{3}{2}}.$ Vì vậy $R=\frac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}=\frac{\sqrt{21}.\sqrt{11}.\sqrt{14}}{4.5\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{7\sqrt{11}}{10}.$ Chọn đáp án A. * Chú ý. Thao tác tất cả bằng máy tính, kết quả $R\approx 2,3216375$ lẻ sau đó Bình phương kết quả ta được ${{R}^{2}}=\frac{539}{100}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{11}}{10}.$ Công thức tính nhanh 3: Xác định tọa độ hình chiếu của một điểm lên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ * Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ $Ox,\,Oy,\,Oz$ lần lượt là $A\left( {{x}_{0}};0;0 \right),\,B\left( 0;{{y}_{0}};0 \right),\,C\left( 0;0;{{z}_{0}} \right)$. * Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên các mặ phẳng tọa độ $\left( Oxy \right),\,\left( Oyz \right),\,\left( Ozx \right)$ lần lượt là $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};0 \right),\,B\left( 0;{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right),\,C\left( {{x}_{0}};0;{{z}_{0}} \right)$. Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M\left( 3;2;6 \right)$ lên các trục tọa độ $Ox,\,Oy,\,Oz$. Giải. Ta có $A\left( 3;0;0 \right),\,B\left( 0;2;0 \right),\,C\left( 0;0;6 \right)\,\,\Rightarrow \,\left( ABC \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1$. Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M\left( 1;2;3 \right)$ trên các mặt phẳng tọa độ $\left( Oxy \right),\,\left( Oyz \right),\,\left( Ozx \right)$. Công thức tính nhanh 4: Xác định tọa độ điểm đối xứng qua đường thẳng, mặt phẳng * Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$. Điểm $N\left( x;y;z \right)$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $\left( P \right)$ có tọa độ là nghiệm của hệ * Chú ý. Trong hệ phương trình trên hoặc $a=0$ hoặc $b=0$ hoặc $c=0$ thì tương ứng $x={{x}_{0}}$ hoặc $y={{y}_{0}}$ hoặc $z={{z}_{0}}$. . Tọa độ điểm $N\left( x;y;z \right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$ là Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-3y+5z-4=0$ và kí hiệu $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng $\left( P \right)$ qua mặt phẳng $\left( Oxz \right)$. Hỏi phương trình của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là? A. $\left( Q \right):2x+3y+5z-4=0$. B. $\left( Q \right):2x+3y+5z+4=0$. C. $\left( Q \right):2x-3y+5z+4=0$. D. $\left( Q \right):2x-3y+5z-4=0$. Giải. Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\in \left( P \right),\,N\left( x;y;z \right)$ là điểm đối xứng của $M$ qua $\left( Oxz \right)$, ta có Thay vào phương trình của $\left( P \right)$, ta được: $2x-3\left( -y \right)+5z-4=0\Rightarrow \left( Q \right):2x+3y+5z-4=0$. Chọn đáp án A. Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+3z+4=0$. Biết $M,N$ là hai điểm đối xứng với nhau qua mặt phẳng $\left( P \right)$ và $M$ thuộc mặt cầu $\left( T \right):{{x}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=5$. Hỏi điểm $N$ thuộc mặt cầu nào dưới đây? A. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$ B. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$ C. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$ D. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$ Công thức tính nhanh 5: Mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng giao nhau $\frac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}=\pm \frac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}.$ Công thức tính nhanh 6: Viết phương trình đường phân giác trong và ngoài của tam giác Xét tam giác $ABC$, khi đó đường phân giác trong góc $A$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.$ Ngược lại, đường phân giác ngoài góc $A$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.$ Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A\left( 1;-2;1 \right),\,B\left( -2;2;1 \right),\,C\left( 1;-2;2 \right)$. Hỏi đường phân giác trong của góc A của tam giác $ABC$ cắt mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ tại điểm nào sau đây? A. $\left( 0;-\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right).$ B. $\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{4}{3} \right).$ C. $\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{8}{3} \right).$ D. $\left( 0;\frac{2}{3};-\frac{8}{3} \right).$ Giải. Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc A là x $\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{0}^{2}}}}\left( -3;4;0 \right)+\frac{1}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}\left( 0;0;1 \right)=\left( -\frac{3}{5};\frac{4}{5};1 \right)$ Chọn đáp án C. Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2};\,{{\Delta }_{2}}:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-2}$ cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Giải. Tọa độ giao điểm Lấy $B\left( 2;3;3 \right)\in {{\Delta }_{1}},\,C\left( 0;-1;3 \right)\in {{\Delta }_{2}}$ ta có Do đó $d$ là phân giác ngoài góc $A$, có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\left( 1;2;2 \right)-\frac{1}{3}\left( -1;-2;2 \right)=\frac{1}{3}\left( 2;4;0 \right)//\left( 1;2;0 \right)$ Chọn đáp án D. Công thức tính nhanh 7: Phương trình đường phân giác của hai đường thẳng cắt nhau Hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt nhau tại điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right),\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right)$. Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có véctơ chỉ phương được xác định theo công thức $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}\pm \frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right)\pm \frac{1}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right)$. Chi tiết có hai phân giác: * Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng. * Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng. Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ là phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$. A. $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.$ B. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{5}.$ C. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}.$ D. $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{1}.$ Lời giải chi tiết: Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $A\left( 1;1;-1 \right)$. Có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 1;-2;2 \right),\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 3;-4;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=3+8=9>0.$ Nên véctơ chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng là $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{3}\left( 1;-2;2 \right)+\frac{1}{5}\left( 3;-4;0 \right)=\left( \frac{14}{15};-\frac{22}{15};\frac{2}{3} \right)//($ (???) Vậy đường thẳng cần tìm là $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.$ Chọn đáp án A. Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng Lời giải chi tiết: Có $A\left( 1;1;1 \right)=d\bigcap \Delta $. Đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 3;4;0 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( -2;1;2 \right)$. Có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=-6+4=-2<0\rightarrow>90{}^\circ $. Do đó phân giác của góc nhọn $d$ và $\Delta $ sẽ đi qua A và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{5}\left( 3;4;0 \right)-\frac{1}{3}\left( -2;1;2 \right)=\left( \frac{19}{15};\frac{7}{15};-\frac{2}{3} \right)//\left( 19;7;-10 \right).$ Đối chiếu các đáp án chọn D. Bài viết gợi ý: |
