Với Cách giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.  + Để đưa một phương trình lượng giác về dạng tích ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác: Công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức hạ bậc; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng... + Sau khi đưa được phương trình về dạng tích: A.B=0 Giải từng phương trình A = 0; B= 0 Ví dụ 1: Giải phương trình 1+ cosx + cos2 x+ cos3x – sin2 x=0 A. B. C. D. Lời giải Ta có: 1+ cosx + cos2 x+ cos3x – sin2 x=0 ⇒ ( 1- sin2 x)+ cos2 x+ ( cosx+ cos3x )=0 ⇒ cos2 x+ cos2 x + 2.cos 2x.cos x= 0 ⇒ 2cos2 x + 2cos2x.cosx=0 ⇒ 2cosx . (cosx + cos2x) = 0 Chọn B Ví dụ 2: Phương trình sin3x – 4sinx. cos2x = 0 có các nghiệm là: A.x=k2π B.x= π/2+kπ C.x=kπ D. x= π/2+k2π Lời giải Ta có: sin 3x- 4sinx. cos2x = 0 ⇒ sin3x- 2[ sin3x + sin( -x)]=0 ⇒ sin3x- 2sin3x + 2sinx=0 ( vì sin(-x)= - sinx) ⇒ 2sinx= -sin3x ⇒ 2sinx= 4sin3 x- 3sinx ⇒ 2sinx – 4sin3 x+ 3sinx= 0 ⇒ 5sinx – 4sin3 x= 0 ⇒ sinx ( 5- 4sin2 x) = 0 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=kπ Chọn C. Ví dụ 3. Giải phương trình: ( -sinx + cosx) ( 1+ sinx) = cos2 x A. B. C. D. Lời giải Ta có: (- sinx + cosx) . (1+ sinx)= cos2x ⇒ ( - sinx + cosx). ( 1+sinx)- cos2 x = 0 ⇒ ( -sinx + cosx). (1+ sinx) – (1- sin2 x) = 0 ⇒ ( - sinx + cosx). ( 1+sinx) – (1- sinx).( 1+ sinx) = 0 ⇒ (1+ sinx).( - sinx + cosx – 1 + sinx) = 0 ⇒ ( 1+ sinx).( cosx- 1) = 0 Chọn D. Ví dụ 4. Giải phương trình: 2+ sin2x – 2cos2 x= 0 A. B. C. D. Lời giải Ta có: 2 + sin2x – 2cos2 x = 0 ⇒ sin 2x + ( 2-2cos2 x) = 0 ⇒ 2sinx.cosx + 2sin2 x= 0 ⇒ 2sinx ( cosx + sinx) = 0 Chọn A Ví dụ 5: Giải phương trình:cos2 4x + sin22x= 1 A. B. C. Cả A và B đúng D. Đáp án khác Lời giải Ta có: cos2 4x + sin2 2x= 1 ⇒ cos24x + sin2 2x- 1=0 ⇒ cos2 4x- cos2 2 x=0 ⇒ (cos 4x- cos2x).( cos4x+ cos2x) = 0 Chọn C. Ví dụ 6: Phương trình 4cosx – 2cos 2x – cos4x= 1 có các nghiệm là: A. B. C. D. Lời giải Ta có: 4cosx- 2cos2x – cos4x = 1 ⇒ 4cosx – 2cos 2x – ( 2cos22x – 1) – 1= 0 ⇒ 4cosx – 2cos2x - 2cos2 2x =0 ⇒ 4cos x- 2cos2x( 1+ cos2x) = 0 ⇒ 4cosx- 2cos2x .2cos2 x = 0 ⇒ 4cosx. (1 – cos 2x. cosx) = 0 ⇒ 4cosx. [ 1- ( 2cos2 x-1) . cos x]= 0 ⇒ 4cos x. [1- 2cos3 x + cosx] = 0 Chọn A . Ví dụ 7: Phương trình cosx - 1+ 2sinx – sin2x= 0 có nghiệm là: A. B. C. D. Lời giải Ta có: cosx- 1 + 2sinx – sin2x= 0 ⇒ ( cosx- sin2x) + ( 2sinx- 1) = 0 ⇒ (cosx – 2. sinx. cosx) + ( 2sinx- 1) = 0 ⇒ cosx(1 - 2sinx) – ( 1 - 2sinx)= 0 ⇒ ( cosx- 1) . ( 1-2sinx)= 0 Chọn C. Ví dụ 8: Giải phương trình: sin3x – 1= 2sinx.cos2x – cos2x A. B. C. D. Đáp án khác Lời giải Ta có: sin3x- 1= 2sinx. cos2x- cos2x ⇒ sin 3x- 1= sin3x + sin( -x) – cos2 x ⇒ sin 3x- 1 = sin3x – sin x – cos 2x ⇒ (sin3x- sin3x) + (cos2x – 1) + sinx = 0 ⇒ - 2sin2x + sin x = 0 ⇒ sinx(- 2sinx + 1) = 0 Chọn B. Ví dụ 9. Giải phương trình : cot2x + 3tan 3x = 2tan2x A. x= π/4+kπ B. x=kπ C.x= π/2+kπ D. Vô nghiệm Lời giải Điều kiện: Ta có; cot2x + 3tan3 x = 2tan2x ⇒ (cot2x + tan 3x) +(2tan3x- 2tan2x)= 0 ⇒ cosx. cos2x + 2sinx. sin2x=0 ⇒ ( cosx.cos2x + sinx.sin2x) + sinx. sin2x = 0 ⇒ cosx+ sinx. 2sinx.cosx= 0 ⇒ cosx. (1+ 2sin2 x) = 0 ⇒ cosx=0 ( vì 1+ 2sin2 x > 0 với mọi x) ⇒ x= π/2+kπ Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm Chọn D. Ví dụ 10. Giải phương trình: 4cos5x.sinx – 4sin5 x.cosx = cos22x A . B. C. D. Đáp án khác Lời giải Ta có: 4cos5x.sinx – 4sin5 x.cosx = cos22x ⇒ 4cosx.sinx .( cos4 x- sin4 x) = cos2 2x ⇒ 4.cosx.sinx. ( cos2 x –sin2 x) .( cos2 x+ sin2 x) – cos2 2x = 0 ⇒ 2sin2x. cos2x. 1 – cos2 2x= 0 ⇒ cos2x ( 2sin2x – cos2x) = 0 Chọn B Ví dụ 11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos4x – cos2x+ 2sin6 x=0 A. x= π/2 B.x= π C. x= π/3 D.x= π/4 Lời giải Ta có: cos4x – cos2x+ 2sin6 x=0 ⇒ (1- sin2 x)2 – (1- 2sin2 x) + 2sin6 x = 0 ⇒ 1 – 2sin2 x+ sin4 x – 1 +2sin2x + 2sin6 x=0 ⇒ sin4 x + 2sin6 x= 0 ⇒ sin4 x. ( 1+ 2sin2 x) = 0 ⇒ sin4 x= 0 ( vì 1+ 2sin2 x > 0 với mọi x) ⇒ sinx=0 ⇒ x=kπ ⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π ( khi đó k = 1) Chọn B Ví dụ 12. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos2x + cos22x+ cos23x = 1 A. x= π/3 B. x= π/4 C. x= π/6 D. x= π/2 Lời giải Ta có: cos2x+ cos22x+ cos23x= 1 ⇒ 1+cos2x+ 1+ cos4x+ 1+ cos 6x= 2 ⇒ ( cos 2x+ cos 6x)+ cos4x + 1 = 0 ⇒ 2cos4x. cos2x + 2cos2 2x= 0 ⇒ 2cos 2x. ( cos 4x+ cos2x)= 0 ⇒ 2cos2x. 2.cos3x. cosx = 0 ⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π/6 Chọn C. Ví dụ 13. Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình :
A. x= B. x= C. x= D. x= Lời giải Chọn D. Ví dụ 14. Giải phương trình: sin22x + sin2 4x= cos2 2x+ cos2 4x A. B. C. D. Lời giải Ta có: sin22x + sin2 4x= cos2 2x+ cos2 4x ⇒ ( sin2 2x – cos22x ) + ( sin24x – cos24x) = 0 ⇒ - cos4x – cos8x = 0 ⇒ cos4x+ cos 8x = 0 ⇒ 2.cos 6x.cos2x= 0 Chọn B. Câu 1:Giải phương trình sin2x. ( cotx + tan2x) = 4cos2 x A . B. C. D. Lời giải: Chọn D. Câu 2:Giải phương trình: cos3 x- sin3 x= 1- 2sin2 x A. B. C. D. Lời giải: Do 1- 2sin2 x= sin2 x+ cos2 x- 2sin2 x= cos2 x- sin2 x Nên: cos2 x – sin2 x = 1- 2sin2 x ⇒ (cosx – sinx) .( cos2 x + cosx. sinx + sin2 x) = cos2 x- sin2 x ⇒ ( cosx- sinx ). (1+ cosx. sinx) – ( cos2 x –sin2 x)= 0 ⇒ ( cosx- sinx). ( 1 + cosx. sinx) - ( cosx- sinx ) . (cosx+ sinx) = 0 ⇒ ( cosx- sinx ). ( 1 + cosx. sinx – cosx- sinx) = 0 ⇒ ( cosx- sinx). [ (1- cosx ) - ( - cosx. sinx + sinx) = 0 ⇒ (cosx- sinx). [( 1- cosx) - sinx(1- cosx)]= 0 ⇒ (cosx- sinx) . (1- cosx) (1- sinx) = 0 Chọn A. Câu 3:Giải phương trình: 1+ sinx+ cosx + tanx =0 A. B. C. D. Lời giải: Điều kiện: cosx ≠ 0 Chọn B Câu 4:Một họ nghiệm của phương trình 2sin2x – 2sinx = cot x – 1. A. x= B. x= C. x= D .Tất cả sai Lời giải: Điều kiện: sinx ≠ 0 Ta có: 2sin2x – 2sinx = cot x- 1 ⇒ 2sin2x -2sinx – cotx + 1 = 0 + Nếu 2cosx. sinx + cosx- sinx = 0 hay sinx- cosx – 2sinx. cosx=0 (*) Chọn A. Câu 5:Giải phương trình sin3 x+ cos3x= 2sin5 x+ 2cos5x. A. B. C. D. Lời giải: Ta có: sin3 x+ cos3x= 2sin5 x+ 2cos5x. ⇒ (sin3 x – 2sin5x ) + (cos3 x – 2cos5 x) = 0 ⇒ sin3 x( 1- 2sin2 x) + cos3 x. ( 1- 2cos2 x) = 0 ⇒ sin3 x.cos2x + cos3 x. (-cos2x) = 0 ⇒ cos 2x.( sin3 x – cos3x) = 0 ⇒ cos2x. (sinx- cosx).( sin2 x+ sinx.cosx + cos2x) =0 ⇒ cos 2x. (sinx- cosx) . (1+ sinx.cosx) = 0 Chọn B. Câu 6:Giải phương trình: tanx + tan 2x = - sin3x. cos2x A. x= kπ/6 B. x= kπ/4 C. x= kπ/3 D. Cả A và B đúng Lời giải: Chọn C. Câu 7:Giải phương trình A. B. C. D. Lời giải: Chọn D. Câu 7:Phương trình 2√2.sin 5x. cos 3x = sin4x + 2√2 sin3x. cos 5x có nghiệm là: A. x= kπ/2 B. x= kπ C. D. Lời giải: Chọn A. Câu 8:Giải phương trình cosx – sinx = sin2x - 2cos2 x : A. B. C. D. Lời giải: Ta có: cosx- sinx= sin2x -2cos2x ⇒ cosx – sinx - ( sin2x – 2cos2 x) = 0 ⇒ (cosx- sinx) - (2.sinx.cosx – 2cos2 x) = 0 ⇒ ( cosx – sinx) – 2cosx( sinx – cosx) = 0 ⇒ ( cosx- sinx).( 1- 2cosx) = 0 Chọn C. Câu 9:Đâu không là một họ nghiệm của phương trình: sin2 x+ sin22x + sin23x=2 là. A. B. C. D. Lời giải: Chọn A. Câu 10:Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình : A. B. C. D. Lời giải: Chọn B. Câu 10:Phương trình A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Lời giải: Kết hợp điều kiện suy ra phương trình đã cho có ba họ nghiệm Chọn B Câu 11:Phương trình: A. B. C. D.Đáp án khác Lời giải: Chọn D Câu 12:Giải phương trình : sin23x + cos26x = sin2 5x +cos2 4x A. B. C. D. Lời giải: ⇒ 1- cos 6x+ 1+ cos12x= 1- cos10x + 1+ cos 8x ⇒ - cos 6x+ cos12x = - cos10x + cos 8x ⇒ (cos12x + cos10x) – ( cos8x+ cos6x)= 0 ⇒ 2.cos 11x.cosx – 2cos7x. cos x= 0 ⇒ 2cosx. ( cos11x- cos7x)=0 Chọn A. Câu 12:Giải phương trình : A. B. C. D. Đáp án khác Lời giải: + Ta có: cosx+ cos2x + cos3x = ( cosx+cos 3x) + cos2x = 2cos 2x.cosx + cos2x = cos2x. (2cosx + 1) Câu 13:Giải phương trình: sin2x + cosx + 1+ 3sin2 x – cos2 x + 2sinx= 0 A. B. C. D. Đáp án khác Lời giải: Ta có: sin2x+ cosx + 1+ 3sin2 x –cos2 x+2sinx=0 ⇒ (sin2x + 2sinx ) + (cosx+ 1) + (3sin2 x – cos2x) = 0 ⇒ ( 2sinx. cosx+ 2sinx) + (cosx+1) +( 3sin2 x + sin2 x- 1) = 0 ⇒ 2sinx.( cosx+ 1) + ( cosx+ 1) + ( 4sin2 x -1) = 0 ⇒ (2sinx+ 1).( cosx+1) + ( 2sinx- 1). ( 2sinx+1) = 0 ⇒ (2sinx +1) . (cosx+ 1 +2sinx -1) = 0 ⇒ ( 2sinx+1) .( cosx+ 2sinx) = 0 Chọn C . Câu 14:Phương trình: 5sinx+ 5cosx + sin3x = cos3x + √3 (2+ sin2x) có bao nhiêu họ nghiệm? A. 1 B. 2 C.3 D.4 Lời giải: Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm. Chọn B. Câu 15:Giải phương trình A. B. C. D. Cả A và B đều đúng Lời giải: Chọn C. |
