Nhưng làm thế nào để chúng ta tính được nhiệt độ trung bình trong ngày nếu máy đo nhiệt ghi được vô hạn giá trị khác nhau? Show Trong hình trên minh họa hàm nhiệt độ T ( t ) , trong đó t được đo bằng giờ và T đo bằng 0 C , còn nhiệt độ trung bình ký hiệu T TB . Nhìn chung, chúng ta cố gắng đi tìm giá trị trung bình của một hàm số y = f ( x ), a ≤ x ≤ b. Chúng ta chia đoạn [ a , b ] thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài Sau đó chọn điểm x1∗ , ..., xn∗ trong các đoạn n liên tục này và tính trung bình cộng các số f ( x1∗ ), ..., f ( xn∗ ) : Nếu chúng ta cho n tăng, chúng ta sẽ phải tính giá trị trung bình của một loạt các giá trị cách nhau khá gần, giá trị giới hạn sẽ là: theo định nghĩa của tích phân xác định. Vì vậy ta có giá trị trung bình của f trên đoạn [ a , b ] là: Ví dụ. Tìm giá trị trung bình của hàm số f ( x ) = 1 + x2 trên đoạn [− 1 , 2 ] Giải. Áp dụng công thức cho a = − 1 , b = 2 Nếu T ( t ) là nhiệt độ tại thời điểm t, thì chúng ta sẽ nghĩ đến một thời điểm mà tại đó nhiệt độ bằng với nhiệt độ trung bình. Nói một cách khái quát, liệu có tồn tại một số c mà tại đó giá trị của hàm bằng với giá trị trung bình của hàm số đó, tức là f ( c ) = f TB . Để trả lời câu hỏi ta có Định lý sau đây Định Lý Giá Trị Trung Bình Đối Với Tích Phân. Nếu f liên tục trên đoạn [ a , b ] thì luôn tồn tại một số c ∈ [ a , b ] sao cho tức là Định lý giá trị trung bình đối với tích phân là hệ quả rút ra từ Định lý giá trị trung bình của đạo hàm và là Định lý cơ bản của Giải tích. Giá trị trung bình của Tích phân được giải thích bằng hình học như sau: Đối với hàm số dương f , luôn tồn tại một số c sao cho hình chữ nhật có đáy là [ a , b ] và chiều cao f ( c ) có cùng diện tích với miền nằm dưới đồ thị f từ a đến b. Định lý giá trị trung bình đối với tích phân là hệ quả rút ra từ Định lý giá trị trung bình của đạo hàm và là Định lý cơ bản của Giải tích. Giá trị trung bình của Tích phân được giải thích bằng hình học như sau: Đối với hàm số dương f , luôn tồn tại một số c sao cho hình chữ nhật có đáy là [ a , b ] và chiều cao f ( c ) có cùng diện tích với miền nằm dưới đồ thị f từ a đến b. Ví dụ. Vì f ( x ) = 1 + x2 liên tục trên [− 1 , 2 ] nên theo Định lý giá trị trung bình của tích phân thì tồn tại số c thuộc đoạn [− 1 , 2 ] sao cho khi đó f ( c ) = f TB = 2 Ví dụ. Tại một thành phố , nhiệt độ (đo bằng 0 F)trong t giờ đồng hồ sau 9 giờ sáng được mô phỏng bằng hàm số
0% found this document useful (0 votes) 984 views 19 pages Các định lí về giá trị trung bình. Copyright© © All Rights Reserved Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?0% found this document useful (0 votes) 984 views19 pages Cac Dinh Ly Ve Gia Tri Trung Binh Va Mot So AP DungJump to Page You are on page 1of 19 CÁC ĐNH LÝ V GIÁ TRTRUNG BÌNH VÀ MT S ÁPDNG————————————– Phí Văn Dương Trưng THPT Nguyn Trãi CÁC ĐNH LÝ V GIÁ TR TRUNG BÌNH VÀ MT S ÁPDNG VÀO GII TOÁN SƠ CP Trong quá trình ging dy cho hc sinh ôn thi Đi hc và chuyên đ chohc sinh chuyên Toán cũng như bi dưng hc sinh gii Toán 12 d thi hcsinh gii quc gia, tôi nhn thy có mt vn đ nh, phương pháp chngminh đơn gin, nhưng vic áp dng nó li cho nhiu kt qu rt ln, đó làvn dng các đnh lý Rolle, Lagrange, Cauchy v giá tr trung bình vào giitoán.Vi khuôn kh như mt bài báo, tôi xin nêu các đnh lý như trong quátrình bn thân đã dy cho hc sinh, xin nêu mt s nhng kt qu mà hocsưu tm, hoc t mình đã nghiên cu đưc dù còn nh nhưng rt có ý nghĩa,kt qu này cũng đã đưc trình bày cùng các đng nghip trong t Toán catrưng THPT Nguyn Trãi.Vì thi gian hn ch, kt qu thu đưc dù đp nhưng còn nh, mong đưcs đóng góp, phê bình ca nhng đng nghip, nhng ngưi thy đi trưc,xin chân thành cm ơn! I-CÁC ĐNH LÝ V GIÁ TR TRUNG BÌNH 1 1. Đnh lý Rolle: Cho hàm s y \= f ( x ) liên tc trên [ a,b ] có đo hàm trong ( a,b ) và f ( a ) \= f ( b ) khi đó có s c ∈ ( a,b ) sao cho f ( c ) \= 0 .Ta không chng minh đnh lý này. 2. Đnh lý Lagrange: Cho y \= f ( x ) liên tc trên [ a,b ] , có đo hàm trong ( a,b ) khi đó có c ∈ ( a,b ) sao cho f ( b ) − f ( a ) b − a \= f ( c ) . Chng minh. Xét h ( x ) \= f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) − f ( x ) . D thy h ( x ) liên tc trên [ a,b ] , có đo hàm trên ( a,b ) và h ( a ) \= − f ( a ) , h ( b ) \= f ( b ) − f ( a ) − f ( b ) \= − f ( a ) \= h ( a ) . Theo Đnh lý Rolle ta có c ∈ ( a,b ) : h ( c ) \= 0 ⇒ f ( b ) − f ( a ) b − a − f ( c ) \= 0 ⇒ đpcm. 3. Đnh lý Cauchy: Cho f ( x ) và g ( x ) liên tc trên [ a,b ] , có đo hàm trên ( a,b ) , g ( a ) \= g ( b ) , g ( x ) \= 0 ∀ x ∈ ( a,b ) . Khi đó có c ∈ ( a,b ) : f ( b ) − f ( a ) b − a \= f ( c ) g ( c ) (1.1) Chng minh. Có (1 . 1) ⇔ f ( c )[ g ( b ) − g ( a )] − [ f ( b ) − f ( a )] g ( c ) \= 0 . Xét hàms h ( x ) \= [ g ( b ) − g ( a )] f ( x ) − [ f ( b ) − f ( a )] g ( x ) . D thy h ( x ) tha mãn điu kin ca đnh lý Rolle h ( a ) \= h ( b ) \= g ( b ) f ( a ) − f ( b ) g ( a ) , do đó có c ∈ ( a,b ) : h ( c ) \= 0 , hay f ( c )[ g ( b ) − g ( a )] − [ f ( b ) − f ( a )] g ( c ) \= 0 . 2 II-MT S ÁP DNG1. Bài toán 1: Cho a,b,c ∈ R , m \> 0 sao cho am + 2 + bm + 1 + cm \= 0 . Chng minh rng phương trình ax 2 + bx + c \= 0 có ít nht mt nghim trong (0 , 1) . Chng minh. Xét hàm s f ( x ) \= ax m +2 m +2 + bx m +1 m +1 + cx m m vi x \> 00 vi x \= 0 , d dang kim tra đưc f ( x ) liên tc trên [0 , 1] và ∀ x \> 0 có f ( x ) \= ax m +1 + bx m + cx m − 1 .Li có f (1) = am + 2 + bm + 1 + cm \= 0 (gt) f (0) = 0 . Theo đnh lý Rolle, có θ ∈ (0 , 1) sao cho f ( θ ) \= 0 ⇒ aθ m +1 + bθ m + cθ m − 1 \= 0 ⇒ θ m − 1 ( aθ 2 + bθ + c ) \= 0 ⇒ aθ 2 + bθ + c \= 0 (do θ ∈ (0 , 1) nên θ m − 1 \> 0 ) ⇒ Phương trình ax 2 + bx + c có nghim θ ∈ (0 , 1) . 2. Bài toán 2: Chng minh rng ∀ x,y ∈ R có | sin x − sin y
x − y | .3 Reward Your CuriosityEverything you want to read. Anytime. Anywhere. Any device. No Commitment. Cancel anytime.  |
