CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. Lý thuyết I. Ứng dụng hệ thức Vi-ét: Xét phương trình bậc hai: \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( * \right)\text{ ,}\left( a\ne 0 \right),\Delta ={{b}^{2}}-4ac\]. Gọi \[S\], \[P\] lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm \[{{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\]. Hệ thức Viét: .
II. Các hệ thức thường gặp
\[={{\left( {{S}^{2}}-2P \right)}^{2}}-2{{P}^{2}}\].
B. Bài tập I. Bài tập minh họa Câu 1: Cho phương trình $\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-2mx+1=0$. Xác định $m$ để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng $\left( -1;0 \right)$. Lời giải
$\Delta '={{m}^{2}}-\left( 2m-1 \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0$ mọi $m$. Suy ra phương trình có nghiệm với mọi $m$. Ta thấy nghiệm $x=1$không thuộc khoảng $\left( -1;0 \right)$ Với $m\ne \frac{1}{2}$phương trình còn có nghiệm là $x=\frac{m-m+1}{2m-1}=\frac{1}{2m-1}$ Phương trình có nghiệm trong khoảng $\left( -1;0 \right)$ suy ra Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng $\left( -1;0 \right)$ khi và chỉ khi $m<0$.<> Câu 2: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\] (\[x\] là ẩn số)
Lời giải
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$<>
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Theo đề bài: \[{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\] \[\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=5-4m\] Ta có hệ phương trình: $\Rightarrow \frac{m+1}{2}\cdot \frac{3(m-1)}{2}={{m}^{2}}-1\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=4\left( {{m}^{2}}-1 \right)$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$ Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow m=\pm 1$ là các giá trị cần tìm Câu 3: Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{2}}+5x+3m-1=0$ (\[x\] là ẩn số, $m$ là tham số) có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn $x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$ Lời giải \[\Delta ={{5}^{2}}-4.1.\left( 3m-1 \right)=29-12m\] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[\Rightarrow \Delta \ge 0\Rightarrow m\le \frac{29}{12}\] Áp dụng hệ thức Vi-ét Ta có: $x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$ $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$ $\Rightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 25-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$ $\Leftrightarrow 25\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)-\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right){{x}_{1}}{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$ $\Rightarrow {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=3$ Kết hợp ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5$ suy ra ${{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-4$ Thay vào ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1$ suy ra $m=\frac{5}{3}$ Vậy $m=\frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm Câu 4: Cho phương trình ${{x}^{2}}-10mx+9m=0$ ($m$ là tham số)
Lời giải
Ta có $a+b+c=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $\Delta '>0\Leftrightarrow 25{{m}^{2}}-9m>0$ (*) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Câu 5: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m+1)x+{{m}^{2}}+m-1=0$ ($m$ là tham số)
Lời giải a) Với $m=0$, phương trình đã cho trở thành: ${{x}^{2}}-2x-1=0$ $\Delta '=2\text{ ; }{{\text{x}}_{1,2}}=1\pm \sqrt{2}$ Vậy với $m=0$ thì nghiệm của phương trình đã cho là ${{x}_{1,2}}=1\pm \sqrt{2}$. b) $\Delta '=m+2$ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow m+2>0\Leftrightarrow m>-2$ Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Do đó: $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=4\Leftrightarrow \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=4\Leftrightarrow \frac{2(m+1)}{{{m}^{2}}+m-1}=4$ Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow m\in \left\{ 1;-\frac{3}{2} \right\}$ là các giá trị cần tìm. II. Bài tập tự luyện Câu 1: Cho phương trình $2{{x}^{2}}+(2m-1)x+m-1=0$ ($m$ là tham số). Không giải phương trình, tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn $3{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=11$ Câu 2: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m-1)x+{{m}^{2}}-3=0$ ($m$ là tham số).
Câu 3: Cho phương trình $\frac{1}{2}{{x}^{2}}-mx+\frac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1=0$ ($m$ là tham số).
Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-{{m}^{2}}x+m+1=0$ ($m$ là tham số) có nghiệm nguyên. Câu 5: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m-1)x+m-3=0$ ($m$ là tham số).
Câu 6: Cho phương trình ${{x}^{2}}-mx+m-1=0$ ($m$ là tham số).
Câu 7: Cho phương trình ${{x}^{2}}-\left( 2m+2 \right)x+2m=0$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn $\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}\le \sqrt{2}$ Câu 8: Cho phương trình ${{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0$ ($m$ là tham số). Gọi \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của $m$ để $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}+2007$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 9: Cho phương trình ${{x}^{2}}+2mx+2m-1=0$ ($m$ là tham số). Gọi \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của $m$ để $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}$ đạt giá trị lớn nhất. Câu 10: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m-5=0$ ($m$ là tham số).
Câu 11: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-mx+m-2=0\] ($m$ là tham số).
Câu 12: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-mx-1=0\] (1) ($m$ là tham số).
Tính giá trị của biểu thức: $P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}$ Câu 13: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\] $\left( 1 \right)$ ($m$ là tham số).
Câu 14: Tìm $m$ để phương trình \[{{x}^{2}}-2x-2m+1=0\] ($m$ là tham số) có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn điều kiện \[x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8\]. Câu 15: Xác định giá trị $m$ trong phương trình \[{{x}^{2}}-8x+m=0\] để \[4+\sqrt{3}\] là nghiệm của phương trình. Với $m$ vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại. Câu 16: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m-1=0\] ($m$ là tham số).
Câu 17: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-\frac{1}{2}=0\] ($m$ là tham số).
Câu 18: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-2x+m+3=0\] ($m$ là tham số).
Câu 19: Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình \[{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\] có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] sao cho biểu thức $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 20: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( m+5 \right)x+2m+6=0\] (\[x\] là ẩn số)
Hướng dẫn giải Câu 1: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thì $\Delta >0$ $\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.2.\left( m-1 \right)>0$ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-12m+9>0\Leftrightarrow {{\left( 2m-3 \right)}^{2}}>0\Rightarrow m\ne \frac{3}{2}$ Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có: Giải phương trình \[3\frac{13-4m}{7}-4\frac{7m-7}{26-8m}=11\] Ta được Câu 2:
$\Leftrightarrow {{\left[ -\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-1.\left( {{m}^{2}}-3 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow -2m+4\ge 0$ $\Leftrightarrow m\le 2$ Vậy $m\le 2$ là các giá trị cần tìm Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là $a$ thì nghiệm kia là $3a$. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \[\Rightarrow a=\frac{m-1}{2}\Rightarrow 3{{\left( \frac{m-1}{2} \right)}^{2}}={{m}^{2}}-3\] \[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+6m-15=0\] \[\Rightarrow m=-3\pm 2\sqrt{6}\](thỏa mãn điều kiện) Vậy \[\Rightarrow m=-3\pm 2\sqrt{6}\] là các giá trị cần tìm. Câu 3: Với $m=-1$ phương trình trở thành \[\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x-\frac{9}{2}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-9=0\]
\[\Leftrightarrow {{\left( -m \right)}^{2}}-4.\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1 \right)>0\Leftrightarrow -8m+2>0\Leftrightarrow m<\frac{1}{4}\]<> Để phương trình có nghiệm khác 0 \[\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1\ne 0\] Ta có \[\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}-1 \right)=0\] Kết hợp với điều kiện ta được Câu 4: $\Delta ={{\left( -{{m}^{2}} \right)}^{2}}-4.1.\left( m+1 \right)={{m}^{4}}-4m-4$ Phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta ={{m}^{4}}-4m-4$ là số chính phương Nếu thì $\Delta <0$>Nếu $m=2$ thì $\Delta =4={{2}^{2}}$ (nhận) Nếu $m\ge 3$ thì $2m\left( m-2 \right)>5\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-5>0$ $\Leftrightarrow \Delta -\left( 2{{m}^{2}}-4m-5 \right)<\delta> $\Leftrightarrow {{m}^{4}}-2{{m}^{2}}+1<\delta> $\Delta $ không là số chính phương. Vậy $m=2$là giá trị cần tìm Câu 5: a) ${{\Delta }^{'}}={{\left[ -\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-1.\left( m-3 \right)={{m}^{2}}-3m+4={{\left( m-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}>0$, $\forall m$ Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-4=0$ không phụ thuộc vào $m$. c) $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{\left( m-1 \right)}^{2}}-2\left( m-3 \right)$ $={{\left( 2m-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{15}{4}\ge \frac{15}{4}$, $\forall m$ Do đó ${{P}_{\min }}=\frac{15}{4}$ và dấu $''=''$ xảy ra khi $2m-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{4}$ Vậy ${{P}_{\min }}=\frac{15}{4}$ với $m=\frac{5}{4}$. Câu 6: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Ta có \[M=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1}{x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}=\frac{{{m}^{2}}-2\left( m-1 \right)-1}{\left( m-1 \right)m}\] \[=\frac{{{m}^{2}}-2m+1}{m\left( m-1 \right)}=\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{m\left( m-1 \right)}\] Để $M>0\Rightarrow \frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{m\left( m-1 \right)}>0\Rightarrow m\left( m-1 \right)>0$
$={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0$, $\forall m$ Do đó ${{P}_{\min }}=0$ và dấu $''=''$ xảy ra khi $m-1=0\Leftrightarrow m=1$ Vậy ${{P}_{\min }}=0$ với $m=1$. Câu 7: Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là Theo hệ thức Vi-ét: Ta có $\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\le 2$ $\Leftrightarrow 2m+2+2\sqrt{2m}\le 2\Leftrightarrow m=0$ (thoả mãn) Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm. Câu 8: Ta có $\Delta ={{\text{ }\!\![\!\!\text{ -(m+1) }\!\!]\!\!\text{ }}^{\text{2}}}-4m={{m}^{2}}-2m+1={{(m-1)}^{2}}$ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta >0\Rightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Rightarrow m\ne 1$ Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Ta có $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}+2007={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2007$ $=m\left( m+1 \right)+2007={{m}^{2}}+m+2007={{m}^{2}}+2.m.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+2006+\frac{3}{4}$ $={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{8027}{4}\ge \frac{8027}{4}$, $\forall m$ Dấu $''=''$ xảy ra $m+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}$ Vậy ${{A}_{\min }}=\frac{8027}{4}$ với $m=-\frac{1}{2}$. Câu 9: Ta có $\Delta ={{\left( 2m \right)}^{2}}-4.1.\left( 2m-1 \right)=4{{m}^{2}}-8m+4=4{{\left( m-1 \right)}^{2}}$ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta >0\Rightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Rightarrow m\ne 1$ Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Ta có $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $=m\left( m+1 \right)+2007=\left( 2m-1 \right)\left( -2m \right)=-4{{m}^{2}}+2m=-4\left( {{m}^{2}}-\frac{1}{2}m \right)$ $=-4\left( {{m}^{2}}-2.m.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16} \right)=-4{{\left( m-\frac{1}{4} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$, $\forall m$ Dấu $''=''$ xảy ra $m-\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$ Vậy ${{A}_{\operatorname{m}\text{ax}}}=\frac{1}{4}$ với $m=\frac{1}{4}$. Câu 10:
$={{\left( 2m \right)}^{2}}-2.2m.3+9+13={{\left( 2m+3 \right)}^{2}}+13>0$, $\forall m$ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$. Theo hệ thức Vi-ét, ta có (I)Theo giả thiết (II)Thay (I) vào (II) ta có: $\left( 2m-5 \right)-\left( 2m-2 \right)+1<0\leftrightarrow> Vậy với mọi $m$ thì phương trình trên có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$.<> Câu 11:
\[\Delta ={{m}^{2}}-4.(m-2)={{m}^{2}}-4m+8={{(m-2)}^{2}}+4>4>0\], \[\forall m\] Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$.
Phương trình \[{{x}^{2}}-mx+m-2=0\Rightarrow {{x}^{2}}-2=mx-m\] Ta có \[\frac{x_{1}^{2}-2}{{{x}_{1}}-1}.\frac{x_{2}^{2}-2}{{{x}_{2}}-1}=4\Leftrightarrow \frac{m{{x}_{1}}-m}{{{x}_{1}}-1}.\frac{m{{x}_{2}}-m}{{{x}_{2}}-1}=4\]\[\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}({{x}_{1}}-1)({{x}_{2}}-1)}{({{x}_{1}}-1)({{x}_{2}}-1)}=4\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2\] Vậy $m=\pm 2$ là các giá trị cần tìm. Câu 12:
b. Ta có do \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là nghiệm của phương trình (1).Do đó $P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}=\frac{m{{x}_{1}}+1+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{m{{x}_{2}}+1+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}$ $=\frac{{{x}_{1}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{1}}}-\frac{{{x}_{2}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{2}}}=\left( m+1 \right)-\left( m+1 \right)=0$ vì \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\]$\ne 0$. Vậy $P=0$. Câu 13:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\Leftrightarrow -4m+5>0\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$<> Theo hệ thức Vi-ét, ta có Ta có ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4{{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)=2m-1-4{{x}_{2}}\Leftrightarrow 6m-6-4{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{3m-3}{2}$ Suy ra ${{x}_{1}}=\frac{m+1}{2}$ Do đó $\frac{m+1}{2}.\frac{3m-3}{2}={{m}^{2}}-1\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$ (thỏa mãn điều kiện có nghiệm) Vậy $m=\pm 1$ là các giá trị cần tìm. Câu 14: $\Delta ={{\left( -2 \right)}^{2}}-4.1.\left( -2m+1 \right)=8m$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\Leftrightarrow 8m>0\Leftrightarrow m>0$ Theo hệ thức Vi-ét, ta có (I)Ta có \[x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=8\] \[\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=8\] (II) Thay (I) vào (II) ta có: \[2{{(-2m+1)}^{2}}-\left[ 4-2\left( -2m+1 \right) \right]=8\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-3m-2=0\] So với điều kiện có nghiệm $m>0$. Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm. Câu 15: Do \[4+\sqrt{3}\] là nghiệm của phương trình nên thỏa: ${{\left( 4+\sqrt{3} \right)}^{2}}-8\left( 4+\sqrt{3} \right)+m=0$ $\Leftrightarrow m-13=0\Leftrightarrow m=13$ Thay \[m=13\]vào phương trình ta được phương trình: \[{{x}^{2}}-8x+13=0\] $\left( * \right)$ ${{\Delta }^{'}}={{\left( -4 \right)}^{2}}-1.13=3$ Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt là: Vậy $x=4-\sqrt{3}$ là giá trị cần tìm. Câu 16:
Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Ta có $A=\left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)=5{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)=9{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}$ $=9\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)-2{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}={{m}^{2}}+m-11$ $={{m}^{2}}+2.m.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-11={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{45}{4}\ge -\frac{45}{4}$, $\forall m$ Dấu $''=''$ xảy ra $m+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$ Vậy ${{A}_{\min }}=-\frac{45}{4}$ với $m=-\frac{1}{2}$. Câu 17:
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$. b. Hai nghiệm của phương trình là Theo đề bài ta có $\left| m-\frac{\sqrt{2}}{2} \right|=\left| m+\frac{\sqrt{2}}{2} \right|\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\sqrt{2}m+\frac{1}{2}={{m}^{2}}+\sqrt{2}m+\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{2}m=0\Leftrightarrow m=0$ c. Theo định lý Pitago ta có: ${{\left( m-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( m+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4=0$ Câu 18:
${{(-1)}^{2}}-2.(-1)+m+3=0\Leftrightarrow m+6=0\Leftrightarrow m=-6$ Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow -1+{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow {{x}_{2}}=3$ Vậy $m=6$ và nghiệm còn lại là $x=3$.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow m<-2$<> Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Ta có $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})=8$ $\Leftrightarrow {{2}^{3}}-3.(m+3).2=8\Leftrightarrow 6(m+3)=0\Leftrightarrow m+3=0$ $\Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn điều kiện) Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm. Câu 19: $\Delta ={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.1.\left( {{m}^{2}}-1 \right)=-4m+5$ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$.<> Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Ta có $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $={{\left[ -\left( 2m+1 \right) \right]}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-1 \right)=2{{m}^{2}}-4m+3$ $=2\left( {{m}^{2}}-2.m.1+1-1 \right)+3=2{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1\ge 1$, $\forall m$ Dấu $''=''$ xảy ra $m-1=0\Leftrightarrow m=1$ (nhận) Vậy ${{P}_{\min }}=1$ khi $m=1$. Câu 20:
\[={{\left( m+5 \right)}^{2}}-4.\left( 2m+6 \right)\] \[={{m}^{2}}+10m+25-8m-24\] \[={{m}^{2}}+2m+1\] \[={{\left( m+1 \right)}^{2}}\ge 0;\,\forall m\] Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm.
Bài viết gợi ý: |