Tham khảo tài liệu "bài tập hàm nhiều biến", khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả  BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN Tìm miền xác định của hàm x 3) u = ln(2z2 – 6x2 – 3y2 – 6) a2 − x2 − y 2 . Bạn đang xem: Bài tập hàm nhiều biến có lời giải 1) u = 2) u = arcsin . y2 Giới hạn của hàm nhiều biến x− y 1) Chứng minh rằng đối với hàm f(x, y) = ; x+ y ( ) lim⎛ lim f ( x, y ) ⎞ = 1 ; lim lim f ( x, y ) = −1 . Trong khi đó lim f ( x, y ) không tồn tại. ⎜ ⎟ x →0 ⎝ y → 0 ⎠ y →0 x →0 x →0 y →0 x2 y2 . Có lim⎛ lim f ( x, y ) ⎞ = 2) Chứng minh rằng đối với hàm f(x, y) = 2 2 ⎜ ⎟ x →0 ⎝ y →0 ⎠ x y + ( x − y) 2 ( )lim lim f ( x, y ) = 0. Nhưng không tồn tại lim f ( x, y ) .y →0 x →0 x →0 y →0 3) Tìm các giới hạn kép sau đây: x+ y c) lim (x 2 + y 2 )e − ( x + y ) . sin xy a.) lim . b) lim . x → ∞ x − xy + y 2 2 x →0 x → +∞ x y →∞ y→a y → +∞ x2 ln( x + e y ) d) lim(x 2 + y ) ⎛ 1⎞ x+ y 22 2xy e) lim⎜1 + ⎟ . . f) lim . y →a ⎝ x⎠ x2 + y2 x →0 x →∞ x →1 y →0 y →0 Xét sự liên tục của hàm nhiều biến 1) Chứng minh rằng hàm số: ⎧ 2 xy nếu x2 + y2 ≠ 0 ⎪ f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 Liên tục theo mỗi biến x và y riêng biệt (với ⎪0giá trị cố định của biến kia), nhưng không liên tục nếu x2 + y2 = 0 ⎩đồng thời theo cả hai biến đó. 2) Chứng minh rằng hàm số: ⎧ x 2 y nếu x2 + y2 ≠ 0 ⎪2 Liên tục tại điểm (0, 0). ⎨x + y 2 ⎪0 nếu x2 + y2 = 0 ⎩ Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến x 1) Cho hàm số: f(x, y) = x + (y – 1)arcsin tìm f’x(x, 1). y ∂u ∂u 2) Cho u = x2 – 3xy – 4y2 – x + 2y + 1. Tìm và . ∂y ∂x ∂z ∂z 2 + y2 3) z = e x , tìm , . ∂x ∂y 1 ∂z 1 ∂z z 4) Chứng tỏ rằng, hàm z = yln(x2 – y2), thoả mãn phương trình: + = x ∂x y ∂y y 2 Xét sự khả vi của hàm 1) Cho hàm u = f(x, y) = xy . Hàm số đó có khả vi tại điểm O(0, 0) hay không? 3 1 − khi x2 + y2 > 0 và f(0, 0) = 0 tại điểm x2 + y2 2) Khảo sát tính khả vi của hàm f(x, y) = eO(0, 0).Xem thêm: Trường Đại Học Thể Dục Thể Thao Bắc Ninh, Trường Đh Thể Dục Thể Thao Bắc Ninh 3) Chứng minh rằng f(x, y) = xy liên tục tại O(0, 0), có cả hai đạo hàm riêng f’x(0,0), f’y(0, 0) tại điểm đó, tuy nhiên hàm này không khả vi tại O(0, 0). ⎧ xy 4) Cho hàm nếu x2 + y2 ≠ 0 ⎪2 f ( x, y ) = ⎨ x + y 2 khi x ngoài đoạn ⎪0 nếu x2 + y2 = 0 ⎩ Chứng minh rằng trong lân cận của điểm (0, 0), hàm liên tục và có các đạo hàmriêng f’x(x, y), f’y(x, y) giới nội. Tuy nhiên hàm đó không khả vi tại điểm O(0, 0). Tìm vi phân của hàm 1) Tìm du nếu: x+ y 2 a.) u = arctg . b) u = x y z . x− y 2) Bằng cách thay số gia của hàm bởi vi phân, hãy tính gần đúng: 1,02 sin 2 1.55 + 8.e 0, 015 . a.) b) arcrg . 0,95 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 1) Cho u = ylnx. Tìm , , . ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 2) Cho u = sinx.siny. Tìm d2u. 3) Cho u = x2y. Tìm d3u. Tìm cực trị của hàm nhiều biến 1) Tìm cực trị của hàm 1 x y a.) u = x2 + xy + y2 – 3x – 6y. b) u = xy + (47 – x – y)( + ). 2 3 4 y2 1 x2 + y2 . c) u = x + + +2. d) u = 1 - 4x y2) Tìm cực trị có điều kiện của hàm: u = xy với điều kiện x2 + y2 = 2a2. 1 z y3) Tìm cực trị của hàm f(x, y, z) = x + + + . y x z x2 y24) Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x + y với điều kiện: + = 1. 4 95) Tìm cực trị của hàm f(x, y, z, u) = x + y + z + u với điều kiện: g(x, y, z, u) = 16 – xyzu = 0.Loading Preview Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.
6. Các ví dụ: Ví dụ 1: Không tồn tại giới hạn kép, nhưng tồn tại giới hạn lặp Xét ví dụ 2 ở mục 4. Ta có:
Ví dụ 2: Các giới hạn lặp tồn tại nhưng khác nhau Ta xét hàm số Khi đó: , Ví dụ 3: Tồn tại giới hạn kép, nhưng không tồn tại giới hạn lặp nhưng không tồn tại 7. Liên tục: Hàm số f(x; y) được gọi là liên tục tại nếu: 1. f(x; y) xác định tại 2. Tồn tại 3. Hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền xác định Df Nhận xét: Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là một hàm liên tục, thương của hai hàm liên tục là một hàm liên tục (nếu hàm ở mẫu số khác không). Bài tập giải mẫu:
Ta chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn. Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường cong parabol : (k – hằng số). Ta có :
Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau. Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0) Cách 2: Xét hai dãy điểm sau: và Nhưng: Còn: Vậy hàm số đã cho không có giới hạn
Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng : (k – hằng số). Ta có :
Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau. Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0) Cách 2: Xét hai dãy điểm sau: và Nhưng: Còn: Vậy hàm số đã cho không có giới hạn. Cách 3: Chuyển hàm số đã cho về tọa độ cực ta có: x = r.cosφ ; y = r.sinφ. Và khi (x; y) → (0;0) thì r → 0. Khi đó ta có: Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào góc quay φ, nên giá trị giới hạn sẽ thay đổi khi φ thay đổi.
Bài này chỉ khác bài trên ở chỗ tử số có thêm x. Tuy nhiên, kết quả bài toán này hoàn toàn thay đổi. ta sẽ chứng minh giới hạn hàm số sẽ bằng 0 khi (x;y) → (0; 0) Thật vậy: ta có: Mà Vậy theo định lý giới hạn kẹp ta có được giới hạn hàm số bằng 0 khi (x; y) → (0;0) Việc ta tìm cách tính giới hạn bằng cách sử dụng định lý kẹp cho bài trên xuất phát từ việc ta chuyển hàm số về tọa độ cực thì giá trị giới hạn của hàm số luôn bằng 0 khi tiến về 0, với mọi giá trị φ. Chính điều này, là điều kiện cần (nhưng không đủ) giúp cho ta biết được giá trị giới hạn hàm số là tồn tại và bằng o.
Các bạn có thể chứng minh bài toán này không có giới hạn bằng cách chuyển về tọa độ cực, hoặc xét dãy điểm tiến về (0;0) theo đường tròn: (k – hằng số) (xuất phát từ việc trong hàm số có chứa nên ta xây dựng đường tròn đi qua gốc tọa độ), hoặc bạn cũng có thể xét 2 dãy điểm khác nhau cùng tiến về (0; 0) là: |
