Cách đây bao nhiêu năm urani tự nhiên

Question

Trang chủ

Sách ID

Khóa học miễn phí

Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023

Hiện nay urani tự nhiên chứa hai đồng vị phóng xạ $^{235}$U và $^{238}$U, với tỉ lệ số hạt $^{235}$U và số hạt $^{238}$U là 7/1000. Biết chu kì bán rã của $^{235}$U và $^{238}$U lần lượt là 7,00. 10$^{8}$năm và 4,50. 10$^{9}$ năm. Cách đây bao nhiêu năm, urani tự nhiên có tỷ lệ số hạt $^{235}$U và số hạt $^{238}$U là 3/100?

A. 2,74 tỉ năm.

B. 1,74 tỉ năm.

C. 2,22 tỉ năm.

D. 3,15 tỉ năm.

Hướng dẫn

Ta có $\frac{{{N}_{U235}}}{{{N}_{U238}}}=\frac{{{N}_{{{0}_{U235}}}}}{{{N}_{0238}}}{{. 2}^{t\left( \frac{1}{{{T}_{2}}}-\frac{1}{{{T}_{1}}} \right)}}\Rightarrow \frac{7}{1000}=\frac{3}{100}{{. 2}^{t\left( \frac{1}{4,{{5. 10}^{9}}}-\frac{1}{{{7. 10}^{8}}} \right)}}\Rightarrow t=1,{{74. 10}^{9}}$(năm)

Giải chi tiết:

Gọi ${N_{01}};{N_{02}}$ lần lượt là số hạt nhân ban đầu của ${}^{235}U$ và ${}^{238}U$

Hiện nay: $\dfrac{{{N_1}}}{{{N_2}}} = \dfrac{{{N_{01}}{{.2}^{ - \dfrac{{{t_2}}}{{{T_1}}}}}}}{{{N_{02}}{{.2}^{ - \dfrac{{{t_2}}}{{{T_2}}}}}}} = \dfrac{7}{{1000}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Tại thời điểm t1: $\dfrac{{{N_1}}}{{{N_2}}} = \dfrac{{{N_{01}}{{.2}^{ - \,\dfrac{{{t_1}}}{{{T_1}}}}}}}{{{N_{02}}{{.2}^{ - \,\dfrac{{{t_1}}}{{{T_2}}}}}}} = \dfrac{3}{{100}}\,\,\,\left( 2 \right)$

Chia (1) cho (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{2^{ - \,\dfrac{{{t_2}}}{{{T_1}}}}}{{.2}^{ - \,\dfrac{{{t_1}}}{{{T_2}}}}}}}{{{2^{ - \,\dfrac{{{t_2}}}{{{T_2}}}}}{{.2}^{ - \,\dfrac{{{t_1}}}{{{T_1}}}}}}} = \dfrac{7}{{30}}\, \Leftrightarrow {2^{ - \,\dfrac{{{t_2}}}{{{T_1}}}}}{.2^{ - \,\dfrac{{{t_1}}}{{{T_2}}}}}{.2^{\,\dfrac{{{t_2}}}{{{T_2}}}}}{.2^{\,\dfrac{{{t_1}}}{{{T_1}}}}} = \dfrac{7}{{30}}\\ \Leftrightarrow \left( {{2^{ - \,\dfrac{{{t_2}}}{{{T_1}}}}}{{.2}^{\,\dfrac{{{t_1}}}{{{T_1}}}}}} \right).\left( {{2^{ - \,\dfrac{{{t_1}}}{{{T_2}}}}}{{.2}^{\,\dfrac{{{t_2}}}{{{T_2}}}}}} \right) = \dfrac{7}{{30}}\\ \Leftrightarrow {2^{ - \dfrac{{{t_2} - {t_1}}}{{{T_1}}}}}{.2^{\dfrac{{{t_2} - {t_1}}}{{{T_2}}}}} = \dfrac{7}{{30}} \Leftrightarrow {2^{\left( {{t_2} - {t_1}} \right).\left( {\dfrac{1}{{{T_2}}} - \dfrac{1}{{{T_1}}}} \right)}} = \dfrac{7}{{30}}\\ \Leftrightarrow \left( {{t_2} - {t_1}} \right).\left( {\dfrac{1}{{{T_2}}} - \dfrac{1}{{{T_1}}}} \right) = \ln \dfrac{7}{{30}} \Rightarrow \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = \dfrac{{{{\log }_2}\dfrac{7}{{30}}}}{{\left( {\dfrac{1}{{{T_2}}} - \dfrac{1}{{{T_1}}}} \right)}}\\ \Rightarrow \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = \dfrac{{{{\log }_2}\dfrac{7}{{30}}}}{{\left( {\dfrac{1}{{{T_2}}} - \dfrac{1}{{{T_1}}}} \right)}} = 1,74\,\,\left( {ti\,nam} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Độ khó: Nhận biết

Hiện nay urani tự nhiên chứa hai đồng vị phóng xạ 235U và 238U, với tỉ lệ số hạt 235U và số hạt 238U là 7/1000. Biết chu kì bán rã của 235U và 238U lần lượt là 7,00.108năm và 4,50.109 năm. Cách đây bao nhiêu năm, urani tự nhiên có tỷ lệ số hạt 235U và số hạt 238U là 3/100?