| Công thức cấp số cộng và cấp số nhân là nội dung bài học đòi hỏi các bạn học sinh cần ghi nhớ rõ để dễ dàng áp dụng vào bài tập. Đây cũng là dạng toán thường gặp trong kì thi đại học, vì vậy Vuihoc sẽ mang đến cho các em học sinh bài tổng hợp đầy đủ công thức về cấp số cộng cấp số nhân. Show 1. Cấp số cộng và cấp số nhân là gì?1.1. Cấp số nhânTrong chương trình toán THPT, cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện số thứ 2 của dãy số đó là tích của số đứng trước với 1 số không đổi. Số không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân. Từ đó ta có định nghĩa về cấp số nhân như sau:
Để có thể tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, chúng ta áp dụng công thức sau: un =u1. Qn-1
1.2. Cấp số cộng Cấp số cộng được dùng để chỉ một dãy số thỏa mãn số đứng sau bằng tổng của số đứng trước với một số không đổi. Số không đổi này gọi là công sai. Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, … Từ đó chúng ta có định nghĩa: Un là cấp số cộng nếu: un + 1 = un + d Trong đó có d là công sai = un + 1 – un
Chúng ta tính được số hạng tổng quát bằng cách thông qua số hạng đầu và công sai có công thức như sau: un = u1 + (n – 1)d
2. Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp số nhânCông thức cấp số nhân cấp số cộng rất dễ ghi nhớ. Đây là các công thức có liên quan tới giá trị đặc trưng của 2 dạng dãy số này. 2.1. Công thức cấp số cộng
un = um + (n-m)d Từ công thức tổng quát trên ta suy ra số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề nó. $u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, \forall k \geq 2$ Ví dụ: Số hạng thứ 2 của cấp số cộng là bao nhiêu biết số hạng thứ 7 là 100, công sai là 2. Giải: Áp dụng công thức ta có số hạng thứ 2 của cấp số cộng là:
$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}u_{k}=\frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$ Ví dụ: Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng biết cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2. Giải: Áp dụng công thức ta có:
2.2. Công thức cấp số nhân
un=um.qn-m Ví dụ: Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 32 và công bội bằng 2. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân Giải: Áp dụng công thức ta có: Từ công thức trên ta suy ra được các công thức:
$S_{n}=\sum{k=1}^{n}=u_{1}.\frac{1-q^{n}}{1-q}$ Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân. Giải: Áp dụng công thức ta có: >> Xem thêm: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập 3. Một số bài tập về cấp số cộng và cấp số nhân (kèm lời giải chi tiết) Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết rằng tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120. Giải: Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng đó lần lượt là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này ta có: Kết luận bốn số chúng ta cần tìm lần lượt là 2, 4, 6, 8 Bài 2: Cho cấp số cộng:
Hãy tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng? Giải: Từ giải thiết, chúng ta có: => $u_{100}=u_{1}+99d= -295$ Bài 3: Cho cấp số cộng
Hãy tính công sai, công thức tổng quát cấp số cộng đã cho. Giải: Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có: Công sai của cấp số cộng trên d=3, số hạng tổng quát là un=u1+(n-1)d=3n-2 Bài 4: Cho cấp số cộng
Hãy tính S = u1 +u4+u7+…+u2011? Giải: Ta có các số hạng u1, u4,u7 ,…,u2011 lập được thành một cấp số cộng bao gồm 670 số hạng và có công sai d’ = 3d. Do đó ta có: Bài 5: Cho cấp số cộng hãy xác định công sai và công thức tổng quát:
Giải: Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có: Vậy ta có công sai của cấp số là d=3 Công thức tổng quát: Bài 6: Cấp số nhân (un) có các số hạng khác 0 hãy tìm u1 biết rằng:
Giải: Kết luận u1=1, u1=8 Bài 7: Cho cấp số nhân sau:
5 số hạng đầu của cấp số nhân là bao nhiêu? Giải: Gọi q là bội của cấp số. Theo giải thiết chúng ta có: 5 số hạng đầu của cấp số nhân cần tìm là u1=2, u2=23, u3=29, u4=27, u5=281 Bài 8: Cho cấp số nhân sau:
Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân? Giải: Bài 9: Cho cấp số nhân thỏa mãn
Công bội và công thức tổng quát của cấp số nhân là? Giải: Hy vọng các công thức cấp số cộng và cấp số nhân mà VUIHOC mang đến phần nào giúp các bạn ghi nhớ hiệu quả và và hạn chế sai sót trong quá trình giải bài tập cấp số cộng, cấp số nhân. Các bạn học sinh hãy đăng ký khóa học dành cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT trên Vuihoc.vn nhé! Chúc các bạn ôn thi thật hiệu quả.
>> Xem thêm: Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia |
