Phép quay biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó

Phép biến hình là một quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với 1 và chỉ 1 điểm M.

Viết f(M) = M' nghĩa là f biến M thành M'; M' là ảnh của M qua f.

Phép tịnh tiến theo vecto

là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho

Kí hiệu: T T(M) = M' <-> =

Nhận xét

Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định khi biết vecto tịnh tiến của nó.
Phép tịnh tiến theo
là một phép đồng nhất.

Biểu thức tọa độ

M(x; y) --->[T với (a; b)] M'(x + a; y + b)

Tính chất

Định lí: Phép tịnh không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Hệ quả:

Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của các điểm tương ứng
Biến 1 tia thành 1 tia
Biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng có độ dài bằng nó
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó (Nếu vecto chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vecto tịnh tiến thì biến đường thẳng thành đường thẳng trùng với nó; nếu vecto tịnh tiến không cùng phương với vecto chỉ phương của đường thẳng thì biến thành đường thẳng song song)
Biến 1 tam giác thành 1 tam giác bằng nó (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp biến thành các điểm tương ứng)
Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Phép biến hình d là một phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó; biến điểm M không thuộc d thành điểm M sao cho d là trung trực của MM'.

Kí hiệu: Đd(M) = M'

Biểu thức tọa độ

M(x;y) -->[ĐOx] M'(x;-y)
M(x;y) -->[ĐOy] M'(-x;y)

Tính chất

Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
Biến 1 đường thẳng thành 1 đường thẳng
- Đặc biệt: nếu trục d // Δ thì Δ' // Δ; nếu trục d trùng Δ thì Δ' trùng với Δ; nếu trục d cắt Δ tại điểm Y thì Δ' cắt Δ tại Y; nếu d giao với Δ nhưng không vuông góc tại Y thì Δ' giao với Δ tại Y; nếu d vuông góc với Δ thì Δ' trùng với Δ)
Biến tam giác thành tam giác bằng nó
Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
Biến góc thành góc bằng nó

Định nghĩa trục đối xứng của một hình

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình (H) nếu như đối xứng trục d biến (H) thành chính nó

Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nó; biến mỗi điểm M khác điểm O thành điểm M' sao cho O là trung điểm của MM'.

Kí hiệu: ĐO (M) = M' <=> O là trung điểm của MM'

Nhận xét

Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu ĐO biến H thành chính nó.

Ví dụ: hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn có 1 tâm đối xứng

Biểu thức tọa độ

M(x;y) -->[ĐO với O(x0;y0)] M'(x';y') => {

Tính chất

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Biến 1 tia thành 1 tia
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của các điểm tương ứng
Biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng có độ dài bằng nó
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó (nếu tâm O nằm trên Δ thì Δ' trùng với Δ; nếu tâm O không nằm trên Δ thì Δ' // Δ)
Biến 1 góc thành góc bằng nó
Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp biến thành các điểm tương ứng)
Biến 1 đường tròn thành đường tròn bằng nó (tâm biến thành tâm)

Phép quay tâm O góc α là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và (OM, OM') = α

Kí hiệu: Q(O; α) (M) = M' <=>

Biểu thức của phép quay

M(x;y), M'(x';y')

Q(0; α) (M) = M'

Nhận xét

Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm và góc quay
chiều (+) của phép quay trùng với chiều (+) của đường tròn lượng giác
Phép quay với góc α = k2π là phép đồng nhất (biến mọi điểm M thành chính nó)
Phép quay với góc α = π + k2π là phép đối xứng tâm O

Tính chất

Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
Biến tam giác thành tam giác bằng nó
Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
Biến góc thành góc bằng nó

Phép vị tự tâm O tỉ số k là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho

bằng k lần

Kí hiệu: V(O;k) (M) = M' <=> =k.

Biểu thức tọa độ

Nếu O(x0;y0), M(x;y), I(a;b) thì V(0;k) (M) = M'(x';y')

<=>

Đặc biệt: Nếu O(0;0) thì {

Tính chất

Phép vị tự tâm O tỉ số k biến M thành M', N thành N' thì
=
. Đoạn M'N'=|k|.MN
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự giữa chúng
Biến 1 đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó (nếu tâm vị tự 0 ∈ Δ hoặc tỉ số k=1 thì Δ' trùng với Δ)
Biến 1 tia thành 1 tia
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp |k|
Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nó
Biến góc thành góc bằng nó
Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính R'=|k.R|

Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nhận xét

Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay là những phép dời hình.

Tính chất

Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
Biến tam giác thành tam giác bằng nó
Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
Biến góc thành góc bằng nó
Khi thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình

Phép biến hình f gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với hai điểm M và N bất kì và ảnh M' và N' của chúng, ta có đoạn M'N'=k.MN

Nhận xét

Các phép dời hình (phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay) là các phép đồng dạng có tỉ số k=1. Phép vị tự là phép đồng dạng có tỉ số |k|
Phép đồng dạng không phải phép dời hình. Khi k=1 thì nó sẽ là phép dời hình

Tính chất

-Định lí: Mọi phép dồng dạng đều là hợp thành của một phép vị tự và một phép dời hình

-Hệ quả:

Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
Biến đường thẳng thành đường thẳng
Biến 1 tia thành 1 tia
Biến 1 đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài được nhân lên k lần
Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k
Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính R'=k.R