Nội dung bài học giới thiệu đến các em khái niệm đạo hàm cấp hai của hàm số và mở rộng ra khái niệm đạo hàm cấp cao. Bên cạnh đó còn có những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp tính đạo hàm cấp hai của hàm số. Show
ADSENSE YOMEDIA 1. Tóm tắt lý thuyết 1.1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai 1.2. Ý nghĩa cơ học 2. Bài tập minh hoạ 3. Luyện tập bài 5 chương 5 giải tích 11 3.1. Trắc nghiệm về Đạo hàm cấp hai 3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về Đạo hàm cấp hai 4. Hỏi đáp về bài 5 chương 5 giải tích 11
Tóm tắt lý thuyết1.1. Định nghĩa đạo hàm cấp haia) Đạo hàm cấp haiHàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\) Khi đó \(y'=f'(x)\) xác định một hàm sô trên (a;b). Nếu hàm số \(y'=f'(x)\) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) tại x. Kí hiệu: \(y''\) hoặc \(f''(x).\) b) Đạo hàm cấp nCho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\) và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\) \({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n - 1)}}(x){\rm{]}}'\) 1.2. Ý nghĩa cơ họcĐạo hàm cấp hai \(f''(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(S=f(t)\) tại thời điểm t. Bài tập minh họaVí dụ:Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) \(f(x) = {(2x - 3)^5}.\) b) \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\). c) \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\) Hướng dẫn giải:a) Ta có: \(f'(x) =\left [ \left ( 2x-3 \right )^5 \right ]'= 5.(2x - 3)'{(2x - 3)^4} = 10{(2x - 3)^4}.\) \(f''(x) = \left[ {10{{\left( {2x - 3} \right)}^4}} \right]' = 10.4.(2x - 3)'(2x - 3) = 80{(2x - 3)^3}.\) b) Ta có: \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{x}\) \(f'(x) = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\) \(f''(x) = \left[ {1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}.\) c) Ta có: \(f'(x) = \left( {x\sqrt {1 + {x^2}} } \right)' = \sqrt {1 + {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.\) \(\begin{array}{l} f''(x) = \left[ {\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]' = \frac{{(2{x^2} + 1)'\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{4x({x^2} + 1) - x(2{x^2} + 1)}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}. \end{array}\) 3. Luyện tập Bài 5 chương 5 giải tích 11Trong phạm vi bài học đã giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Đạo hàm cấp hai nói riêng và đạo hàm cấp cao nói chung. Bên cạnh đó còn có những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp tính đạo hàm cấp hai của hàm số. 3.1 Trắc nghiệm về Đạo hàm cấp haiĐể cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé! 3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Đạo hàm cấp haiBên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao. Bài tập 1 trang 174 SGK Đại số & Giải tích 11 Bài tập 2 trang 174 SGK Đại số & Giải tích 11 Bài tập 5.93 trang 215 SBT Toán 11 Bài tập 5.94 trang 215 SBT Toán 11 Bài tập 5.95 trang 215 SBT Toán 11 Bài tập 5.96 trang 215 SBT Toán 11 Bài tập 5.97 trang 215 SBT Toán 11 Bài tập 5.98 trang 215 SBT Toán 11 Bài tập 5.99 trang 215 SBT Toán 11 Bài tập 5.100 trang 215 SBT Toán 11 Bài tập 5.101 trang 215 SBT Toán 11 Bài tập 5.102 trang 215 SBT Toán 11 Bài tập 5.103 trang 216 SBT Toán 11 Bài tập 5.104 trang 216 SBT Toán 11 Bài tập 5.105 trang 216 SBT Toán 11 Bài tập 5.106 trang 216 SBT Toán 11 Bài tập 5.107 trang 216 SBT Toán 11 Bài tập 5.108 trang 216 SBT Toán 11 Bài tập 5.109 trang 216 SBT Toán 11 Bài tập 5.110 trang 216 SBT Toán 11 Bài tập 5.111 trang 216 SBT Toán 11 Bài tập 42 trang 216 SGK Toán 11 NC Bài tập 43 trang 216 SGK Toán 11 NC Bài tập 44 trang 216 SGK Toán 11 NC Bài tập 45 trang 219 SGK Toán 11 NC Bài tập 46 trang 219 SGK Toán 11 NC Bài tập 47 trang 219 SGK Toán 11 NC Bài tập 48 trang 219 SGK Toán 11 NC 4. Hỏi đáp về bài 5 chương 5 giải tích 11Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. Đạo hàm bậc 2 cho biết điều gì?Trong giải tích, đạo hàm bậc hai của một hàm số f là đạo hàm của đạo hàm của f. Có thể nói đại khái rằng, đạo hàm bậc hai thể hiện tốc độ biến đổi của một đại lượng thay đổi; ví dụ, đạo hàm bậc hai của vị trí của một vật theo thời gian chính là gia tốc tức thời hay là tốc độ biến đổi của vận tốc theo thời gian.
Đạo hàm có ý nghĩa gì?Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích. Chẳng hạn, trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn.
Tại sao lại có đạo hàm?Như ý nghĩa của đạo hàm đã nói trên, trong bộ môn vật lý chúng ứng dụng để tính gia tốc của vật tại thời gian xác định cụ thể, vận tốc và vị trí (quãng đường). Dựa vào đạo hàm việc tính toán các đại lượng này sẽ dễ dàng và tính chính xác cao hơn.
Đạo hàm cấp 0 là gì?Đạo hàm của hàm số số không đổi ( hằng số ) bằng 0. Ví dụ: 5' = 0, 49' = 0. Với c là hằng số, n là số tự nhiên.
|
